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Sachant que 𝑓 de 𝑥 est égal à huit 𝑥 moins huit si 𝑥 est inférieur à moins deux et 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑎𝑥 au cube si 𝑥 est supérieur ou égal à moins deux est une fonction continue, déterminez la valeur de 𝑎. Que peut-on dire de la dérivabilité de 𝑓 en 𝑥 égale moins deux?
Dans cette question, on nous donne la fonction définie par morceaux 𝑓 de 𝑥 et on nous dit qu’il s’agit d’une fonction continue. Nous devons utiliser ces hypothèses pour trouver la valeur de 𝑎. En regardant la définition de 𝑓 de 𝑥, nous pouvons voir quelque chose d’intéressant. Lorsque 𝑥 est inférieur à moins deux, notre fonction 𝑓 de 𝑥 est exactement égale à la fonction affine huit 𝑥 moins huit. Lorsque 𝑥 est supérieur ou égal à moins deux, nous pouvons voir que notre fonction 𝑓 de 𝑥 est exactement la même que la fonction cubique 𝑎𝑥 au cube. Nous savons que ces deux exemples sont des fonctions polynomiales. En outre, elles sont continues pour toutes les valeurs réelles de 𝑥. En d’autres termes, 𝑓 de 𝑥 est une fonction définie par morceaux où chaque morceau est continu.
Nous appelons ces fonctions “continues par morceaux”. Nous savons que les fonctions continues par morceaux seront continues partout, sauf peut-être aux extrémités de nos intervalles. Ainsi, dans ce cas, peu importe la valeur de 𝑎. Nous savons que 𝑓 sera toujours continue pour toutes les valeurs de 𝑥 inférieures à moins deux et toutes les valeurs de 𝑥 supérieures à moins deux. Nous ne savons tout simplement pas ce qui se passe lorsque 𝑥 est égal à moins deux.
Bien sûr, on nous dit que 𝑓 de 𝑥 est une fonction continue. Ainsi, elle doit être continue lorsque 𝑥 est égal à moins deux. Pour nous aider à trouver la valeur de 𝑎, rappelons que la définition de la continuité en 𝑥 est égale à moins deux. Il y a beaucoup de façons différentes d’écrire ceci. Nous allons rappeler la méthode suivante.
Nous disons que 𝑓 est continue en 𝑥 est égal à moins deux si les trois conditions suivantes sont remplies. Premièrement, 𝑓 évalué en moins deux doit être défini. Une autre façon de dire cela est de dire que moins deux doit appartenir à l’ensemble de définition de la fonction 𝑓 de 𝑥. Ensuite, nous avons besoin que la limite lorsque 𝑥 approche moins deux par la gauche de 𝑓 de 𝑥 soit égale à la limite lorsque 𝑥 approche moins deux par la droite de 𝑓 de 𝑥. De manière équivalente, vous verrez souvent cela écrit comme la limite lorsque 𝑥 approche moins deux de 𝑓 de 𝑥 existe. Cependant, la version que nous avons écrite est plus utile pour les fonctions définies par morceaux.
Enfin, nous avons besoin de la limite lorsque 𝑥 tend vers moins deux de 𝑓 de 𝑥 égale à 𝑓 de moins deux. Il convient de souligner que la limite lorsque 𝑥 tend vers moins deux de 𝑓 de 𝑥 sera égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers moins deux à gauche de 𝑓 de 𝑥 et à la limite lorsque 𝑥 tend vers moins deux à droite de 𝑓 de 𝑥. Nous devons donc vérifier ces trois conditions.
Commençons par la première condition. Nous devons montrer que moins deux appartient à l’ensemble de définition de notre fonction 𝑓 de 𝑥. Nous pouvons simplement le faire en utilisant la définition par morceaux de 𝑓 de 𝑥. 𝑓 de moins deux est égal à 𝑎 fois moins deux le tout au cube, que nous pouvons simplifier pour nous donner moins huit 𝑎. Ainsi, moins deux appartient à l’ensemble de définition de notre fonction 𝑓 de 𝑥.
