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Vidéo de la leçon : Déterminer le 𝑛-ième terme d'une suite géométrique Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à écrire des formules explicites et de récurrence pour les suites géométriques afin de déterminer la valeur du 𝑛-ième terme d'une suite géométrique, et à déterminer le rang d'un terme étant donnée sa valeur.

14:02

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons découvrir les suites géométriques. Nous allons découvrir comment trouver le terme général ou 𝑛-ième terme et comment trouver la formule récurrente. Nous verrons également comment trouver l’ordre d’un terme étant donnée sa valeur.

La première chose à noter à propos d’une suite géométrique est que ce sont des suites où le rapport entre les termes est constant. Notez que c’est différent des suites arithmétiques, où c’est la différence entre les termes qui est constante. Nous pouvons décrire une suite géométrique de deux manières, soit en utilisant la formule récurrente, soit en utilisant la formule explicite. La formule explicite est souvent appelée le 𝑛-ième terme, et elle est très utile pour trouver la valeur d’un terme spécifique. Par exemple, si nous voulions trouver le 15e terme d’une suite, nous pourrions le déterminer directement en substituant 15 à la formule du 𝑛-ième terme plutôt que de devoir calculer tous les termes jusqu’à 15 en utilisant la formule récurrente.

Alors, réfléchissons à certaines des notations que nous utilisons dans les suites géométriques. Nous disons que si le premier terme est désigné par la lettre 𝑎 et que la raison est 𝑞, alors notre suite ressemblerait à cela. Le premier terme est 𝑎. Le deuxième terme serait 𝑎𝑞 car nous avons multiplié le premier terme 𝑎 par la raison 𝑞. Multiplier le deuxième terme 𝑎𝑞 par une autre 𝑞 nous donnerait 𝑎𝑞 au carré. Nous pouvons exprimer les termes en utilisant la notation d’indice. Par exemple, le premier terme serait écrit 𝑎 indice un, le deuxième terme serait écrit 𝑎 indice deux, le troisième 𝑎 indice trois, et ainsi de suite.

Alors, comment pourrions-nous trouver une formule pour déterminer le 𝑛-ième terme qui est écrit 𝑎 indice 𝑛 ? Eh bien, nous pourrions commencer par remarquer que chaque terme a une valeur d’exposant de 𝑞 qui est inférieure de un au rang du terme. Nous savons que le 𝑛-ième terme aurait toujours une valeur 𝑎, et l’exposant de 𝑞 serait inférieur de un à 𝑛. Nous pouvons donc dire que le 𝑛-ième terme de toute suite géométrique peut être écrit comme 𝑎 fois 𝑞 à la puissance 𝑛 moins un. Nous nous souvenons, bien sûr, que c’est juste le 𝑞 qui est élevé à la puissance 𝑛 moins un et cela n’inclut pas le 𝑎 non plus. Voyons donc comment mettre en pratique cette formule pour trouver le 𝑛-ième terme de notre première suite géométrique.

Trouvez le terme général de la suite géométrique moins 76, moins 38, moins 19, moins 19 sur deux.

Une autre façon d’exprimer le terme général est le 𝑛-ième terme. Donc, nous cherchons le 𝑛-ième terme de cette suite géométrique, qui est une suite ayant un rapport commun entre les termes. Alors, regardons la suite et voyons ce que nous pouvons déterminer. Tout d’abord, nous pouvons voir que le premier terme de la suite est moins 76. Lorsque nous avons des suites géométriques, nous utilisons généralement la lettre 𝑎 pour désigner le premier terme de la suite. Afin de trouver le 𝑛-ième terme, nous devrons également trouver la raison, 𝑞. Lorsque nous considérons une suite géométrique générale écrite comme 𝑎 puis 𝑎𝑞 puis 𝑎𝑞 au carré, et ainsi de suite, nous pouvons trouver la raison 𝑞 en divisant un terme quelconque par le terme qui le précède directement.

Donc, ici, nous pourrions prendre le deuxième terme de moins 38 et le diviser par moins 76. Par conséquent, 𝑞 est égal à un demi. Notez que même si nous avions pris deux termes différents, par exemple, si nous avions divisé le troisième terme de moins 19 par le deuxième terme de moins 38, nous aurions quand même trouvé la raison 𝑞 égale à un demi. Après tout, si ce n’était pas la même chose, alors nous n’aurions pas de suite géométrique.

