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Vidéo de question : Utiliser la fonction de densité d’une variable aléatoire continue pour évaluer une inconnue Mathématiques

Soit 𝑋 une variable aléatoire continue avec pour fonction de densité 𝑓(𝑥)=(4𝑥+𝑘)/21 si 3≤𝑥≤ 4, 𝑓(𝑥)=0 sinon. Déterminez la valeur de 𝑘.

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Transcription de vidéo

Soit 𝑋 une variable aléatoire continue avec pour fonction de densité 𝑓 de 𝑥 égale quatre 𝑥 plus 𝑘 sur 21 si 𝑥 est compris entre 3 et 4 et 𝑓 de 𝑥 égale 0 sinon. Déterminez la valeur de 𝑘.

L’intégrale de toute fonction de densité est égale à un. Ceci signifie que dans notre exemple, intégrer quatre 𝑥 plus 𝑘 sur 21 entre trois et quatre nous donnera le résultat de un. Intégrer quatre 𝑥 nous donne deux 𝑥 au carré et intégrer 𝑘 nous donne 𝑘𝑥. Par conséquent, l’intégrale de quatre 𝑥 plus 𝑘 sur 21 est égale à deux 𝑥 au carré plus 𝑘𝑥 sur 21.

On doit maintenant remplacer 𝑥 par les limites d’intégration quatre et trois et soustraire ces deux résultats. Remplacer 𝑥 par quatre nous donne 32 plus quatre 𝑘 sur 21 et remplacer par trois nous donne 18 plus trois 𝑘 sur 21. Multiplier chacun des termes de l’équation par 21 nous donne 32 plus quatre 𝑘 moins 18 plus trois 𝑘 égale 21.

En regroupant les termes similaires ou en simplifiant le membre gauche de l’équation nous donne 14 plus 𝑘 car 32 moins 18 est égal à 14 et quatre 𝑘 moins trois 𝑘 est égal à 𝑘. Enfin, en soustrayant 14 des deux membres de l’équation, il nous reste 𝑘 égale sept, car 21 moins 14 est égal à sept. Ceci signifie que si la fonction de densité d’une variable aléatoire continue est 𝑓 de 𝑥 égale quatre 𝑥 plus 𝑘 sur 21 entre trois et quatre, alors 𝑘 est égal à sept.

Par conséquent, 𝑓 de 𝑥 est égal à quatre 𝑥 plus sept sur 21 si 𝑥 est compris entre trois et quatre et 𝑓 de 𝑥 est égal à zéro sinon.

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