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Vidéo de question : Déterminer la dérivée première d’une fonction exponentielle avec une base entière Mathématiques

Déterminez 𝑑𝑦/𝑑𝑥 sachant que 𝑦=−3×2^𝑥.

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Transcription de vidéo

Déterminez 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 sachant que 𝑦 est égal à moins trois fois deux puissance 𝑥.

On veut déterminer 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥. Et puisque 𝑦 est égal à moins trois fois deux puissance 𝑥, ceci signifie qu’on doit dériver moins trois fois deux puissance 𝑥 par rapport à 𝑥. Comme la dérivée d’un nombre fois une fonction est égale au nombre fois la dérivée de la fonction, donc il nous suffit de dériver deux puissance 𝑥 par rapport à 𝑥.

Comment faire à présent pour dériver la fonction exponentielle de base deux, c’est-à-dire deux puissance 𝑥 ? On peut utiliser notre connaissance du nombre 𝑒, et en particulier le fait que la dérivée de 𝑒 puissance 𝑥 par rapport à 𝑥 est simplement égale à 𝑒 puissance 𝑥. Chaque fois qu’on dérive une expression, chaque fois que la variable par rapport à laquelle on cherche à dériver (ici, la variable 𝑥) apparaît dans une puissance, on peut alors utiliser cette propriété. Pour être en mesure de l’utiliser, on doit d’abord réécrire en base 𝑒 tous les termes exponentiels qu’on cherche à dériver.

Alors comment fait-on cela pour deux puissance 𝑥 ? Eh bien, on peut réécrire deux sous la forme 𝑒 à la puissance logarithme népérien de deux. Puis on utilise les propriétés des puissances pour réécrire deux puissance 𝑥 sous la forme 𝑒 à la puissance logarithme népérien de deux fois 𝑥. On est maintenant en base 𝑒. En quoi cela nous aide-t-il ? Eh bien, on peut appliquer la règle de dérivation en chaîne.

En posant que 𝑧 est égal au logarithme népérien de deux fois 𝑥, on doit maintenant calculer moins trois fois la dérivée par rapport à 𝑥 de 𝑒 puissance 𝑧. Maintenant, en appliquant la règle de dérivation en chaîne à 𝑓 égale 𝑒 puissance 𝑧, on obtient moins trois fois 𝑑 sur 𝑑𝑧 de 𝑒 puissance 𝑧 fois 𝑑𝑧 sur 𝑑𝑥.

Faisons un peu de place pour la suite des calculs. Ici, j’ai recopié notre dernière ligne de calcul. Comment déterminer 𝑑 sur 𝑑𝑧 de 𝑒 puissance 𝑧 ? Eh bien, tout comme 𝑑 sur 𝑑𝑥 de 𝑒 puissance 𝑥 est égal à 𝑒 puissance 𝑥, ou 𝑑 sur 𝑑𝑞 de 𝑒 puissance 𝑞 est égal à 𝑒 puissance 𝑞, 𝑑 sur 𝑑𝑧 de 𝑒 puissance 𝑧 est égal à 𝑒 puissance 𝑧. Maintenant, que peut-on dire de 𝑑𝑧 sur 𝑑𝑥 ? Eh bien, 𝑧 est égal au logarithme népérien de deux fois 𝑥. Donc 𝑑𝑧 sur 𝑑𝑥 est simplement égal au logarithme népérien de deux.

Avons-nous terminé ? Eh bien, pas tout à fait, car on a exprimé 𝑑𝑦 sur 𝑑𝑥 en fonction de 𝑧, alors qu’on voudrait l’exprimer en fonction de 𝑥. Pour y remédier, on peut remplacer 𝑧 par le logarithme népérien de deux fois 𝑥. On obtient alors une expression en fonction de 𝑥. Mais on peut encore améliorer cette réponse.

On a montré précédemment qu’on pouvait réécrire deux puissance 𝑥 en base 𝑒, sous la forme 𝑒 à la puissance logarithme népérien de deux fois 𝑥. On peut maintenant faire l’inverse, c’est-à-dire réécrire 𝑒 puissance logarithme népérien de deux fois 𝑥 sous la forme deux puissance 𝑥. Et donc, notre réponse finale est moins trois fois deux puissance 𝑥 fois le logarithme népérien de deux.

En général, si on veut dériver une expression comprenant des termes tels que deux puissance 𝑥, trois puissance 𝑥 ou même, comme on le verra peut-être plus tard, 𝑥 puissance 𝑥, il faut d’abord réécrire ces exponentielles en base 𝑒. Pour cela, on utilisera probablement la fonction logarithme népérien et certaines propriétés des puissances. Après avoir réécrit toutes les exponentielles en base 𝑒, on peut dériver en utilisant la règle de dérivation chaîne.

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