Alors maintenant que nous avons trouvé les valeurs de 𝑎 et 𝑞, nous recourrons à la formule générale du 𝑛-ième terme d’une suite géométrique. 𝑎 𝑛, c’est le 𝑛-ième terme, est égal à 𝑎 fois 𝑞 à la puissance 𝑛 moins un. Tout ce que nous devons faire maintenant est d’insérer les valeurs de 𝑎 égal à moins six et 𝑞 égal à un demi dans cette formule. Cela nous donne 𝑎 𝑛 égal moins 76 fois un demi à la puissance 𝑛 moins un. Comme nous ne pouvons pas simplifier davantage, alors c’est notre réponse pour le terme général ou le 𝑛-ième terme de la suite géométrique.

Regardons une autre question où nous trouvons le 𝑛-ième terme d’une suite un peu plus compliquée.

Trouvez, en fonction de 𝑛, le terme général de la suite un quart, neuf sur 16, 81 sur 64, 729 sur 256, et ainsi de suite.

Dans cette question, on nous donne les quatre premiers termes de cette suite. Il ne semble pas y avoir de différence commune entre les termes, nous pourrions donc dire que ce n’est certainement pas une suite arithmétique. Nous pouvons vérifier s’il s’agit d’une suite géométrique qui aurait un rapport commun entre les termes en vérifiant si nous pouvons déterminer quelle serait ce rapport.

Afin de trouver le rapport 𝑞 entre les deux premiers termes, nous prenons le deuxième terme, neuf sur 16, et nous divisons par le terme précédent, un quart. Nous pouvons rappeler que diviser par un quart correspondrait à multiplier par l’inverse, qui serait quatre sur un. Nous pouvons simplifier le quatre sur le numérateur et le 16 sur le dénominateur en supprimant un facteur de quatre. Nous multiplions ensuite nos numérateurs et dénominateurs. Neuf fois un nous donne neuf, et quatre fois un nous donne quatre. Nous pouvons vérifier s’il y a le même rapport entre le troisième terme et le deuxième terme. Donc, nous calculons 81 sur 64 divisé par neuf sur 16. Nous pouvons voir que l’inverse de neuf sur 16 serait 16 sur neuf. Et nous simplifions les fractions avant de multiplier les numérateurs et les dénominateurs, ce qui nous donne le même rapport 𝑞 de neuf sur quatre. Et si nous vérifions cela en calculant ce dont nous avons besoin pour multiplier le troisième terme 81 sur 64 pour obtenir le quatrième terme de 729 sur 256, nous obtenons la même réponse de neuf sur quatre.

Alors, réfléchissons à la méthode nous permettant de trouver le terme général de cette suite. On peut rappeler que le terme général est une autre façon d’indiquer le 𝑛-ième terme. Nous pouvons rappeler que la formule utilisée pour trouver le 𝑛-ième terme 𝑎 𝑛 est 𝑎 𝑛 est égal à 𝑎 fois 𝑞 élevé à la puissance 𝑛 moins un. La valeur 𝑞 représente la raison, et la valeur de 𝑎 représente le premier terme de la suite. Nous avons déjà déterminé que 𝑞 est égal à neuf sur quatre, et que la valeur de 𝑎, le premier terme de la suite, serait un quart. On peut alors prendre les valeurs de 𝑎 et 𝑞 et les insérer dans cette formule. Cela nous donne 𝑎 𝑛 égal à un quart fois neuf quarts à la puissance 𝑛 moins un.

Bien que ce soit une réponse parfaitement valable pour le 𝑛-ième terme de la suite, il serait peut-être intéressant de voir si nous pouvons simplifier davantage ce membre droit. Nous pouvons commencer notre simplification en réfléchissant à ce qui se passe lorsque nous avons une puissance d’une fraction. Une fraction avec une certaine valeur d’exposant est équivalente au numérateur avec cet exposant sur le dénominateur avec cet exposant. Si nous considérons alors ces fractions multipliées, alors multiplier les numérateurs un fois neuf à la puissance 𝑛 moins un nous donnerait la valeur sur le numérateur neuf à la puissance 𝑛 moins un. Multiplier les dénominateurs nous donnerait quatre fois quatre à la puissance 𝑛 moins un.

