Vidéo question :: Déterminer la distance entre un point et un plan Mathématiques

Transcription de la vidéo

Déterminez, au centième près, la distance entre le point trois, deux, trois et le plan deux fois 𝑥 moins deux plus trois fois 𝑦 moins trois plus 𝑧 moins un est égal à zéro.

Ici, on nous demande de trouver la distance entre un point et un plan. Nous devons nous rappeler que la distance entre un point et un plan signifie la distance perpendiculaire car il s’agit de la distance la plus courte entre ces deux éléments. Il existe une formule qui nous permet de calculer la distance perpendiculaire. Cette formule nous dit que la distance 𝐷 majuscule entre le point 𝑥 un, 𝑦 un, 𝑧 un et le plan 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐𝑧 plus 𝑑 est égal à zéro est donnée par 𝐷 égale la valeur de 𝑎𝑥 un plus 𝑏𝑦 un plus 𝑐𝑧 un plus 𝑑 sur la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré plus 𝑐 au carré.

Mais avant d’utiliser cette formule, nous pouvons remarquer que l’équation du plan qui nous est donné ne correspond pas à la forme de la formule. Nous devrons la changer sous la forme 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 plus 𝑐𝑧 plus 𝑑 est égal à zéro. Nous pouvons simplifier cette équation en distribuant les valeurs entre parenthèses, ce qui donne deux 𝑥 moins quatre plus trois 𝑦 moins neuf plus 𝑧 moins un est égal à zéro. Nous regroupons ensuite les valeurs numériques moins quatre, moins neuf et moins un pour donner l’équation deux 𝑥 plus trois 𝑦 plus 𝑐 moins 14 est égal à zéro.

Avant d’utiliser la formule, nous pouvons noter les valeurs des variables que nous allons utiliser. 𝑥 un est trois, 𝑦 un est deux et 𝑧 un est trois. Dans l’équation du plan, nous avons 𝑎 est égal à deux, 𝑏 est égal à trois, 𝑐 est égal à un - puisque c’est le coefficient de 𝑧 - et le terme constant 𝑑 est égal à moins 14.

Insérer ces valeurs dans la formule, au numérateur, nous donne la valeur de deux fois trois plus trois fois deux plus un fois trois plus moins 14. Au dénominateur, nous avons la racine carrée de deux au carré plus trois au carré plus un au carré. Nous simplifions cela à la valeur de six plus six plus trois moins 14 sur la racine carrée de quatre plus neuf plus un. Nous avons donc un sur la racine carrée de 14.

Nous devons ensuite convertir cette valeur en un nombre décimal. Nous avons donc 0,2672 etc. Pour arrondir au centième près, nous remarquons que le troisième nombre décimal est sept. Ainsi, cette valeur est arrondie à 0,27. Nous pouvons donc donner la réponse qu’au centième près, la distance entre le point donné et le plan est de 0,27 unités de longueur.