Vidéo de la leçon: Ajouter et soustraire des vecteurs

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, on va regarder ce qui se passe lorsque vous ajoutez ou soustrayez des vecteurs ou de l’autre. Nous savons que les vecteurs peuvent être représentés par des segments de droite avec une longueur et une direction spécifiques, et leur utilisation nous aidera vraiment à visualiser l’addition et la soustraction de vecteurs.

Le processus d’addition revient à poser les vecteurs de bout en bout et à calculer les composantes du vecteur résultant en examinant la différence entre les coordonnées du point initial du premier vecteur et le point terminal du dernier vecteur de la chaîne. Voyons donc un exemple de cela.

Nous avons 𝑎 qui est le vecteur trois, deux et 𝑏 qui est le vecteur quatre, moins un. Et nous voulons ajouter ces deux vecteurs ensemble. Donc, juste pour les esquisser rapidement, nous avons ici le vecteur 𝑎 qui a une composante 𝑥 de plus trois et une composante 𝑦 de plus deux — nous sommes donc allés de trois dans cette direction, deux dans cette direction — et 𝑏, qui a une composante 𝑥 de quatre et une composante 𝑦 de moins un.

Donc, si nous ajoutons ces deux vecteurs, c’est comme les mettre bout à bout, puis déterminer comment nous obtenons du début du premier vecteur à la fin du dernier vecteur. Donc, pour aller d’ici à ici, nous avons fait un voyage de trois dans la direction 𝑥 ici et de quatre autres dans la direction 𝑥 ici. Donc, pour trouver la composante 𝑥 du vecteur résultant, 𝑎 plus 𝑏, nous ajoutons simplement la composante 𝑥 de 𝑎 à la composante 𝑥 de 𝑏.

Et maintenant, visitons les composantes 𝑦. Donc, pour aller d’ici à nouveau, nous avons fait nos plus deux pour nous emmener en haut du diagramme, mais nous en sommes revenus un. Nous devons donc ajouter ces deux composantes ensemble. Voilà donc deux plus moins un. Et trois et quatre font sept, donc la composante 𝑥 résultante est sept. Et deux ajoutent moins un, c’est un, donc la composante 𝑦 résultante est un.

Ainsi, l’ajout de vecteurs n’est qu’un cas d’addition des composantes de 𝑥 et d’addition des composantes de 𝑦.

Ajoutons maintenant trois vecteurs ensemble.

Nous avons donc le vecteur 𝑎, qui est de quatre moins deux ; 𝑏 est un, six ; et 𝑐 est moins cinq, moins quatre. Et nous devons ajouter ces trois vecteurs ensemble.

Commençons donc par dessiner un diagramme. Eh bien, voici le vecteur 𝑎 qui devient plus quatre dans la direction 𝑥 et moins deux dans la direction 𝑦. Il y a 𝑏 plus un dans la direction 𝑥 et plus six dans la direction 𝑦. Et enfin, nous posons 𝑐 à la fin de 𝑏, et nous avons moins cinq dans la direction 𝑥 et moins quatre dans la direction 𝑦. Et nous pouvons voir que lorsque nous avons ajouté 𝑎, 𝑏 et 𝑐, le point initial du premier vecteur 𝑎 est exactement au même endroit que le point terminal du dernier vecteur 𝑐.

Donc, bien que nous ayons fait le tour des maisons, nous avons commencé ici et nous nous sommes retrouvés exactement au même endroit ici. Bon, ajoutons ces composantes 𝑥 ensemble. Nous en avons donc passé quatre, puis un autre, puis nous en avons retiré cinq. Et dans la direction 𝑦, nous sommes passés à moins deux, puis nous avons ajouté six et finalement nous en avons retiré quatre. Et quatre ajoutent un moins cinq est zéro, et moins deux plus six moins quatre est également nul.