Si nous regardons le dénominateur, nous pouvons appliquer une autre règle des exposants selon laquelle 𝑥 à la puissance 𝑎 multiplié par 𝑥 à la puissance 𝑏 est égal à 𝑥 à la puissance 𝑎 plus 𝑏. Sur le dénominateur, la valeur de 𝑥 ici serait quatre. Et nos valeurs 𝑎 et 𝑏, c’est-à-dire les exposants, seraient représentées par un et 𝑛 moins un. Ajouter un et 𝑛 moins un nous donnerait la valeur de 𝑛. Nous avons donc trouvé une réponse entièrement simplifiée pour le terme général de cette suite en fonction de 𝑛. C’est neuf à la puissance 𝑛 moins un sur quatre à la puissance 𝑛.

Dans les deux questions que nous venons de voir, nous avons déterminé le 𝑛-ième terme ou la formule explicite. Dans la question suivante, nous verrons comment trouver la formule de récurrence.

Trouvez une formule de récurrence pour la suite 486, 162, 54, 18, six, deux, deux tiers.

Nous avons donc ici une suite qui commence par le nombre 486, et on nous demande de trouver une formule de récurrence. Cela signifie qu’au lieu de trouver un terme général ou un 𝑛-ième terme pour la suite, nous allons trouver la formule de récurrence. Cela signifie que nous allons réfléchir à la façon dont nous passons d’un terme à un autre. Commençons par voir si nous pouvons trouver un rapport commun entre les termes. Nous pouvons désigner cela avec la lettre 𝑞. Dans une suite géométrique, nous disons que le premier terme est 𝑎, le deuxième terme serait 𝑎 fois la raison 𝑞, le troisième terme serait 𝑎𝑞 au carré, et le quatrième terme serait 𝑎𝑞 au cube, et ainsi de suite. Par conséquent, pour trouver le rapport entre les termes, nous prenons n’importe quel terme et le divisons par le terme qui le précède directement.

Ainsi, nous pourrions, par exemple, prendre le deuxième terme, 162, et le diviser par le terme précédent, 486. Ou si c’est une suite géométrique, comme nous le supposons, alors nous pourrions prendre le troisième terme et le diviser par le deuxième. Nous pourrions même prendre le sixième terme, deux, et diviser par le cinquième terme. Nous devrions voir tout de suite que les deux sixièmes peuvent être simplifiés en un tiers. Alors, les deux autres fractions sont-elles aussi simplifiées à un tiers ? Eh bien, si nous prenons 54 et ajoutons 54, cela fait 108. Et l’ajout de 54 nous donnerait 162. Ainsi, cette fraction serait également simplifiée à un tiers. 162 sur 486 nous donnerait également un tiers.

On dirait que nous avons une raison d’un tiers. En fait, si nous prenons deux termes consécutifs dans cette suite, nous constatons que nous devons multiplier le premier par un tiers pour obtenir le second. Les termes qui nous ont été donnés ont certainement une raison d’un tiers. Alors, cela répond-il à la question de trouver une formule de récurrence ? Est-il suffisant de dire que nous multiplions un terme par un tiers pour trouver le suivant ?

Eh bien, pas tout à fait. Nous pouvons utiliser une notation plus formelle ici. Nous disons que le premier terme 𝑎 un sera égal à 486. Pour trouver le deuxième terme, nous savons que ce serait 486 fois le rapport 𝑞 d’un tiers. Donc, 𝑎 deux, le deuxième terme, est égal à un tiers de 𝑎 un. De la même manière, si nous voulions trouver le troisième terme et que nous n’en connaissions pas la valeur, nous prendrions le deuxième terme et le multiplierions par le rapport 𝑞 d’un tiers. Nous pourrions continuer ainsi : le quatrième terme serait égal à un tiers fois le troisième terme.

Donc, si nous voulions trouver 𝑛-ième terme de cette suite, nous calculerions un tiers multiplié par le terme précédent, écrit ainsi : 𝑎 𝑛 moins un. C’est ainsi que nous obtenons la formule utile, selon laquelle si nous voulons trouver 𝑛 plus le 𝑛-ième terme d’une suite, alors nous multiplions la raison par le 𝑛-ième terme. Cela ressemble en quelque sorte à la formule du 𝑛-ième terme d’une suite, mais cette fois, le terme est basé sur le terme qui le précède plutôt que sur le terme de départ d’une suite. Mais ici, nous pouvons répondre que tout terme de la suite 𝑎 𝑛 peut être calculé par un tiers fois le terme précédent, indice 𝑎 𝑛 moins un.

