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Vidéo de question : Trouver le produit de deux nombres complexes sous forme algébrique Mathématiques

Si 𝑟 = 2 + 7𝑖 et 𝑠 = 1 + 2𝑖, que vaut 𝑟 × 𝑠 ?

02:25

Transcription de vidéo

Si 𝑟 est égal à deux plus sept 𝑖 et 𝑠 est égal à un plus deux 𝑖, que vaut 𝑟 multiplié par 𝑠 ?

Dans cette question, on nous donne deux nombres complexes et on nous demande de trouver leur produit. Ainsi, la première chose à faire est d’écrire ce produit en entier. Nous avons 𝑟 multiplié par 𝑠 est égal à deux plus sept 𝑖 multiplié par un plus deux 𝑖.

C’est là qu’on voit quelque chose d’intéressant. À l’intérieur de chacune des parenthèses, il y a deux termes. Or, on connaît la double-distributivité : additionner le produit de chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la deuxième. Nous allons commencer par multiplier les premiers termes de chaque parenthèse. Ce qui donne deux multiplié par un. Ensuite, ajoutons le produit du premier terme de la première parenthèse par le deuxième terme de la seconde. Soit deux multiplié par deux 𝑖. La troisième étape consiste à ajouter le produit du second terme de la première parenthèse par le premier terme de la seconde. Ce produit est sept 𝑖 multiplié par un. Enfin, la dernière étape est d’ajouter le produit des deuxièmes termes de chaque parenthèse. Ainsi, ici, il faut ajouter sept 𝑖 multiplié par deux 𝑖.

Donc, par double-distributivité, nous avons développé les parenthèses et écrit les quatre termes qui en découlent. Nous pouvons maintenant simplifier chacun de ces termes séparément. Premièrement, deux fois un égale deux. Ensuite, pour multiplier deux par deux 𝑖, il faut multiplier deux par deux, soit quatre. Puis multiplier par 𝑖, ce qui donne quatre 𝑖.

Ensuite, un nombre multiplié par un est égal à lui-même. Donc, sept 𝑖 fois un est égal à sept 𝑖. Simplifier le dernier terme est plus compliqué. Il faut multiplier sept par deux, ce qui donne 14. Mais il reste encore deux facteurs de 𝑖. Il faut donc multiplier par 𝑖 fois 𝑖, c’est-à-dire par 𝑖 au carré.

Ainsi, jusque là, on a montré que 𝑟 multiplié par 𝑠 est égal à deux plus quatre 𝑖 plus sept 𝑖 plus 14𝑖 au carré. On peut continuer à simplifier. On peut additionner le deuxième et le troisième terme. Pour ce faire, il suffit d’additionner les coefficients de 𝑖. Quatre 𝑖 plus sept 𝑖 est égal à 11𝑖. On peut encore simplifier.

On remarque que dans le troisième et dernier terme, il y a 𝑖 au carré. Or, 𝑖 est la racine carrée de moins un. Ainsi, 𝑖 au carré est la racine carrée de moins un au carré, ce qui vaut donc moins un. Ainsi, dans cette expression, on peut remplacer 𝑖 au carré par moins un, ce qui signifie qu’au lieu d’ajouter 14 𝑖 au carré, on retranche 14. Bien sûr, cela permet de simplifier l’expression puisqu’on peut simplifier deux moins 14. On trouve que cela donne moins 12 et notre réponse finale est donc 𝑟 multiplié par 𝑠 est égal à moins 12 plus 11𝑖.

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