Vidéo : Asymptote horizontale et vertical d’une fonction

Dans cette vidéo, nous apprenons à déterminer les asymptotes horizontale et verticale d’une fonction.

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Asymptotes horizontales et verticales d’une fonction

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer les asymptotes horizontales et verticales d’une fonction en considérant certaines limites. Commençons par comprendre la définition de l’asymptote. Une asymptote horizontale ou verticale d’une courbe est une droite telle que la distance entre la courbe et la droite tend vers zéro lorsque la coordonnée 𝑥 ou la coordonnée 𝑦 tend vers l’infini. Nous pouvons voir un exemple d’asymptote. Si l’on considère la représentation graphique de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale un sur 𝑥. Cette fonction a une asymptote verticale en 𝑥 égale zéro et une asymptote horizontale en 𝑦 égale zéro.

Une asymptote peut se produire de différentes manières. Pour les asymptotes verticales, l’asymptote peut se produire si la fonction tend vers plus l’infini de la gauche et moins l’infini de la droite. Une autre manière similaire est si la fonction tend vers moins l’infini de la gauche et vers plus l’infini de la droite, ce que nous avons vu dans le cas de 𝑓 de 𝑥 égale un sur 𝑥. Et maintenant, si la fonction tend vers moins l’infini de la gauche et de la droite, alors la courbe pourrait également tendre vers plus l’infini de la gauche et de la droite. Alternativement, il se peut qu’une seule des limites gauche ou droite soit infinie. Cela pourrait être soit la limite gauche ou droite tendant vers plus ou moins l’infini.

On peut en conclure que 𝑥 égale 𝑐 est une asymptote verticale. Si 𝑥 tend vers 𝑐 de la gauche ou de la droite, alors 𝑓 de 𝑥 tend vers plus ou moins l’infini. Nous pouvons maintenant considérer les asymptotes horizontales. Celles-ci se produiront lorsque la limite, alors que 𝑥 tend vers plus ou moins l’infini de 𝑓 de 𝑥 égale une certaine constante. Nous disons que 𝑦 égale 𝑐 est une asymptote horizontale si, lorsque 𝑥 tend vers plus ou moins l’infini, 𝑓 de 𝑥 tend vers 𝑐. Nous pouvons écrire ces définitions pour les asymptotes verticales et horizontales en fonction de limites.

Pour l’asymptote verticale, 𝑥 égale 𝑐 est l’asymptote verticale si la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑐 au-dessus de 𝑓 de 𝑥 égale plus ou moins l’infini, ou si la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑐 au-dessous de 𝑓 de 𝑥 égale plus ou moins l’infini. Pour les asymptotes horizontales, on dit que 𝑦 égale 𝑐 est une asymptote horizontale, si la limite lorsque 𝑥 tend vers l’infini de 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑐, ou si la limite lorsque 𝑥 tend vers moins l’infini de 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑐. Maintenant que nous avons couvert la définition de l’asymptote horizontale et verticale et les façons dont différentes asymptotes peuvent se produire, nous sommes prêts à voir un exemple.

Déterminez les asymptotes verticale et horizontale de la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à moins un plus trois sur 𝑥 moins quatre sur 𝑥 au carré.

Commençons par écrire notre fonction comme une seule fraction. Nous trouvons un dénominateur commun de 𝑥 au carré. Et nous pouvons écrire 𝑓 de 𝑥 comme moins 𝑥 au carré plus trois 𝑥 moins quatre sur 𝑥 au carré. Pour déterminer les asymptotes verticales, il faut déterminer les valeurs de 𝑎 telles que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 par dessous 𝑓 de 𝑥 égale plus ou moins l’infini, ou que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 par-dessus 𝑓 de 𝑥 est égale à plus ou moins l’infini. Puisque notre fonction 𝑓 de 𝑥 est irrationnelle, cela se produira lorsque le dénominateur de notre fonction tend vers zéro.

