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Vidéo de question : Multiplication de nombres complexes Mathématiques

Simplifiez (7 + 6𝑖) (2 − 9𝑖).

02:16

Transcription de vidéo

Simplifiez sept plus six 𝑖 multiplié par deux moins neuf 𝑖.

Cette question demande de simplifier le produit de deux nombres complexes donnés sous forme algébrique. On remarque quelque chose d’intéressant. Ceci est exactement comme calculer le produit de deux binômes. Un nombre complexe sous forme algébrique a deux termes, ce qui est aussi le cas pour un binôme. Utilisons la double-distributivité : additionner le produit de chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la deuxième. Commençons par multiplier les premiers termes de chaque parenthèse. C’est-à-dire sept multiplié par deux. Ensuite, multiplions le premier terme de al première parenthèse par le deuxième terme de la seconde parenthèse. C’est-à-dire qu’il faut ajouter sept fois moins neuf 𝑖.

Ensuite, ajoutons le produit du second terme de la première parenthèse par le premier terme de la deuxième parenthèse ; ici, six 𝑖 multiplié par deux. Enfin, il nous reste à ajouter le produit des seconds termes de chaque parenthèse. Ici, cela donne six 𝑖 multiplié par moins neuf 𝑖. Maintenant, essayons de simplifier. Premièrement, sept multiplié par deux égale 14. Ensuite, sept multiplié par moins neuf égale moins 63. Ainsi, sept multiplié par moins neuf 𝑖 égale moins 63𝑖. De même, pour simplifier six 𝑖 multiplié par deux, on utilise six multiplié par deux égale 12. Cela donne donc 12𝑖. Le dernier terme est six 𝑖 multiplié par moins neuf 𝑖. Six multiplié par moins neuf est égal à moins 54. Cependant, il nous reste à calculer 𝑖 multiplié par 𝑖, c’est-à-dire 𝑖 au carré.

On trouve donc 14 moins 63𝑖 plus 12𝑖 moins 54𝑖 au carré. Pour simplifier cela, il faut rappeler ce qu’est 𝑖. 𝑖 est la racine carrée de moins un. Ainsi, 𝑖 au carré est égal à moins un. On va donc s’en servir pour simplifier le dernier terme de l’expression. Puisque 𝑖 au carré vaut moins un, on retranche moins 54. Bien sûr, retrancher moins 54 revient à ajouter 54. On peut donc réécrire cette expression : 14 plus 54 plus 12𝑖 moins 63𝑖. Ensuite, il ne reste plus qu’à additionner les termes similaires. 14 plus 54 égale 68 et 12𝑖 moins 63𝑖 égale moins 51𝑖, d’où notre réponse finale 68 moins 51𝑖. Nous avons donc montré, par double-distributivité, que sept plus six 𝑖 multiplié par deux moins neuf 𝑖 est égal à 68 moins 51𝑖.

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