Donc, le vecteur résultant en faisant l’addition des composantes est zéro, zéro. Et cela correspond à ce que nous savions au début : que nous avons commencé et que nous nous sommes retrouvés exactement dans la même position. Donc, le vecteur résultant, nous n’avons pas bougé dans la direction 𝑥 nous n’avons pas bougé dans la direction 𝑦 ; notre point initial et notre point terminal coïncident.

Après avoir examiné quelques ajouts de base de vecteurs, jetons un coup d’œil à l’ajout répété de vecteurs, ou comme on l’appelle plus correctement multiplier les vecteurs par des scalaires. Commençons donc avec 𝑎 est égal au vecteur deux, trois. Disons que nous voulions savoir quelle était la valeur de deux 𝑎. Eh bien deux 𝑎 est juste 𝑎 plus 𝑎. Et comme nous venons de le voir, pour ajouter deux vecteurs ensemble, il suffit d’ajouter les coordonnées ensemble, donc deux plus deux et trois plus trois.

Alors oui, nous travaillons un peu ici. Mais cela signifie que nous avons deux fois la composante 𝑥 et deux fois la composante 𝑦, donc ces deux ici. Nous avons multiplié chacun des composantes par deux, ce qui nous donne le vecteur quatre, six. D’accord, réfléchissons à trois 𝑎 maintenant, c’est donc 𝑎 plus 𝑎 plus 𝑎.

Eh bien, je suis juste va sauter directement à la scène. Lorsque nous multiplions les composants, car c’est trois 𝑎 nous multiplions la coordonnée 𝑥 par trois et la coordonnée 𝑦 par trois, ce qui nous donne six, neuf. Et regardons juste un autre exemple : un scalaire fractionnaire, donc un quart. Ainsi, un quart de 𝑎, nous allons donc multiplier chaque composante par un quart. Voilà donc un quart de deux et un quart de trois. Cela nous donne donc la moitié et les trois quarts de nos composantes.

Donc, pour résumer, le processus de multiplication d’un vecteur par un scalaire, nous prenons le scalaire et nous multiplions simplement chaque composante du vecteur par ce scalaire pour obtenir nos composantes du vecteur résultant. Commençons donc avec le même vecteur 𝑎. Et maintenant, regardons la multiplication scalaire négative, fonctionne exactement de la même manière. Voyons donc quelques exemples.

D’accord, nous essayons de trouver moins 𝑎. Cela signifie seulement moins un fois 𝑎, nous allons donc prendre un scalaire négatif et nous allons multiplier les deux composantes par moins un. Et cela nous donne une réponse de moins deux et moins trois. Et bien, regardons les moins deux 𝑎. Cette fois -ci le scalaire est moins deux et nous allons multiplier chacun de nos composantes 𝑥 et 𝑦 par moins deux. Et cela nous donne une réponse de moins quatre, moins six.

Maintenant, il vaut la peine juste prendre un moment pour remarquer 𝑎 et moins 𝑎 : les composantes ont les mêmes nombres, deux deux et deux pour les composantes 𝑥 et trois et trois pour les composantes 𝑦. Mais le moins 𝑎, les signes sont les signes opposés. En fait, ce que nous faisons, c’est que nous allons exactement dans la direction opposée. Donc, le vecteur 𝑎, nous allons plus deux dans la direction 𝑥 et plus trois dans la direction 𝑦 ; c’est ce voyage ici. Moins 𝑎, nous allons moins deux dans la direction 𝑥 et moins trois dans la direction 𝑦.

Nous avons donc fait le voyage inverse exact dans le sens négatif, dans le sens opposé. Donc, plus 𝑎 et moins 𝑎 sont de la même longueur de la ligne, le même angle de vecteur, mais ils vont juste dans le sens opposé.

Bon, regardons un ou deux exemples rapides de soustraction de quelques vecteurs.