Maintenant, le dénominateur de notre fonction est simplement 𝑥 au carré, alors nous pouvons dire que les asymptotes verticales se produiront lorsque 𝑥 au carré égale zéro. Nous avons donc constaté qu’il y aurait une asymptote verticale en 𝑥 égale zéro. Afin de trouver nos asymptotes horizontales, nous devons trouver les valeurs de 𝑏 telles que la limite lorsque 𝑥 tend vers l’infini de 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑏. Ou la limite lorsque 𝑥 tend vers moins l’infini de 𝑓 de 𝑥 est aussi égale à 𝑏. Nous prenons donc la limite de notre fonction lorsque 𝑥 tend vers l’infini. Pour trouver cette limite, nous devons multiplier le haut et le bas de notre fraction par un sur 𝑥 au carré. Et nous avons obtenu que la limite est 𝑥 tend vers l’infini de moins un plus trois sur 𝑥 moins quatre sur 𝑥 au carré le tout sur un.

Ensuite, nous utiliserons le fait que la limite lorsque 𝑥 tend vers plus ou moins l’infini sur un sur 𝑥 est égale à zéro. Par conséquent, trois sur 𝑥 et moins quatre sur 𝑥 au carré tendront tous les deux vers zéro. Et donc nous constatons que notre limite est légale à moins un. Ainsi, nous constatons que nous avons une asymptote horizontale lorsque 𝑦 égale moins un. Nous pouvons rapidement considérer la limite lorsque 𝑥 tend vers moins l’infini de notre fonction. Cependant, puisque la limite que nous utilisions, c’est la limite lorsque 𝑥 tend vers plus ou moins l’infini de un sur 𝑥 égale zéro, marche à la fois pour plus et moins l’infini. Nous verrons que la limite lorsque 𝑥 tend vers moins l’infini nous donne la même asymptote que la limite lorsque 𝑥 tend vers plus l’infini.

Nous avons donc trouvé les asymptotes verticales et horizontales de notre fonction. Il est important de savoir que la fonction 𝑓 de 𝑥 peut couper l’asymptote en un certain point. Nous pouvons le voir si nous traçons le graphique de la fonction donnée dans cet exemple. Ici, nous pouvons voir un croquis de notre fonction, y compris les asymptotes horizontales et verticales que nous avons trouvées, en 𝑥 égale zéro et en 𝑦 égale moins un. Nous pouvons voir que lorsque 𝑥 tend vers plus l’infini, la fonction coupe l’asymptote horizontale. Cependant, ça représente toujours le comportement asymptotique puisque, lorsque 𝑥 devient de plus en plus grand, nous pouvons voir que la droite représentative de la fonction se rapproche de plus en plus de la droite d’équation 𝑦 égale moins un. Nous pouvons dire que lorsque 𝑥 tend vers l’infini, 𝑓 de 𝑥 devient arbitrairement proche de 𝑦 égale moins un.

Voyons maintenant un autre exemple.

Quelles sont les deux asymptotes de l’hyperbole d’équation 𝑦 égale cinq 𝑥 plus un sur trois 𝑥 moins quatre?

Pour déterminer une asymptote verticale ici, nous devons trouver les valeurs de 𝑏 telles que toute limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑏 de 𝑦 égale plus ou moins l’infini. Pour trouver les asymptotes verticales, il suffit de trouver les valeurs de 𝑥 telles que le dénominateur de 𝑦 soit égal à zéro. Cela signifie que trois 𝑥 moins quatre égale zéro. En réarrangeant cela, nous constatons qu’il existe une asymptote verticale en 𝑥 égale quatre tiers. Pour trouver les asymptotes horizontales de 𝑦, nous devons considérer la limite lorsque 𝑥 tend vers plus ou moins l’infini de 𝑦. Afin de trouver la limite lorsque 𝑥 tend vers l’infini de cinq 𝑥 plus un sur trois 𝑥 moins quatre, nous multiplions d’abord le numérateur et le dénominateur de la fraction par un sur 𝑥.

Nous nous retrouvons avec la limite lorsque 𝑥 tend vers l’infini de cinq plus un sur 𝑥 sur trois moins quatre sur 𝑥. Ensuite, nous pouvons utiliser le fait que la limite lorsque 𝑥 tend vers l’infini de un sur 𝑥 égale zéro, ce qui nous indique que un sur 𝑥 et moins quatre sur 𝑥 tendront tous les deux vers zéro lorsque 𝑥 tend vers l’infini. Nous constatons donc que notre limite est égale à cinq tiers. Notons rapidement que si nous considérons la limite lorsque 𝑥 tend vers moins l’infini de 𝑦, nous verrions alors que cette limite est aussi égale à cinq tiers. Ainsi, la réponse à cette question est que nous avons une asymptote verticale en 𝑥 égale quatre tiers et une asymptote horizontale en 𝑦 égale cinq tiers.