Pour vérifier la deuxième partie de notre condition de continuité, nous allons vérifier chacune de ces limites séparément. Commençons par la limite lorsque 𝑥 tend vers moins deux à gauche de 𝑓 de 𝑥. Puisque 𝑥 tend vers moins deux depuis la gauche, toutes nos valeurs de 𝑥 seront inférieures à moins deux. A partir de notre définition par morceaux de la fonction 𝑓 de 𝑥, lorsque 𝑥 est inférieur à moins deux, 𝑓 de 𝑥 est exactement égal à la fonction affine huit 𝑥 moins huit. Ainsi, puisque ces deux fonctions sont exactement égales lorsque 𝑥 est inférieur à moins deux, leurs limites lorsque 𝑥 approche moins deux depuis la gauche seront également égales.
Bien sûr, nous évaluons maintenant la limite d’une fonction linéaire. Nous pouvons donc simplement faire cela en utilisant la substitution directe. En substituant 𝑥 est égal à moins deux, nous obtenons huit multiplié par moins deux moins huit. Si nous calculons cela, nous voyons que nous obtenons moins 24.
Nous voulons maintenant calculer la limite lorsque 𝑥 tend vers moins deux à droite de 𝑓 de 𝑥. Cette fois, puisque nos valeurs de 𝑥 se rapprochent de moins depuis la droite, toutes nos valeurs de 𝑥 seront supérieures à moins deux. Encore une fois, à partir de la définition par morceaux de 𝑓 de 𝑥, nous pouvons voir que lorsque nos valeurs de 𝑥 sont supérieures ou égales à moins deux, 𝑓 de 𝑥 est exactement égale à la fonction cubique 𝑎𝑥 au cube. Ainsi, puisque ces deux fonctions sont exactement les mêmes lorsque 𝑥 est supérieur ou égal à moins deux, leurs limites lorsque 𝑥 approche moins deux depuis la droite seront également égales.
Maintenant, nous pouvons voir que nous calculons la limite lorsque 𝑥 tend vers moins deux à droite d’un polynôme cubique. Ainsi, encore une fois, nous pouvons évaluer cela par substitution directe. Nous obtenons 𝑎 fois moins deux au cube, ce que nous pouvons bien sûr simplifier pour nous donner moins huit 𝑎. Rappelez-vous, on nous dit que 𝑓 de 𝑥 est une fonction continue. Ainsi, en particulier, elle doit être continue lorsque 𝑥 est égal à moins deux.
Ainsi, par notre deuxième condition de continuité, la limite lorsque 𝑥 tend vers moins deux à gauche de 𝑓 de 𝑥 doit être égale à la limite lorsque 𝑥 tend vers moins deux à droite de 𝑓 de 𝑥. En d’autres termes, il faut que moins 24 soit égal à moins huit 𝑎. Si nous résolvons cette équation en divisant par moins huit, nous voyons que 𝑎 doit être égal à trois. Fixer 𝑎 égal à trois signifie que la limite lorsque 𝑥 tend vers moins deux à gauche de 𝑓 de 𝑥 et la limite lorsque 𝑥 tend vers moins deux à droite de 𝑓 de 𝑥 sont toutes deux égales à moins 24. En fait, fixer 𝑎 égal à trois définit également 𝑓 de moins deux égal à moins 24, ce qui est également notre troisième condition de continuité. Par conséquent, si nous fixons 𝑎 égal à trois, notre fonction 𝑓 de 𝑥 sera continue pour toutes les valeurs réelles de 𝑥.
La prochaine partie de cette question veut que nous discutions de la dérivabilité de notre fonction 𝑓 lorsque 𝑥 égale moins deux. Pour ce faire, faisons de la place. Rappelons que la dérivée de 𝑓 en 𝑥 est égal à moins deux est censée nous indiquer la pente de la droite tangente lorsque 𝑥 est égal à moins deux. Nous pouvons voir que 𝑥 est égal à moins deux est l’extrémité de notre intervalle. En d’autres termes, il s’agit du point où les deux parties de notre fonction définie par morceaux 𝑓 de 𝑥 se rejoignent.
