Vidéo : Aires des disques

La définition de l’aire d’un cercle. Trouvez l’aire d’un cercle en fonction de son rayon ou de son diamètre. Trouvez le diamètre ou le rayon d’un cercle en fonction de sa surface. Les travaux à un certain nombre de décimales ou donner des réponses en fonction de 𝜋.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons voir comment calculer l’aire d’un cercle. Ainsi, lorsque nous examinons l’aire d’un cercle, nous examinons la quantité d’espace bidimensionnel dans le cercle lui-même. Maintenant, il faut connaître deux mesures lorsque nous examinons des cercles. La première est le diamètre d’un cercle ; il s’agit donc d’une ligne qui commence en un point de la circonférence, le bord du cercle, et se déplace vers le côté opposé en passant par le centre du cercle. Ainsi, par exemple, une ligne telle que celle que je l’ai dessiné ici, et ce serait représenté en utilisant la lettre 𝑑 pour le diamètre. L’autre mesure à prendre en compte est la ligne qui commence au bord extérieur du cercle et se termine au centre du cercle.

Ainsi, des lignes telles que celle que j’ai dessiné ici, c’est le rayon du cercle et serait donc représentée en utilisant la lettre 𝑟. Nous voulons donc calculer l’aire. Et il y a une formule que nous pouvons utiliser pour faire cela et c’est cette formule-ci qui nous dit que l’aire du cercle est égale à 𝜋 multipliée par 𝑟 au carré où 𝑟 représente le rayon, comme nous l’avons dit. Maintenant, ce nombre 𝜋 est un nombre très spécial en mathématiques en raison de ses relations avec les milieux. Cela s’appelle un nombre irrationnel, ce qui signifie que sa représentation décimale a une suite infinie de chiffres sans motif répétitif. Donc, si je devais essayer de l’écrire sous forme décimale, je serais ici pour toujours. Mais il est suffisant de savoir que 𝜋 est approximativement égal à 3.14. Et si parfois on vous demandera d’utiliser cette valeur 3.14 comme une approximation plutôt que la pleine valeur de 𝜋.

Maintenant, en regardant la formule, il est vraiment important de noter que seul le rayon est carré. Ce n’est pas 𝜋 multiplié par le rayon puis le carré du résultat. Il est carré du rayon, puis multiplier par 𝜋. Et vous pouvez voir que si vous réfléchissez à l’ordre des opérations, les indices passent avant la multiplication. Voilà donc notre formule. Nous allons maintenant voir comment nous pouvons l’utiliser pour quelques questions. Nous avons donc un cercle et nous cherchons à calculer son aire. Nous pouvons maintenant voir que le rayon du cercle a été marqué pour nous ; c’est 5.2 centimètres, nous avons donc besoin de rappeler notre formule pour la région. Donc, cette formule était égale à aire était 𝜋𝑟 au carré. Nous devons simplement substituer la valeur de 5.2 à cette formule d’aire.

Nous avons donc une aire égale à 𝜋 multipliée par 5.2 carré. Rappelez-vous, nous mettons juste 5.2 au carré, pas le 𝜋. Et cela me donnera une valeur de 27.04𝜋 finalement. Maintenant, voici ce qui s’appelle donner votre réponse en fonction de 𝜋 ou un multiple de 𝜋, ce qui est souvent utile si nous n’avons pas de calculatrice. Mais je vais aller un peu plus loin et évaluer, si je multiplie 27.04 par 𝜋. Et cela me donne une valeur de 84.9 arrondie au dixième près. Remarquez maintenant que les unités sont exprimées en centimètres car c’est une aire que nous calculions. Ok, regardons une deuxième question.

Il faut donc un autre cercle. Encore une fois, nous aimerions calculer l’aire.

Maintenant, si vous regardez bien, on ne nous a pas donné le rayon cette fois-ci. On nous a donné le diamètre, la distance à travers le cercle. Maintenant, rappelez-vous, notre formule pour l’aire d’un cercle utilise le rayon. Sa surface est égale à 𝜋𝑟 carré. Nous devons donc nous rappeler que si le diamètre du cercle est égal à cinq, le rayon sera égal à la moitié de celui-ci. Ce sera 2.5, parce que le rayon est toujours la moitié du diamètre. Nous avons donc 𝑟 est égal à 2.5 centimètres.