Nous allons voir un cas plus général dans notre exemple suivant.

La représentation graphique de l’équation 𝑦 égal 𝑎𝑥 plus 𝑏 sur 𝑐𝑥 plus 𝑑 n’est une hyperbole que si 𝑐 n’est pas en zéro. Dans ce cas, quelles sont les deux asymptotes ?

Commençons par déterminer l’asymptote verticale de cette fonction. Les asymptotes verticales existent en 𝑥 égale 𝑘 lorsque, soit la limite lorsque 𝑥 tends vers 𝑘 par-dessous 𝑦 est égale à plus ou moins l’infini, soit la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑘 par-dessus 𝑦 est égale plus ou moins l’infini. Puisque 𝑦 est une fonction rationnelle, cela se produira à des valeurs 𝑥, où le dénominateur de 𝑦 est égal à zéro. Ainsi, nous pouvons trouver nos asymptotes verticales en définissant le dénominateur de 𝑦 égal à zéro. Maintenant, nous résolvons 𝑐𝑥 plus 𝑑 égale zéro pour 𝑥. Nous avons obtenu une asymptote verticale lorsque 𝑥 égale moins 𝑑 sur 𝑐.

Pour trouver l’asymptote horizontale de 𝑦, nous devons considérer la limite lorsque 𝑥 tend vers plus ou moins l’infini de 𝑦. Afin de trouver cette limite, nous pouvons multiplier le numérateur et le dénominateur par un sur 𝑥. Ensuite, nous utilisons le fait que la limite lorsque 𝑥 tend vers l’infini de un sur 𝑥 égale zéro, afin de dire que lorsque nous prenons cette limite, 𝑏 sur 𝑥 et 𝑑 sur 𝑥 tendront tous les deux vers zéro. Et cela nous laisse avec 𝑎 sur 𝑐. Maintenant, nous avons déterminé notre asymptote horizontale. Nous avons donc trouvé que les deux asymptotes de notre hyperbole sont 𝑥 égale moins 𝑑 sur 𝑐 et 𝑦 égale 𝑎 sur 𝑐.

Nous pouvons utiliser ce résultat pour nous aider à déterminer rapidement les asymptotes des hyperboles de cette forme.

Par exemple, si nous voulons déterminer les asymptotes de la fonction 𝑦 égale neuf 𝑥 moins 12 sur cinq moins 12𝑥. Nous pouvons utiliser le fait que notre fonction de la forme 𝑦 est égale à 𝑎𝑥 plus 𝑏 sur 𝑐𝑥 plus 𝑑 a des asymptotes 𝑥 égale moins 𝑑 sur 𝑐 et 𝑦 égale 𝑎 sur 𝑐 afin de déterminer rapidement nos asymptotes. Écrire les valeurs de 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 pourrait rendre les choses un peu plus faciles. Nous trouvons que notre asymptote verticale est en 𝑥 égale cinq sur 12. Et notre asymptote horizontale est en moins trois sur quatre. Maintenant, notons rapidement qu’une fonction peut avoir plus d’une asymptote verticale et plus d’une asymptote horizontale.

Par exemple, considérons la fonction 𝑓 de 𝑥 égale un sur 𝑥 au carré moins quatre. Nous remarquons que le dénominateur de notre fonction est une différence de deux carrés. Et la fonction peut donc être écrite comme un sur 𝑥 plus deux multiplié par 𝑥 moins deux. Maintenant pour trouver nos asymptotes verticales, nous devons trouver les valeurs de 𝑥 qui feront à ce que nos fonctions tendent vers l’infini. Pour ce faire, nous égalisons le dénominateur de la fonction à zéro. Cela nous donnera deux asymptotes, l’une en 𝑥 égale moins deux, ce qui vient de 𝑥 plus deux étant égal à zéro, et l’autre en 𝑥 égale deux, ce qui viendra de 𝑥 moins deux étant égal à zéro.

