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Une récolte de pommes a un poids moyen de 105 grammes et un écart-type de trois grammes. On suppose qu’une distribution normale est un modèle approprié pour ces données. Quelle est la probabilité approximative qu’une pomme sélectionnée au hasard dans la culture ait un poids compris entre 99 grammes et 111 grammes?
Rappelez-vous que le graphique d’une courbe représentant la loi normale avec une moyenne 𝜇 et un écart-type 𝜎 est en forme de cloche et symétrique par rapport à la moyenne, et que l’aire totale sous la courbe est de 100 pour cent ou un. Il peut être très utile de tracer la courbe pour vous aider à décider de la meilleure façon de calculer les probabilités.
La moyenne de la récolte de pommes ici est de 105 grammes, et son écart-type est de trois. La question nous demande de calculer la probabilité qu’une pomme sélectionnée au hasard pèse entre 99 grammes et 111 grammes. Cela est représenté par la zone ombrée. Une fois que nous avons tracé cela, nous pouvons calculer la valeur 𝑍. C’est une façon de mettre à l’échelle nos données ou de les standardiser, dans ce qui devient une loi normale standard. Une fois cette étape terminée, nous pouvons procéder à partir d’un seul tableau normal standard.
Regardons la valeur 𝑋 de 111 grammes. Nous pouvons substituer 105 à 𝜇 et 𝜎 à trois. Et cela nous donne une valeur 𝑍 de 111 moins 105 le tout divisé par trois, soit deux. Nous pouvons donc trouver la probabilité qu’une pomme sélectionnée au hasard ait un poids strictement inférieur à 111 grammes en recherchant une valeur 𝑍 de deux dans le tableau. La probabilité que 𝑍 soit strictement inférieur à deux est 0,9772. Et à son tour, la probabilité que 𝑋, la pomme sélectionnée au hasard, soit strictement inférieure à 111 grammes est également de 0,9772.
Rappelez-vous cependant que la question nous demande la probabilité que le poids se situe entre 99 grammes et 111 grammes. Nous allons devoir soustraire la probabilité que le poids soit strictement inférieur à 99 grammes. En substituant 99 dans notre formule pour la valeur 𝑍, nous obtenons 99 moins 105 le tout divisé par trois, ce qui correspond à une valeur 𝑍 de moins deux.
Puisque notre tableau normal standard ne contient que des valeurs positives pour 𝑍, nous devons utiliser la symétrie de la courbe. Et au lieu de cela, nous recherchons une valeur 𝑍 de deux. Rechercher une valeur 𝑍 égale à deux nous donne un pourcentage entre zéro et deux. Donc, puisque l’aire totale sous la courbe est de 100 pour cent ou un, nous soustrayons du nombre un la probabilité que 𝑍 soit strictement inférieur à deux pour calculer la partie qui nous intéresse.
Nous avons déjà dit que la probabilité que 𝑍 soit strictement inférieur à deux est égale à 0,9772. Ainsi, la probabilité que 𝑍 soit strictement supérieur à deux est un moins 0,9772, ce qui est 0.0228. Et à son tour, cela signifie que la probabilité qu’une pomme sélectionnée au hasard pèse moins de 99 grammes est 0,0228.
Rappelez-vous, nous voulions connaître la probabilité qu’une pomme pèse entre 99 et 111 grammes. Donc, dans ce cas, nous soustrayons la probabilité que 𝑋 soit strictement inférieur à 99 de la probabilité que 𝑋 soit strictement inférieur à 111. C’est 0,9772 moins 0,0228, soit 0,9544. En multipliant par 100 puis en arrondissant au pourcentage près, nous pouvons voir que la probabilité approximative qu’une pomme sélectionnée au hasard dans la récolte ait un poids compris entre 99 grammes et 111 grammes est de 95 pour cent.