Nous avons donc le vecteur 𝑎 est deux, trois et le vecteur 𝑏 est quatre, moins un. Et nous voulons calculer la résultante du vecteur 𝑎 moins vecteur 𝑏. Eh bien, il existe différentes façons, vous pouvez simplement prendre les composantes 𝑥 de 𝑎 et soustraire les composantes 𝑥 de 𝑏 et les composantes 𝑦 de 𝑎 soustraire les composantes 𝑦 de 𝑏 pour obtenir votre résultante. Mais j’aimerais juste suggérer que nous le regardions de cette manière légèrement différente, donc 𝑎 moins 𝑏 est le même que 𝑎 plus moins 𝑏.

Donc, quand nous écrivons cela, nous avons deux plus le moins quatre et nous avons trois plus le moins moins un, ce qui semble un peu bizarre sur la page. Mais ça y est. Donc, deux plus moins quatre est moins deux, et trois plus l’opposé de moins un, qui est plus un, fait quatre.

Maintenant, cette entreprise de conversion de 𝑎 moins 𝑏 en 𝑎 plus le moins 𝑏 semble que nous faisons des choses trop compliquées. Mais jetons d’abord un coup d’œil visuel et voyons comment cela se déroule. Nous avons donc ici le vecteur 𝑎, que je traverse deux et trois. Donc, si j’ajoutais 𝑏, j’irais bien à quatre et en bas un, mais j’ajoute le moins 𝑏. Donc, ajouter le moins 𝑏 me prend quatre de la fin de 𝑎 à gauche, donc nous allons de quatre dans cette direction. Et l’opposé de moins un, nous montons de un dans cette direction.

Donc, cette idée de placer les vecteurs de bout en bout, en pensant à retirer 𝑏 comme ajouter moins 𝑏, signifie que nous pouvons simplement déposer le vecteur négatif jusqu’à la fin de 𝑎 et nous pouvons ensuite chercher ce vecteur résultant, en commençant par le début de 𝑎 jusqu’à la fin de 𝑏 ici. Et quand nous faisons cela, nous allions moins deux dans cette direction et ici plus quatre dans cette direction. Donc, lorsque vous soustrayez des vecteurs, nous pouvons simplement soustraire les composantes si vous le souhaitez ou nous pouvons ajouter l’opposé des composantes pour le deuxième vecteur, ce qui nous aide à visualiser le diagramme vectoriel un peu plus facilement.

Jetons un coup d’œil à un autre exemple. Nous allons donc commencer avec les mêmes vecteurs 𝑎 et 𝑏.

Mais cette fois, nous allons calculer 𝑏 moins 𝑎, qui est le même que 𝑏 plus moins 𝑎, ce qui nous donne quatre plus moins deux et moins un plus moins trois. Voilà donc un vecteur résultant de deux, moins quatre.

Eh bien, regardons à nouveau le diagramme. Eh bien tout d’abord, le vecteur 𝑏, nous allons plus quatre dans la direction 𝑥 et moins un dans la direction 𝑦, puis en ajoutant le moins 𝑎, c’est moins deux dans la direction 𝑥, donc nous revenons, moins deux. Et moins trois nous allons donc descendre trois - un, deux, trois - dans la direction 𝑦.

Nous commençons donc au point initial de 𝑏 ; on ajoute le moins 𝑎 ; et nous nous retrouvons au point terminal de 𝑎. Donc, notre voyage qui en résulte est celui-ci ici. Et en terminant ce voyage, nous sommes passés à plus quatre dans la direction 𝑥, puis nous sommes revenus à deux, ce qui nous a donné une composante 𝑥 de deux. Cette distance est donc ici de deux. Et nous en sommes descendus un puis nous sommes descendus de trois autres, ce qui nous a donné notre composante 𝑦 de moins quatre, ce qui signifie que nous sommes descendus ici quatre. Donc, ce vecteur ici est 𝑏 moins 𝑎, 𝑏 moins 𝑎, ou 𝑏 plus moins 𝑎.

Donc, juste mettre ces deux résultats côte à côte, 𝑎 moins 𝑏 était moins deux quatre, et 𝑏 moins 𝑎 était deux moins quatre. Donc, ils étaient tous les deux dans la même position ici, c’était la position. Et c’était la longueur du vecteur, mais l’un allait dans cette direction et l’autre allait dans cette direction.