Nous pouvons maintenant substituer cette valeur à la formule d’aire. Nous avons donc une aire égale à 𝜋 multipliée par 2.5 au carré. Et si je veux donner ma réponse en fonction d’un multiple de 𝜋, c’est 25𝜋 sur quatre, ou je peux l’évaluer en tant que décimal. Et cela me donnerait une valeur de 19.6 centimètres carrés à une décimale. Ainsi, lorsque nous aurons finalement un cercle, soyez très clair lorsque vous examinerez la question pour la première fois; avez-vous reçu le diamètre ou le rayon ? Et rappelez-vous que c’est le rayon dont vous avez besoin pour utiliser la formule d’aire. Examinons maintenant un autre type de question.

La question dit que l’aire d’un cercle est de 28.3 centimètres carrés. Calculez le diamètre du cercle au centimètre près.

Donc, voici un exemple de question où vous travaillez en arrière depuis la connaissance de l’aire jusqu’au calcul du rayon ou du diamètre. Posons donc simplement notre formule d’aire pour commencer. Rappelez-vous, l’aire est égale à 𝜋𝑟 carré et on nous dit dans la question que cette valeur est 28.3. Cela signifie que je peux écrire une équation en utilisant l’aire du cercle qui nous est donnée et la formule de l’aire. Alors voici mon équation, 𝜋𝑟 carré est égal à 28.3. Maintenant, ce que je dois faire est de résoudre cette équation pour trouver la valeur de 𝑟. Maintenant, la question ne me demande pas 𝑟 ; il me demande le diamètre, mais rappelez-vous qu’ils sont très proches. Donc, si j’ai le rayon, je peux trouver le diamètre en le doublant.

La première chose que je dois faire est que je dois diviser les deux côtés de cette équation par 𝜋. Et cela me donnera 𝑟 au carré est égal à 28.3 sur 𝜋. La prochaine étape, j’ai 𝑟 au carré et je voudrais connaître 𝑟, donc je dois prendre la racine carrée afin d’obtenir 𝑟. Enracinant ainsi les deux côtés de cette équation, j’ai maintenant 𝑟 est égal à la racine carrée de 28.3 sur 𝜋, et à ce stade, j’ai besoin de ma calculatrice pour évaluer cette valeur. Assurez-vous que lorsque vous tapez ceci dans votre calculatrice, vous prenez la racine carrée de toute cette fraction ici, pas seulement la racine carrée de 28.3, puis divisez le résultat par 𝜋. Ce doit être la racine carrée de toute cette fraction. Vous pouvez utiliser des crochets sur votre calculatrice ou le bouton de fraction pour vous assurer de le faire correctement.

Donc, quand j’évalue que j’obtiens 3.00136 et ainsi de suite pour le rayon. Rappelez-vous, on m’a demandé le diamètre, donc je dois le doubler pour régler ce problème. Doubler cela me donne 6.0027, et la question demandait la valeur au centimètre près. Par conséquent, ma réponse est que le diamètre du cercle est de six centimètres au centimètre près.

Donc, vous pouvez travailler dans les deux sens. Vous pouvez calculer l’aire d’un cercle à partir de son rayon ou de son diamètre ou vous pouvez travailler en arrière en connaissant l’aire pour calculer le rayon ou le diamètre. Dans ce cas, il s’agit simplement de former une équation en utilisant les informations fournies. Très bien. Maintenant, regardons une question formulée.

Cette question indique qu’une tempête devrait frapper sept milles dans toutes les directions d’une petite ville. En répondant à la question 𝜋, calculez l’aire totale affectée par la tempête.

Il y a donc une chose importante à noter dans cette question, c’est qu’elle nous demande de donner notre réponse en fonction de 𝜋, ce qui signifie que notre réponse finale ne devrait pas être sous forme décimale, mais qu’elle devrait contenir 𝜋. Tellement souvent utile de faire une figure très rapide. Voici donc la ville et on nous dit que la tempête va frapper à sept milles dans toutes les directions. Donc, il forme un cercle avec un rayon de sept autour de cette ville. Voici donc notre formule d’aire, l’aire est égale à 𝜋𝑟 carré. Donc, ça va être 𝜋 multiplié par, bien dans ce cas, sept carré. Nous y sommes donc, l’aire est 𝜋 fois sept au carré. Sept au carré est 49, de sorte que l’aire est égale à 49𝜋. Et c’est là que je vais m’arrêter car la question nous demande de donner notre réponse en fonction de 𝜋.

Donc, ce serait peut-être le type de question à laquelle vous pourriez répondre sans calculatrice, car vous n’avez pas besoin d’une calculatrice pour calculer sept au carré. Et comme vous ne multipliez pas réellement 49 par 𝜋, vous pouvez vous laisser répondre comme ça. Nous avons besoin de quelques unités, donc les unités dans la question étaient des miles. Par conséquent, notre réponse va être miles carrés pour cette région. Donc, notre réponse en fonction de 𝜋 est 49 𝜋 milles carrés pour l’aire qui sera affectée par la tempête.

