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Vidéo de question : Déterminer la vitesse maximale d’une particule Mathématiques

Une particule se déplace de manière rectiligne le long de l’axe des abscisses de sorte que son déplacement 𝑠 mètres après 𝑡 secondes est donné par 𝑠 (𝑡) = −𝑡³ + 6𝑡² + 2𝑡. Déterminez la vitesse maximale de la particule dans le sens positif de l'axe des abscisses.

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Transcription de vidéo

Une particule se déplace de manière rectiligne le long de l’axe des abscisses de telle sorte que son déplacement 𝑠 mètres après 𝑡 secondes est donné par 𝑠 de 𝑡 est égal à moins 𝑡 au cube plus six 𝑡 au carré plus deux 𝑡. Déterminez la vitesse maximale de la particule dans le sens positif de l'axe des abscisses.

Dans cette question, le déplacement de la particule est exprimé en fonction du temps. C’est donné par 𝑠 de 𝑡 égal à moins 𝑡 au cube plus six 𝑡 au carré plus deux 𝑡, où 𝑡 est supérieur ou égal à zéro. Nous savons que la dérivée de 𝑠 de 𝑡 par rapport à 𝑡 est 𝑣 de 𝑡. Ceci signifie que nous pouvons trouver une expression pour la vitesse en fonction du temps par dérivation terme par terme. En utilisant la règle de dérivation des puissances, 𝑣 de 𝑡 est égal à moins trois 𝑡 au carré plus 12𝑡 plus deux. Et puisque le déplacement a été mesuré en mètres et le temps en secondes, la vitesse a des unités de mètres par seconde.

Cette fonction de vitesse est une fonction du second degré avec un coefficient dominant négatif de moins trois. Sa courbe représentative est donc une parabole qui est ouverte vers le bas. Et le sommet de la parabole correspond à une valeur maximale de la vitesse en tant que pente de la courbe en ce point et, par conséquent, son accélération est égale à zéro. Nous pouvons trouver cette valeur en calculant d’abord la dérivée de la vitesse, c’est-à-dire l’accélération, et en trouvant à quel moment elle est nulle. Encore une fois, nous dérivons terme par terme, ce qui nous donne 𝑎 de 𝑡 égale moins six 𝑡 plus 12, notant que la dérivation d’une constante nous donne zéro. En posant cette fonction à zéro, nous avons moins six 𝑡 plus 12 est égal à zéro. On peut alors ajouter six 𝑡 aux deux membres. Et en divisant par six, nous avons 𝑡 est égal à deux. L’accélération de la particule est égale à zéro lorsque 𝑡 est égal à deux secondes.

Nous pouvons maintenant remplacer cette valeur de 𝑡 dans notre expression pour la vitesse. 𝑣 de deux est égal à moins trois multiplié par deux au carré plus 12 multiplié par deux plus deux. Ceci se simplifie en moins 12 plus 24 plus deux, ce qui équivaut à 14. Ceci nous indique qu’un extremum de la vitesse est de 14 mètres par seconde. Et bien qu’il semble que ce soit la vitesse maximale, il convient de remplacer certaines valeurs pour vérifier.

Nous allons vérifier les valeurs de la vitesse avant et après 𝑡 est égal à deux secondes . En remplaçant 𝑡 est égal à un dans notre expression pour 𝑣 de 𝑡, nous avons 𝑣 de un est égal à 11 mètres par seconde. De même, lorsque 𝑡 est égal à trois secondes, la vitesse est également égale à 11 mètres par seconde. Comme elles sont inférieures à 14, ceci confirme que nous avons une vitesse maximale à 𝑡 égal à deux secondes, ce qui est égal à 14 mètres par seconde.

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