Nous avons déjà montré que ces deux morceaux se rejoignent au même point. Nous l’avons montré lorsque nous vérifions que la continuité de 𝑓 en 𝑥 est égale à moins deux. Cependant, pour que notre droite tangente ait une pente bien définie en ce point, nous allons avoir besoin que la pente de la gauche et la pente de la droite soient égales.
Dès à présent, nous pourrions le faire à partir de premiers principes, directement à partir de la définition des dérivées. Cependant, il existe une méthode plus simple car nous avons une fonction continue par morceaux et nous savons comment dériver chaque élément de cette fonction. Nous pouvons réellement trouver une expression pour 𝑓 prime de 𝑥 en dérivant d’abord chaque pièce. Nous obtenons que 𝑓 prime de 𝑥 est égale à la dérivée de huit 𝑥 moins huit par rapport à 𝑥 si 𝑥 est inférieur à moins deux et 𝑓 prime de 𝑥 est égal à la dérivée de trois 𝑥 au cube par rapport à 𝑥 si 𝑥 est supérieur à moins deux.
Il convient de se rappeler un point important. Cela ne nous dira pas la dérivabilité de 𝑓 de 𝑥 aux extrémités de nos intervalles. Ainsi, dans notre cas, cela ne nous a pas encore dit si 𝑓 de 𝑥 est dérivable lorsque 𝑥 est égal à moins deux. Cependant, cela nous aidera à vérifier si la pente correspond à gauche et à droite.
Nous pouvons maintenant évaluer ces deux dérivées. Premièrement, huit 𝑥 moins huit est une fonction affine. Ainsi, sa dérivée par rapport à 𝑥 sera simplement égale au coefficient de 𝑥, qui dans ce cas est huit. Ensuite, pour dériver trois 𝑥 au cube par rapport à 𝑥, nous allons utiliser la règle de puissance pour la dérivation. Nous devons multiplier par l’exposant de 𝑥, puis réduire cet exposant de un. Cela nous donne neuf 𝑥 au carré.
Nous avons donc maintenant trouvé la pente de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 est inférieure à moins deux et la pente de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 est supérieure à moins deux. Nous pouvons l’utiliser pour trouver la pente de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 s’approche de moins deux à gauche et la pente de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 s’approche de moins deux à droite. Commençons par la pente de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 se rapproche de moins deux à partir de la gauche.
Lorsque 𝑥 est inférieur à moins deux, nous pouvons voir que la pente de 𝑓 de 𝑥 est la constante huit. Ainsi, cette valeur est égale à huit. Nous pouvons faire la même chose pour trouver la pente de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 s’approche de moins deux à partir de la droite. Puisque 𝑥 tend vers moins deux depuis la droite, nos valeurs de 𝑥 sont supérieures à moins deux. Nous savons que dans ce cas, la pente de 𝑓 de 𝑥 sera de neuf 𝑥 au carré. Bien sûr, il s’agit d’un polynôme du second degré. Nous pouvons donc le faire en utilisant la substitution directe. Nous obtenons neuf fois moins deux au carré. Si nous évaluons cette expression, nous obtenons 36.
Par conséquent, ce que nous avons montré est que la pente lorsque 𝑥 approche moins deux à gauche de 𝑓 de 𝑥 n’est pas égale à la pente lorsque 𝑥 approche moins deux à droite de 𝑓 de 𝑥. Cela nous indique que 𝑓 ne peut pas être dérivable lorsque 𝑥 est égal à moins deux. Il convient également de souligner que si ces deux valeurs étaient égales, il faudrait également vérifier que 𝑓 était continue en moins deux. Seulement, nous l’avons déjà fait.
Ainsi, étant donné que la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à huit 𝑥 moins huit si 𝑥 est inférieur à moins deux et 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑎𝑥 au cube si 𝑥 est supérieur ou égal à moins deux est une fonction continue, nous avons pu montrer que la valeur de 𝑎 doit être égale à trois. Nous avons également pu montrer que notre fonction 𝑓 de 𝑥 n’était pas dérivable lorsque 𝑥 était égal à moins deux.