Ok, la prochaine question.

Un pendentif est en argent. Calcule l’aire de la face du pendentif. Et nous avons une figure ici où le pendentif est cette partie ombrée ici.

Donc, ce pendentif est un grand cercle et ensuite un cercle plus petit est découpé au milieu. Et c’est ce genre de forme de beignet qui reste que nous cherchons à calculer l’aire de. Nous pouvons donc faire cela en calculant l’aire du grand cercle puis en soustrayant l’aire du petit cercle. Maintenant, le cercle plus large, si nous y réfléchissons, a ce rayon et ce rayon, eh bien, c’est deux centimètres plus un centimètre. Donc, ce plus grand cercle a un rayon de trois centimètres. Donc, notre formule de surface est 𝜋𝑟 au carré. Et nous va accomplirez la grande surface soustrayez la petite aire. Il suffit donc de substituer dans les rayons pertinents.

Donc, pour le plus grand cercle, il est 𝜋 multiplié par trois au carré et le cercle plus petit il de 𝜋 multiplié par deux au carré. Maintenant, si nous évaluons chacun de ceux-ci, nous avons neuf 𝜋 soustrayons quatre 𝜋. Et neuf 𝜋 soustraire quatre 𝜋 est égal à cinq 𝜋. On ne m’a pas demandé de laisser ma réponse en fonction de 𝜋, je vais donc l’évaluer comme un nombre décimal. Et en utilisant ma calculatrice, cela donne une réponse de 15.7 centimètres carrés à une décimale. Donc, cela nous donne l’aire de ce pendentif ici.

D’accord, la dernière question que nous allons regarder dans cette vidéo.

La figure montre un carré de côté de 12 centimètres avec un demi-cercle ajouté à un côté et un quart de cercle ajouté à un autre. On nous demande de calculer l’aire totale de cette forme.

Il s’agit donc d’un carré de 12 centimètres de côté, ajoutons donc cette information au diagramme. Nous y sommes. Et nous avons besoin de l’aire totale, nous avons donc trois surfaces à calculer : un carré, un demi-cercle et un quart de cercle. Maintenant, le carré est assez facile, faisons-le d’abord. Pour trouver l’aire du carré, il suffit de multiplier 12 par 12. Nous avons donc 144 centimètres carrés pour cette partie-là. Maintenant, pensons à ce demi-cercle. Nous allons donc avoir besoin de notre formule de région, qui nous indique l’aire est égale à 𝜋𝑟 au carré. Alors pensons simplement au rayon de ce cercle. La longueur totale du côté du carré est de 12 centimètres. Le rayon du cercle, donc cette partie ici, doit être égal à six centimètres.

Donc, pour calculer l’aire de ce demi-cercle, nous pouvons calculer l’aire d’un cercle complet de rayon six, mais nous devons ensuite la diviser par deux, nous n’avons que la moitié de ce cercle. Nous avons donc l’aire du demi-cercle est égal à 𝜋 multiplié par six au carré divisé par deux. Et si je travaille que comme un multiple de 𝜋 au départ, il me donnera 18𝜋 comme l’aire de ce demi-cercle. D’accord tournons notre attention sur le quart de cercle. Donc, pour calculer l’aire du quart de cercle, nous pouvons trouver un cercle complet, puis le diviser par quatre. Maintenant, le rayon du quart de cercle, donc cette partie ici, est identique à la longueur des côtés du carré. Donc, le rayon cette fois est de 12 centimètres. Donc, pour le travail sur la région, nous ne 𝜋 multiplié par 12 au carré, et nous devons diviser par quatre comme c’est juste un quart de cercle. Encore une fois, je travaille ceci en fonction de 𝜋 initialement. Donc, cela me donne une superficie de 36𝜋 pour ce quart de cercle.

La dernière étape consiste ensuite à calculer l’aire totale en additionnant ces trois aires individuelles. Nous avons donc 144 plus 18𝜋 plus 36𝜋, ce qui me donne une réponse de 144, plus 54𝜋 centimètres carré, si je devais donner ma réponse en fonction de 𝜋. Mais je l’évaluerai comme un nombre décimal, ce qui me donne une réponse finale de 313.6 centimètres carrés et ce, à une décimale près.

Nous avons donc cherché à calculer l’aire du cercle à partir du rayon ou du diamètre. Nous avons montrer comment calculer en arrière, en connaissant l’aire, on calcule le rayon ou le diamètre, puis résoudre quelques problèmes liés aux aires de cercles.

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