Si nous prenons la limite de notre fonction lorsque 𝑥 tend vers l’infini, nous pouvons voir que le dénominateur de cette fraction tendra vers l’infini lorsque 𝑥 tend vers l’infini. Ainsi, la valeur de cette limite est simplement zéro, ce qui nous donne une asymptote horizontale en 𝑦 égale zéro, sachant que les valeurs de ces trois asymptotes nous aideront à tracer notre graphique. Voici à quoi ressemblera la représentation graphique de notre fonction. Comme on peut le voir, il y a deux asymptotes verticales et une horizontale. Dans l’exemple suivant, nous allons voir un cas où il faut faire très attention, c’est lorsque nous avons dans notre fonction rationnelle un facteur qui peut être annulé. Regardons maintenant l’exemple suivant.

Trouvez les asymptotes de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 plus deux sur 𝑥 au carré moins quatre.

Nous commencerions normalement par rechercher l’asymptote verticale en égalisant le dénominateur de notre fonction à zéro. Cependant, nous ne pouvons pas le faire immédiatement avec cette fonction. Commençons plutôt par factoriser le dénominateur de 𝑓 de 𝑥. Nous pouvons remarquer que nous avons un facteur de 𝑥 plus deux à la fois au numérateur et au dénominateur. Nous pouvons donc annuler le facteur au numérateur et au dénominateur. Cependant, nous devons faire attention car, en faisant cela, nous allons légèrement modifier notre fonction, puisque la fonction initiale 𝑓 de 𝑥 n’est pas définie lorsque la valeur de 𝑥 est égale à moins deux. Cependant, notre nouvelle fonction, que nous pouvons appeler 𝑔 de 𝑓𝑥, l’est. Cependant, les asymptotes de 𝑓 et 𝑔 seront toujours les mêmes.

Maintenant, afin de déterminer les asymptotes de 𝑓, nous avons simplement besoin de déterminer les asymptotes de 𝑔. Afin de déterminer les asymptotes verticales, égalisons le dénominateur de 𝑔 à zéro. Cela nous donne une asymptote verticale en 𝑥 égale deux. Afin de déterminer les asymptotes horizontales, nous devons déterminer la limite de 𝑔 lorsque 𝑥 tend vers l’infini. C’est donc la limite lorsque 𝑥 tend vers l’infini de un sur 𝑥 moins deux. Maintenant, lorsque 𝑥 tend vers l’infini, 𝑥 moins deux tendra aussi vers l’infini. Et puisque 𝑥 moins deux est au dénominateur de la fonction ici, cela signifie que cette limite tendra vers zéro. Ainsi, nous avons une asymptote horizontale en 𝑦 égale zéro. Traçons rapidement les représentations graphiques de 𝑔 de 𝑥 et de 𝑓 de 𝑥, pour que l’on puisse voir en quoi ces deux fonctions diffèrent, bien qu’elles partagent les mêmes asymptotes.

Comme on peut le voir sur les croquis des représentations graphiques de 𝑔 de 𝑥 à gauche et de 𝑓 de 𝑥 à droite, les deux fonctions semblent identiques. La seule différence est que, sur la représentation graphique de 𝑓 de 𝑥, le point dont la valeur 𝑥 est moins deux est indéfini. Si nous avions essayé de trouver les asymptotes verticales sans annuler le facteur 𝑥 plus deux, notre dénominateur serait alors 𝑥 plus deux multiplié par 𝑥 moins deux. Et pour déterminer l’asymptote verticale, nous aurions égalisé ce dénominateur à zéro. Et nous aurions dit qu’il y avait deux asymptotes verticales, l’une en 𝑥 égale moins deux et l’autre en 𝑥 égale deux. Cependant, comme nous pouvons le voir sur notre graphique, il n’existe pas d’asymptote en 𝑥 égale moins deux. Ce que nous avons n’est qu’un point indéfini. Il est donc très important de vérifier qu’il n’existe aucun facteur dans notre fonction qui puisse être annulé avant que nous ne commencions à déterminer des asymptotes.

Nous avons vu une variété d’exemples sur comment déterminer des asymptotes et comment les utiliser, surtout pour identifier ou tracer les représentations graphiques. Nous allons maintenant revenir sur quelques points clés de cette vidéo. Points clés. Pour déterminer des asymptotes verticales, nous devons identifier les points qui donnent un dénominateur nul. Cependant, nous devons veiller à vérifier si la fonction rationnelle peut être simplifiée. Pour déterminer des asymptotes horizontales, nous devons considérer la limite de la fonction lorsque 𝑥 tend vers plus et moins l’infini. Les asymptotes d’une fonction peuvent être utiles pour nous aider à identifier ou à tracer la représentation graphique de la fonction.

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