Transcription de la vidéo
Déterminez l’ensemble solution de l’équation sinus 𝜃 égale la racine carrée de deux sur deux?
Bien, une solution est 𝜋 sur quatre radians. Vous le savez peut-être parce que 𝜋 sur quatre est un angle spécial et donc vous savez peut-être que la valeur du sinus 𝜋 sur quatre est la racine de deux sur deux. Si vous ne le saviez pas, vous pouvez utiliser votre calculatrice et taper sur la touche arcsin ou sin exposant moins un de la racine de deux sur deux et cela vous donnerait 𝜋 sur quatre radians, en supposant que vous avez votre calculatrice dans le mode radian car elle peut être en mode degrés ou autre chose.
Seulement, bien sûr, il ne s’agit que d’une solution à l’équation et nous aimerions avoir la solution générale, alors comment la trouver?
Jetez un œil au graphique de 𝑦 égale sinus 𝜃. Si nous dessinons la droite 𝑦 égale racine de deux sur deux, nous voyons qu’elle coupe la courbe du sinus infiniment et de manière cyclique. Comme prévu, l’une de ces intersections se produit lorsque 𝑥 est 𝜋 sur quatre, ce qui est l’une des solutions que nous avons trouvées.
Nous pouvons utiliser cette solution et les symétries du graphique du sinus pour trouver toutes les autres solutions. Par exemple, pouvons-nous voir quelle valeur de 𝜃 correspond à cette intersection?
Nous pouvons voir que cette valeur de 𝜃 est aussi loin de 𝜋 que 𝜋 sur quatre est loin de zéro, donc cette solution est 𝜋 moins 𝜋 sur quatre, que nous pourrions choisir d’écrire comme trois 𝜋 sur quatre.
Si vous n’êtes pas convaincu simplement en regardant le graphique que cela est vrai, nous pouvons utiliser le fait que sinus 𝜋 moins 𝜃 est égal à sinus 𝜃. Ainsi, sinus 𝜋 moins 𝜋 sur quatre est sinus 𝜋 sur quatre, en remplaçant simplement 𝜃 par 𝜋 sur quatre. Puisque sinus 𝜋 sur quatre est racine de deux sur deux, comme nous l’avons montré précédemment, sinus trois 𝜋 sur quatre est également racine de deux sur deux.
Nous avons donc maintenant deux solutions à notre équation, mais nous pouvons toujours voir sur le graphique qu’il y en a beaucoup d’autres. Cependant, bien que ces deux solutions ne soient pas les seules solutions, elles sont les seules solutions entre zéro et deux 𝜋.
Les autres solutions surviennent toutes en raison de la périodicité de la fonction sinus. Par exemple, cette solution est juste deux 𝜋 de plus que la solution que nous avions auparavant, qui était 𝜋 sur quatre et, bien sûr, il y aura une autre solution dans deux autres 𝜋, bien qu’elle ne soit pas tracée sur le graphique.
La même chose est vraie si nous soustrayons deux 𝜋. En fait, pour tout entier 𝑛, 𝜋 sur quatre plus deux 𝜋𝑛 est une solution. Il en va de même pour la solution trois 𝜋 sur quatre pour tout entier 𝑛, trois 𝜋 sur quatre plus deux 𝜋𝑛 est une solution de notre équation et vous devriez pouvoir voir sur le graphique que toute solution de cette équation a une des deux formes.
Écrivons donc ensemble ces deux formes et ce sera notre solution générale. En combinant les deux expressions que nous avions auparavant, nous obtenons la solution générale selon laquelle 𝜃 est 𝜋 sur quatre plus deux 𝜋𝑛 ou trois 𝜋 sur quatre plus deux 𝜋𝑛, où 𝑛 est un entier.
Alternativement, nous pourrions choisir de laisser 𝜋 moins 𝜋 par quatre non simplifié. Cela facilite la compréhension de la relation qu’elle entretient avec la réciproque du sinus de la racine de deux sur deux, qui est 𝜋 sur quatre, et donc la même réponse écrite d’une manière légèrement différente et simplifiée serait 𝜋 sur quatre plus deux 𝜋𝑛 ou 𝜋 moins 𝜋 par quatre plus deux 𝜋𝑛, où 𝑛 est un entier.
