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Vidéo de question : Déterminer la somme des coefficients binomiaux Mathématiques

Déterminez la somme des coefficients des trois premiers termes qui résultent du développement de (𝑥 - 2)⁴ en fonction des puissances descendantes de 𝑥.

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Transcription de vidéo

Déterminez la somme des coefficients des trois premiers termes qui résultent du développement de 𝑥 moins deux le tout élevé à la puissance quatre selon les puissances descendantes de 𝑥.

Dans cette question, on nous donne une expression binomiale sous la forme 𝑎 plus 𝑏 le tout élevé à la puissance 𝑛, où la valeur de notre exposant, ou puissance, 𝑛 est quatre. Nous commencerons par rappeler comment nous pouvons développer une expression de ce type en utilisant le triangle de Pascal et la formule du binôme de Newton.

Le triangle de Pascal est un ensemble triangulaire des coefficients binomiaux. Dans cette question, nous nous sommes intéressés à la rangée 𝑛 est égal à quatre, qui a cinq éléments. Le premier terme du développement de 𝑎 plus 𝑏 le tout élevé à la puissance quatre est un multiplié par 𝑎 à la puissance quatre. Le deuxième terme est égal à quatre multiplié par 𝑎 au cube multiplié par 𝑏 ou 𝑏 à la puissance un. Le troisième terme est égal à six multiplié par 𝑎 au carré multiplié par 𝑏 au carré. En remarquant que les puissances ou les exposants de 𝑎 diminuent et que les exposants ou les puissances de 𝑏 augmentent, nos deux derniers termes sont quatre multiplié par 𝑎 multiplié par 𝑏 au cube et un multiplié par 𝑏 à la puissance quatre.

Dans cette question, nous voulons développer 𝑥 moins deux le tout élevé à la puissance quatre. Cela signifie que la valeur de 𝑎 est 𝑥 et la valeur de 𝑏 est moins deux. En substituant ces valeurs dans notre expression, nous obtenons un multiplié par 𝑥 à la puissance quatre plus quatre 𝑥 au cube multiplié par moins deux plus six 𝑥 au carré multiplié par moins deux au carré plus quatre 𝑥 multiplié par moins deux au cube plus un multiplié par moins deux à la puissance quatre. Cela se simplifie à son tour en un 𝑥 à la puissance quatre moins huit 𝑥 au cube plus 24𝑥 au carré moins 32𝑥 plus 16.

Nos termes ont maintenant été écrits selon les puissances descendantes de 𝑥. Nous nous intéressons aux coefficients des trois premiers termes. Ils sont égaux à un, moins huit et 24. On nous demande de trouver la somme de ces trois valeurs. Un plus moins huit est égal à moins sept. En y ajoutant 24, on obtient 17. La somme des coefficients des trois premiers termes du développement est 17.

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