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Vidéo de question : Déterminer la suite arithmétique sous une condition donnée Mathématiques

Déterminez la suite arithmétique où 𝑎₂ + 𝑎₄ = -28 et 𝑎₃ × 𝑎₅ = 140.

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Transcription de vidéo

Déterminez la suite arithmétique où 𝑎 deux plus 𝑎 quatre est égal à moins 28 et 𝑎 trois fois 𝑎 cinq égale 140.

Voyons comment ce type de suites fonctionne. Si nous posons 𝑎 un comme premier terme de notre suite, 𝑎 deux comme le deuxième, et ainsi de suite, pour passer du terme un au terme deux, nous avons une différence de 𝑑. Alors, nous disons que, dans une suite arithmétique, la suite a une raison de 𝑑. Cela signifie que nous pouvons trouver le terme 𝑛 en prenant le premier terme, 𝑎 un et en ajoutant 𝑛 moins un fois 𝑑. On peut y penser comme ça. 𝑎 quatre sera égal à 𝑎 un plus trois 𝑑.

Maintenant que nous le savons, nous pouvons considérer les informations qui nous ont été données. On nous dit que 𝑎 deux plus 𝑎 quatre est égal à moins 28. Le deuxième terme plus le quatrième terme est égal à moins 28. Nous savons également que 𝑎 trois fois 𝑎 cinq égale 140. Le troisième terme multiplié par le cinquième terme est égal à 140. La première chose que nous pouvons faire est d’écrire tous nos termes en fonction de 𝑎 un et 𝑑. Voici ce que je veux dire par là. Nous pouvons réécrire 𝑎 deux comme 𝑎 un plus la raison 𝑑. Cela signifie que 𝑎 trois est égal au premier terme plus deux fois la raison. Le quatrième terme est égal au premier terme plus trois fois la raison. Le cinquième terme est égal au premier terme plus quatre fois la raison.

En regardant notre première équation, nous voulons substituer ces relations étoilées aux deuxième et quatrième termes. Au lieu du deuxième terme 𝑎 deux, nous aurons 𝑎 un plus 𝑑. A la place du quatrième terme, nous aurons 𝑎 un plus trois 𝑑, tous égaux à moins 28. Nous pouvons combiner des termes similaires. Nous avons 𝑎 un plus 𝑎 un, ce qui nous donne deux 𝑎 un. Puis, nous pouvons combiner 𝑑 plus trois 𝑑 pour nous donner quatre 𝑑. Maintenant, nous pouvons dire que deux 𝑎 un plus quatre 𝑑 égale moins 28. À ce stade, nous reconnaissons que nous avons trois termes pairs. Ainsi, nous pouvons diviser l’équation entière par deux, ce qui nous donnera 𝑎 un plus deux 𝑑 est égal à moins 14.

À ce stade, vous n’identifieriez peut-être rien d’autre que nous puissions faire. Nous passons alors à notre deuxième équation. Nous substituons 𝑎 un plus deux 𝑑 dans 𝑎 trois. Nous substituons 𝑎 un plus quatre 𝑑 dans le cinquième terme. Pendant que vous faites cela, espérons-le, vous reconnaissez ce terme 𝑎 un plus deux 𝑑. Nous avons déjà découvert que 𝑎 un plus deux 𝑑 est égal à moins 14. Nous pouvons substituer moins 14 dans 𝑎 un plus deux 𝑑. Si nous regardons de près, nous obtenons ceci car 𝑎 un plus deux 𝑑 est égal au troisième terme de la suite. Nous pouvons donc insérer cette valeur pour le troisième terme de notre suite.

Maintenant, que devons-nous faire ? Nous pourrions revenir à notre première équation, 𝑎 un plus deux 𝑑 égale moins 14 et soustraire deux 𝑑 des deux membres, ce qui nous dit que 𝑎 un est égal à moins 14 moins deux 𝑑. Puis, nous pourrions insérer moins 14 moins deux 𝑑 dans 𝑎 un. Si nous faisons cela, nous combinons des termes similaires. Moins deux 𝑑 plus quatre 𝑑 égale deux 𝑑. Nous avons donc moins 14 fois moins 14 plus deux 𝑑 égale 140. Ensuite, nous divisons les deux membres de l’équation par moins 14. Nous voyons que moins 14 plus deux 𝑑 égale moins 10. Nous ajoutons donc 14 aux deux membres. Nous trouvons que deux 𝑑 égale quatre. Nous divisons donc les deux membres par deux. Nous trouvons que 𝑑, notre raison, est égale à deux.

Revenons à 𝑎 trois fois 𝑎 cinq, pour un instant, ce qui équivaut à 140. Une fois que nous avons découvert que le troisième terme était moins 14, nous pouvons très rapidement et facilement trouver le cinquième terme en divisant les deux membres de cette équation par moins 14. 𝑎 cinq égale moins 10. Maintenant que nous savons que notre cinquième terme est moins 10, nous allons substituer cela. Pour résoudre le reste de nos termes, nous pouvons simplement utiliser notre raison. Nous savons que pour passer d’un terme au prochain terme, on ajoute deux. Ainsi, notre quatrième terme sera moins 14 plus deux, ce qui donne moins 12. Pour trouver notre deuxième terme, nous devons procéder dans le sens inverse. Nous devons trouver ce qui, plus deux, égale moins 14. Une autre façon de dire cela est moins 14 moins deux, ce qui est moins 16. Encore une fois, pour notre premier terme, nous demandons ce qui, plus deux, égale moins 16 ou que vaut moins 16 moins deux. Cela donne moins 18.

Nous avons trouvé les cinq premiers termes de cette suite. Cependant, à ce stade, il convient toujours de vérifier que les deux affirmations par lesquelles nous avons commencé sont vraies. On nous a dit que les deuxième et quatrième termes combinés devraient être égaux à moins 28. Le deuxième terme est moins 16. Le quatrième terme est moins 12. Moins 16 plus moins 12 égal moins 28. On nous a dit que le troisième terme multiplié par le cinquième terme est égal à 140. Soit moins 14 fois moins 10, ce qui est égal à 140.

Nous écrivons une suite comme celle-ci entre parenthèses, où nous énumérons le premier, le deuxième et le troisième terme : moins 18, moins 16, moins 14, etc.

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