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Vidéo de question : Déterminer des probabilités de loi normale Mathématiques

Soit 𝑋 une variable aléatoire normale. Déterminez 𝑃(𝑋 > 𝜇 + 0.71𝜎).

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Transcription de vidéo

Soit 𝑋 une variable aléatoire normale. Déterminez la probabilité que 𝑋 soit strictement supérieur à 𝜇 plus 0,71𝜎.

Rappelez-vous que la courbe représentant la loi normale avec une moyenne 𝜇 et un écart-type 𝜎 est en forme de cloche et symétrique par rapport à la moyenne. Et l’aire totale sous la courbe est de 100 pour cent ou un.

Tracer une courbe peut être un moyen très utile pour vous aider à décider comment répondre à un problème concernant les données suivant une loi normale. Dans ce cas, nous cherchons à trouver la probabilité que 𝑋 soit strictement supérieur à 𝜇 plus 0,71𝜎 ; c’est cette région ombrée. Nous savons qu’elle doit se situer au-dessus de la moyenne de notre courbe sous forme de cloche, car l’écart-type ne peut pas être négatif.

Une fois que nous avons défini cela, l’étape suivante dans la plupart des questions de loi normale consiste à calculer la valeur 𝑍. C’est une façon de mettre à l’échelle nos données ou de les standardiser dans ce qui devient une loi normale standard. Une fois cette étape terminée, nous pouvons procéder à partir d’une seule table de la loi normale.

Maintenant, peu importe que nous n’avions pas de valeur numérique pour la moyenne 𝜇 ou l’écart-type 𝜎 de cette série statistique. Voyons ce qui se passe lorsque nous substituons tout ce que nous savons dans notre formule pour la valeur 𝑍. Notre valeur pour 𝑋 est 𝜇 plus 0,71𝜎 puis nous soustrayons 𝜇 et nous divisons par 𝜎. 𝜇 moins 𝜇 est zéro.

Notre formule se simplifie donc quelque peu à 0,71𝜎 le tout divisé par 𝜎. Cependant, nous pouvons simplifier un peu plus en divisant par 𝜎. Et nous obtenons 𝑍 est égal à 0,71. Nous cherchons donc à trouver la probabilité que 𝑍 soit strictement supérieur à 0,71 puisque dans la question initiale, on nous demandait de trouver la probabilité que 𝑋 soit strictement supérieur à 𝜇 plus 0,71𝜎.

Notre table de la loi normale ne donne cependant que des probabilités entre zéro et 𝑍. Dans ce cas, c’est ce côté de la courbe. Nous trouvons donc la probabilité que 𝑍 soit strictement supérieur à 0,71 en soustrayant du nombre un la probabilité qu’elle soit strictement inférieure à 0,71 parce que nous avons dit que l’aire sous la courbe est égale à 100 pour cent ou au nombre un.

En regardant une valeur de 𝑍 égale à 0,71 dans notre table de la loi normale, nous pouvons voir que la probabilité que 𝑍 soit strictement inférieure à 0,711 est de 0,7611. Cela signifie que la probabilité que 𝑍 soit strictement supérieur à 0,71 est un moins 0,7611 ; c’est 0,2389.

Cela signifie que la probabilité que 𝑋 soit strictement supérieur à 𝜇 plus 0,71𝜎 soit égale à 0,2389.

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