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Vidéo de question : Utilisation de la loi des sinus pour trouver le rapport entre les longueurs de côtés d’un triangle Mathématiques

𝐴𝐵𝐶 est un triangle tel que 𝑚∠𝐴 = 30° et 𝑚∠𝐵 = 105°. Déterminez le rapport des longueurs 𝑎 : 𝑏 : 𝑐.

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Transcription de vidéo

𝐴𝐵𝐶 est un triangle où la mesure de l’angle en 𝐴 est de 30 degrés et la mesure de l’angle en 𝐵 est de 105 degrés. Trouvez le rapport des longueurs de 𝑎 à 𝑏 à 𝑐.

Commençons par tracer cette figure. N’oubliez pas que la figure n’a pas besoin d’être mise à l’échelle, mais elle doit être à peu près proportionnelle afin que nous puissions vérifier la pertinence des réponses que nous obtenons. La mesure de l’angle en 𝐴 est de 30 degrés, et la mesure de l’angle en 𝐵 est de 105 degrés. Puisque les angles d’un triangle ont une somme de 180 degrés, nous pouvons calculer la mesure de l’angle en 𝐶 en soustrayant 105 et 30 de 180 degrés. 180 moins 105 plus 30 est 45, donc la mesure de l’angle en 𝐶 est de 45 degrés.

Maintenant que nous connaissons la mesure de tous les angles de notre triangle, nous devons étiqueter ses côtés. Le côté opposé à l’angle 𝐴 est désigné par 𝑎 minuscule. Le côté opposé à l’angle 𝐵 est 𝑏 minuscule. Et le côté opposé à l’angle 𝐶 est donné par 𝑐 minuscule.

Nous avons un triangle non rectangle avec trois angles connus. Nous pouvons utiliser la loi des sinus pour nous aider à répondre à cette question. Remplaçons ce que nous savons dans la formule de la loi des sinus. Cela nous donne 𝑎 sur le sin 30 est égal à 𝑏 sur le sin 105, ce qui est égal à 𝑐 sur le sin 45. Le sin 30 est un demi, le sin 105 est la racine six plus la racine deux sur quatre et le sin 45 est la racine deux sur deux. Nous pouvons donc réécrire notre équation comme indiqué. Nous avons montré que les longueurs de côtés dans le triangle sont proportionnelles aux sinus de leurs angles opposés, nous pouvons donc réécrire cette équation sous forme de rapport.

Ensuite, nous devons simplifier ce rapport autant que possible. Nous pouvons le faire en multipliant chaque partie du rapport par quatre. Le rapport se simplifie en deux à la racine six plus racine deux à deux racine deux.

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