Transcription de la vidéo
Si la force 𝐅 est égale à moins trois 𝐢 plus 𝑚𝐣 agit sur le point 𝐴 cinq, un, où son vecteur de moment autour du point 𝐵 trois, quatre est 𝐤, déterminez la valeur de 𝑚 et la distance perpendiculaire 𝐿 entre 𝐵 et la ligne d’action de la force.
Rappelons que le moment 𝐌 d’une force 𝐅 agissant à partir d’un point 𝑃 autour d’un point 𝑂 est donné par le produit vectoriel de 𝐫 par 𝐅, où 𝐫 est le vecteur de 𝑂 à 𝑃. Rappelons également que la norme de 𝐌 est égale à l’intensité de 𝐅 multipliée par la distance perpendiculaire 𝐿 du point d’action de 𝐅 au pivot. Dans ce cas, nous avons un pivot 𝐵 en trois, quatre et une force 𝐅 égale à moins trois 𝐢 plus 𝑚𝐣 agissant sur le point 𝐴 en cinq, un. Nous savons que le moment 𝐌 de 𝐅 autour de 𝐵 est égal à 𝐤. Et on nous demande de trouver la distance perpendiculaire 𝐿 entre la ligne d’action de la force et le point 𝐵, qui est cette distance ici.
Pour ce faire, nous devrons réorganiser cette équation pour trouver 𝐿. Mais nous ne connaissons pas encore la valeur de l’intensité de 𝐅. Pour trouver cela, nous pouvons utiliser la première équation 𝐌 est égale au produit vectoriel de 𝐫 par 𝐅 parce que nous savons déjà 𝐌 et 𝐫 est assez facile à déterminer. 𝐫 est le vecteur du point 𝐵 au point 𝐴. Et 𝐵𝐴 est égal au vecteur position de 𝐴 cinq, un moins le vecteur position de 𝐵 trois, quatre. Cela nous donne que 𝐫 est égal à deux, moins trois. Ensuite, nous pouvons prendre le produit vectoriel de 𝐫 par 𝐅, qui est égal au déterminant de la matrice trois-trois 𝐢, 𝐣, 𝐤, deux, moins trois, zéro, moins trois, 𝑚, zéro. Les deux vecteurs sont dans le plan 𝑥𝑦 et leur composantes 𝐤 sont zéro. Par conséquent, seule la composante 𝐤 du produit vectoriel sera non nulle.
On calcule ce déterminant en développant le long de la rangée du haut, ce qui nous donne deux 𝑚 moins neuf 𝐤. La question nous dit que le moment de la force autour du point 𝐵 est 𝐤. Par conséquent, deux 𝑚 moins neuf est égal à un. En isolant 𝑚 nous donne 𝑚 égale cinq. Nous avons alors les valeurs des composantes du vecteur 𝐅, moins trois 𝐢 et cinq 𝐣. De cela, nous pouvons trouver l’intensité de 𝐅 puis la distance perpendiculaire 𝐿. L’intensité de 𝐅 est donnée par le théorème de Pythagore comme la racine carrée de la somme des carrés de ses composantes. Nous avons donc la racine carrée de moins trois au carré plus cinq au carré. Cela revient à la racine carrée de 34, qui ne peut pas être simplifiée davantage.
Puisque le moment de la force autour du point 𝐵 est égal à 𝐤, la norme du moment est précisément un. Nous pouvons réorganiser la deuxième équation, qui nous donne 𝐿 est égal à la norme de 𝐌 sur l’intensité de 𝐅. Donc 𝐿 est égal à un sur la racine carrée de 34, que nous pouvons réécrire en multipliant le numérateur et le dénominateur par la racine carrée de 34, qui donne comme résultat la racine de 34 sur 34 unités de longueur.