Ils sont donc le même vecteur, mais dans des directions opposées ; un vecteur est le moins l’autre. Le vecteur 𝑎 moins 𝑏 est donc l’opposé du vecteur 𝑏 moins 𝑎. Et cela a du sens parce que le moins 𝑏 est moins 𝑏 et l’opposé de moins 𝑎 est plus 𝑎. Donc, algébriquement, ils signifient la même chose ; et en format vectoriel, ils signifient également la même chose.

Voyons maintenant un dernier problème.

Nous avons un hexagone régulier 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 et 𝐺 est le milieu de cela et nous devons exprimer 𝐴𝐸 en fonction des vecteurs 𝑢 et 𝑣. Ainsi, le vecteur 𝑣 est de 𝐺 à 𝐶 et le vecteur 𝑢 est de 𝐷 à 𝐶. Maintenant, parce que c’est un hexagone régulier, nous savons qu’un certain nombre de ces choses sont parallèles. Donc 𝐴𝐵 et 𝐸𝐷 et 𝐹𝐺 et 𝐺𝐶 sont tous parallèles ; 𝐴𝐹 et 𝐵𝐺 et 𝐺𝐸 et 𝐶𝐷 sont tous parallèles ; et 𝐸𝐹, 𝐷𝐺, 𝐺𝐴 et 𝐶𝐵 sont tous parallèles.

Donc, nous savons par exemple que le vecteur 𝑢 va de 𝐷 à 𝐶, ou nous pouvons également y placer le vecteur 𝑢 à différents endroits. Ces distances sont donc parallèles, mais elles ont également la même longueur. Donc, ils- nous pouvons choisir le vecteur 𝑢 et les placer dans chacun de ces emplacements. Et de même, le vecteur 𝑣, allant de 𝐺 à 𝐶, ce sera aussi le vecteur 𝑣 ; ce sera également le vecteur 𝑣 ; et ce sera aussi le vecteur 𝑣.

Nous avons donc eu quelques lacunes sur notre hexagone ici. Comment pourrais-je obtenir par exemple de 𝐺 à 𝐷 le long de ce vecteur ici ? Eh bien, je pourrais aller en droite droite, mais cela ne me dit rien en fonction de 𝑢 et 𝑣. Je pourrais donc aussi emprunter cette autre voie ; Je pourrais aller de 𝐺 à 𝐶, qui est le vecteur 𝑣, et je pourrais aller de 𝐶 à 𝐷, qui est l’opposé de 𝑢, donc c’est moins 𝑢.

Donc, le vecteur 𝐺𝐷 comme nous l’avons dit est 𝐺𝐶 plus 𝐶𝐷, qui est 𝑣 plus le moins 𝑢. En d’autres termes, 𝑣 moins 𝑢. Alors dessinons cela dans le diagramme : 𝐺𝐷 est 𝑣 moins 𝑢. Et de même, 𝐹𝐸 est parallèle et de même longueur, de sorte que c’est aussi 𝑣 moins 𝑢 ; 𝐴𝐺 l’est aussi ; et 𝐵𝐶 aussi.

Donc, lorsque vous essayez de résumer le voyage de 𝐴 à 𝐸 en fonction de 𝑢 et 𝑣, tous ces trajets entre des points individuels sur notre hexagone sont déjà en fonction de 𝑢 et 𝑣, nous avons donc juste besoin de choisir un itinéraire pratique. Alors allons-y ici, qui est moins 𝑢 — c’est la direction opposée à 𝑢 — puis en bas ici, qui est 𝑣 moins 𝑢. Nous ferions mieux de les ranger. Donc, quand nous écrivons cela, nous avons 𝑢 plus 𝑣 moins 𝑢. Donc, quand nous écrivons cela, nous avons moins 𝑢 plus 𝑣 moins 𝑢. Et peu importe la route que nous avons empruntée ; même alambiquée, on aurait toujours trouvé la même réponse pour 𝐴𝐸.