Dans la question suivante, nous verrons comment trouver l’ordre d’un terme étant donnée sa valeur et le 𝑛-ième terme de la suite.

Déterminez l’ordre du terme dont la valeur est 4374 dans la suite géométrique 𝑎 𝑛 est égal à deux tiers fois trois à la puissance 𝑛.

Commençons par examiner les informations qui nous sont données. Cette valeur de 𝑎 𝑛 représente 𝑛-ième terme de cette suite. On nous demande de trouver l’ordre du terme dont la valeur est 4374. Cela signifie que nous avons une suite, et quelque part dans cette suite il y a cette valeur de 4374. L’ordre de ce terme signifie que nous demandons vraiment : est-ce le deuxième terme, le 10e terme, le 100e terme ? C’est ce que nous devons savoir. Nous pouvons le faire en disant que nous allons indiquer l’ordre du 𝑛-ième terme, puis notre 𝑛-ième terme sera 4374. Nous pourrions alors remplir cela dans la formule et réorganiser pour trouver cette valeur de 𝑛, ce qui nous donnerait l’ordre de ce terme.

Nous pouvons commencer notre réarrangement en divisant les deux membres de cette équation par deux tiers. Sur le membre gauche, nous pouvons rappeler que pour diviser par une fraction, nous multiplions par son inverse. Et sur le membre droit, il nous restera trois à la puissance 𝑛. Nous pouvons simplifier les valeurs sur le membre gauche. Donc, nous calculons 2187 multiplié par trois, ce qui nous donne 6561 égale trois à la puissance 𝑛.

Maintenant, à ce stade, il y a une branche des mathématiques appelées logarithmes, qui nous aiderait à résoudre ce problème directement. Mais comme la plupart des gens apprennent cela longtemps après avoir appris les suites géométriques, nous utiliserons à la place quelques essais et erreurs. Rappelez-vous qu’une valeur de trois à la puissance 𝑛 égale 6561 équivaut en réalité à dire trois à la puissance de ce qui nous donne cette valeur. Vous connaissez peut-être vos premières puissances de trois par cœur, jusqu’à environ trois à la puissance quatre égale 81. Nous pourrions alors continuer avec un peu plus de puissances en multipliant chacune des valeurs par trois comme il s’agit d’une augmentation. Si nous utilisons une méthode sans calculatrice, nous devrons probablement commencer à travailler avec un crayon et du papier. Mais, nous constatons que trois à la puissance huit est égal à 6561. Cela signifie que notre valeur 𝑛 ici doit être égale à huit. Ainsi, nous pouvons donner notre réponse selon laquelle l’ordre du terme dont la valeur est 4374 égale huit, comme ce serait le huitième terme de cette suite.

Nous pouvons maintenant résumer ce que nous avons appris dans cette vidéo. Tout d’abord, nous avons vu qu’une suite géométrique est une suite où le rapport entre les termes est constant. Pour un premier terme 𝑎 et une raison 𝑞, nous avons les termes de la suite comme 𝑎, 𝑎𝑞, 𝑎𝑞 au carré, 𝑎𝑞 au cube, et ainsi de suite. Pour trouver la raison 𝑞 étant donnée la valeur des termes dans une suite, on peut diviser un terme quelconque par son terme précédent. Par exemple, 𝑞 peut être trouvée en divisant le troisième terme par le deuxième terme. La formule explicite ou le 𝑛-ième terme peut être écrit comme 𝑎 𝑛 est égal à 𝑎 fois 𝑞 à la puissance 𝑛 moins un.

Enfin, nous avons vu la formule de récurrence qui peut être écrite comme 𝑎 indice 𝑛 plus un égale 𝑞 fois 𝑎 indice 𝑛, en se rappelant que cela signifie que si nous voulons trouver la valeur du terme avec l’ordre 𝑛 plus un, alors nous prenons la valeur du terme avec l’ordre 𝑛 et la multiplions par la raison 𝑞.

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