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Vidéo de question : Dériver des quotients impliquant des fonctions exponentielles et trigonométriques Mathématiques

Déterminez la dérivée première de la fonction 𝑦=𝑒^(5𝑥) / (7 tan 8𝑥).

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Transcription de vidéo

Déterminez la dérivée première de la fonction 𝑦 égale 𝑒 puissance cinq 𝑥 sur sept fois la tangente de huit 𝑥.

On nous donne une fonction 𝑦 qui est un quotient de deux fonctions. Et on doit déterminer la dérivée première de 𝑦. Étant donné que 𝑦 est une fonction de 𝑥, il s’agit de la dérivée première de 𝑦 par rapport à 𝑥.

On peut approcher ce problème de plusieurs façons. Par exemple, on pourrait essayer d’utiliser les identités trigonométriques pour réécrire notre fonction sous une forme plus facile à dériver. On pourrait ainsi réécrire 𝑦 sous la forme 𝑒 puissance cinq 𝑥 fois la cotangente de huit 𝑥, le tout sur sept. Et bien sûr, on pourrait ensuite calculer la dérivée de cette nouvelle expression par rapport à 𝑥 en utilisant la règle du produit.

Mais, ce n’est pas la seule méthode que nous pourrions utiliser pour aborder ce problème. On peut également dériver la fonction d’origine en utilisant simplement la règle du quotient. Les deux méthodes citées sont valables. Libre à nous d’utiliser celle qu’on préfère. Dans cette vidéo, on va utiliser celle de la règle du quotient.

On rappelle que d’après la règle du quotient la dérivée du quotient de deux fonctions dérivables 𝑢 sur 𝑣 est égale à 𝑢 prime fois 𝑣 moins 𝑣 prime fois 𝑢, le tout sur 𝑣 au carré. Et puisqu’on ne peut pas diviser par zéro, cette formule n’est valable que pour un dénominateur 𝑣 au carré différent de zéro. Pour appliquer la règle du quotient, on pose que 𝑢 de 𝑥 est égal à la fonction au numérateur, c’est 𝑒 puissance cinq 𝑥, et que 𝑣 de 𝑥 est égal à la fonction au dénominateur, c’est sept fois tangente de huit 𝑥.

Maintenant, pour appliquer la règle du quotient, on doit déterminer les expressions de 𝑢 prime de 𝑥 et 𝑣 prime de 𝑥. Commençons par 𝑢 prime de 𝑥. Il s’agit de la dérivée de 𝑒 puissance cinq 𝑥 par rapport à 𝑥. Pour calculer cette dérivée, on rappelle l’une des règles de dérivation des fonctions exponentielles. Pour toute constante réelle 𝑎, la dérivée par rapport à 𝑥 de 𝑒 puissance 𝑎𝑥 est égale à 𝑎 fois 𝑒 puissance 𝑎𝑥.

Dans le cas de notre fonction 𝑢 de 𝑥, on peut constater que 𝑎 est égal à cinq. On remplace 𝑎 par cinq dans la formule et on obtient que 𝑢 prime de 𝑥 est égal cinq fois 𝑒 puissance cinq 𝑥. On doit ensuite déterminer une expression de 𝑣 prime de 𝑥. Il s’agit de la dérivée par rapport à 𝑥 de sept fois la tangente de huit 𝑥. Pour calculer cette dérivée, on rappelle l’une des règles de dérivation des fonctions trigonométriques. Pour toute constante réelle 𝑎, la dérivée par rapport à 𝑥 de la tangente de 𝑎𝑥 est égale à 𝑎 fois la sécante au carré de 𝑎𝑥.

Dans notre cas, la valeur de 𝑎, c’est-à-dire le coefficient de 𝑥, est égale à huit. Donc la dérivée par rapport à 𝑥 de la tangente de huit 𝑥 est égale à huit fois la sécante au carré de huit 𝑥. Bien sûr, on doit ensuite multiplier ce résultat par sept pour obtenir 𝑣 prime de 𝑥. Et dans cette expression, on peut simplifier sept fois huit par la valeur 56.

On est maintenant prêt à appliquer la règle du quotient pour déterminer une expression de la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥. Elle est égale à 𝑢 prime de 𝑥 fois 𝑣 de 𝑥 moins 𝑣 prime de 𝑥 fois 𝑢 de 𝑥, le tout sur 𝑣 de 𝑥 au carré. On remplace 𝑢 de 𝑥, 𝑢 prime de 𝑥, 𝑣 de 𝑥 et 𝑣 prime de 𝑥 par les expressions trouvées précédemment et on obtient que d𝑦 sur d𝑥 est égal à cinq fois 𝑒 puissance cinq 𝑥 multiplié par sept fois la tangente de huit 𝑥 moins 56 fois la sécante au carré de huit 𝑥 multiplié par 𝑒 puissance cinq 𝑥, le tout divisé par sept fois la tangente de huit 𝑥, le tout au carré.

Pour simplifier cette expression, on peut factoriser le numérateur par 𝑒 puissance cinq 𝑥. On obtient 𝑒 puissance cinq 𝑥 multiplié par 35 fois la tangente de huit 𝑥 moins 56 fois la sécante au carré de huit 𝑥, le tout divisé par sept fois la tangente de huit 𝑥, le tout au carré.

On pourrait laisser notre réponse telle quelle. Mais, on peut aussi la simplifier davantage. Tout d’abord on peut développer le dénominateur. Ceci nous donne un dénominateur de sept au carré fois la tangente au carré de huit 𝑥. Et bien sûr, sept au carré est égal à 49. On observe à présent que notre numérateur et notre dénominateur ont un facteur commun de sept. On va donc diviser le numérateur et le dénominateur par sept. Et ceci nous donne notre réponse finale.

Par conséquent, étant donné une fonction 𝑦 égale à 𝑒 puissance cinq 𝑥 sur sept fois la tangente de huit 𝑥, on a montré que la dérivée première de 𝑦 par rapport à 𝑥 était égale à 𝑒 puissance cinq multiplié par cinq fois la tangente de huit 𝑥 moins huit fois la sécante au carré de huit 𝑥, le tout divisé par sept fois la tangente au carré de huit 𝑥.

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