Transcription de la vidéo
Déterminez les intervalles sur lesquels la fonction 𝑓 de 𝑥 égale à moins trois 𝑥 plus la racine carrée de neuf 𝑥 au carré plus un est convexe vers le bas ou convexe vers le haut.
Commençons par rappeler ce que signifie pour une fonction d’être convexe vers le bas ou vers le haut. Lorsqu’une fonction est convexe vers le bas, les tangentes à sa courbe représentative se situent en dessous de cette même courbe. Nous voyons que la pente de ces tangentes croît. Sur le schéma, la pente passe d’une valeur négative à zéro puis à une valeur positive. Ainsi, la valeur de la pente devient plus grande. On peut donc dire que lorsqu’une fonction est convexe vers le bas, sa dérivée première 𝑓 prime de 𝑥 croît. Si 𝑓 prime de 𝑥 croît, alors sa propre dérivée 𝑓 seconde de 𝑥 doit être positive. Ainsi, nous pouvons également conclure que lorsqu’une fonction est convexe vers le bas, sa dérivée seconde est supérieure à zéro.
Cependant, lorsqu’une fonction est convexe vers le haut, c’est le contraire qui est vrai. Les tangentes à la courbe représentative se situent au-dessus de cette même courbe. La dérivée première 𝑓 prime de 𝑥 décroît. Sur le schéma, nous voyons qu’elle passe d’une valeur positive à zéro puis à une valeur négative. Ainsi, la dérivée 𝑓 seconde de 𝑥 sera négative. Pour répondre à cette question, nous allons avoir besoin de trouver une expression de la dérivée seconde de notre fonction 𝑓 de 𝑥. Nous allons donc devoir dériver deux fois.
Avant de le faire, nous pouvons trouver plus facile d’écrire la seconde partie de la définition de 𝑓 de 𝑥, qui est la racine carrée de neuf 𝑥 au carré plus un, comme neuf 𝑥 au carré plus un à la puissance un demi. Nous pouvons maintenant dériver pour trouver une expression de la dérivée première 𝑓 prime de 𝑥. En utilisant la règle de dérivation des puissances, la dérivée de moins trois 𝑥 est égale à moins trois. Mais qu’en est-il de la dérivée de neuf 𝑥 au carré plus un à la puissance un demi ?
Bien, c’est là que nous avons besoin d’utiliser le théorème de dérivation des fonctions composées appliqué aux puissances, qu’on utilise si nous avons une fonction 𝑔 de 𝑥 à la puissance 𝑛 et que nous voulons trouver sa dérivée par rapport à 𝑥. Alors, la dérivée est égale à 𝑛 multiplié par 𝑔 prime de 𝑥 multiplié par 𝑔 de 𝑥 à la puissance 𝑛 moins un. Nous multiplions par l’exposant et réduisons l’exposant de un. Mais nous multiplions aussi par la dérivée de notre fonction 𝑔 de 𝑥.
Ici, en dérivant alors neuf 𝑥 carré plus un à la puissance un demi. Nous avons 𝑛, soit l’exposant, qui est égal à un demi. Ensuite, nous avons la dérivée de neuf 𝑥 au carré plus un, qui est égale à 18𝑥. Puis, neuf 𝑥 carré plus un à la puissance 𝑛 moins un qui est égal à moins un demi. Tout ceci se simplifie en moins trois plus neuf 𝑥 multiplié par neuf 𝑥 au carré plus un à la puissance moins un demi. Nous avons donc notre expression de la dérivée première 𝑓 prime de 𝑥. Maintenant, nous devons à nouveau dériver.
La dérivée du premier terme moins trois est simple. Cela donne juste zéro car moins trois est une constante. Mais qu’en est-il de la dérivée de neuf 𝑥 multiplié par neuf 𝑥 au carré plus un à la puissance moins un demi ? Bien, nous avons ici un produit de fonctions dérivables. Nous allons donc avoir besoin d’appliquer la règle du produit. Elle indique que si nous avons deux fonctions dérivables 𝑢 et 𝑣, la dérivée par rapport à 𝑥 de leur produit 𝑢𝑣 est égale à 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 plus 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥. Nous multiplions chaque fonction par la dérivée de l’autre.
Ainsi, nous pouvons définir 𝑢 comme étant le premier facteur, soit neuf 𝑥 et 𝑣 comme étant le deuxième facteur, soit neuf 𝑥 au carré plus un à la puissance moins un demi. En utilisant la règle de dérivation des puissances, d𝑢 sur d𝑥 est égal à neuf. Puis, pour trouver d𝑣 sur d𝑥, nous devons utiliser à nouveau le théorème de dérivation des fonctions composées appliqué aux puissances. Il nous permet d’écrire que d𝑣 sur d𝑥 sera égal à moins un demi multiplié par 18𝑥 multiplié par neuf 𝑥 au carré plus un à la puissance moins trois demis. Nous avons réduit l’exposant de un.
En utilisant alors la règle du produit, nous avons que la dérivée par rapport à 𝑥 de 𝑢𝑣 est égale à 𝑢 fois d𝑣. Soit neuf 𝑥 multiplié par moins un demi fois 18𝑥 multiplié par neuf 𝑥 au carré plus un à la puissance moins trois demis. Plus 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥, soit neuf multiplié par neuf 𝑥 au carré plus un à la puissance moins un demi. Nous pouvons alors fair sortir le facteur commun, à savoir neuf multiplié par neuf 𝑥 au carré plus un à la puissance moins trois demis.
Ce qui reste au premier terme est moins neuf 𝑥 au carré. Ce qui reste dans le second est neuf 𝑥 au carré plus un à la puissance un. En effet, lorsque nous ajoutons les exposants un et moins trois demis, nous obtenons moins un demi. L’expression à l’intérieur des parenthèses se simplifie bien. Nous avons moins neuf 𝑥 au carré plus neuf 𝑥 au carré plus un qui se simplifie en un. Ainsi, notre dérivée est simplement égale à neuf multiplié par neuf 𝑥 au carré plus un à la puissance moins trois demis. En appliquant les propriétés des exposants, nous pouvons la réécrire comme égale à neuf sur la racine carrée de neuf 𝑥 au carré plus un au cube.
Ainsi, en revenant là où nous écrivions notre expression de 𝑓 seconde de 𝑥, nous avons que la dérivée seconde est égale à zéro plus neuf sur la racine carrée de neuf 𝑥 au carré plus un au cube. Bien sûr, nous n’avons pas besoin d’inclure le zéro.
Rappelez-vous que le but de cette question est de déterminer où la fonction 𝑓 de 𝑥 est convexe vers le bas et où elle est covexe vers le haut. Nous rappelons que nous avions dit qu’une fonction est convexe vers le bas lorsque sa dérivée seconde est supérieure à zéro. Alors, examinons d’abord où ceci est vrai. Bien, ce sera le cas lorsque neuf sur la racine carrée de neuf 𝑥 au carré plus un au cube est supérieur à zéro. Considérons ce quotient. Le numérateur de ce quotient est neuf qui est une constante supérieure à zéro. Au dénominateur, neuf 𝑥 au carré plus un donnera une valeur supérieure ou égale à un. Lorsque nous prenons sa racine carrée, il s’agit d’une valeur positive par définition de la racine carrée. Nous mettons ceci au cube, ce qui donnera une autre valeur positive.
Nous voyons donc que pour toutes les valeurs de 𝑥, ce quotient sera égal à une valeur positive divisée par une valeur positive, qui renverra une valeur positive. Cela signifie que la dérivée 𝑓 seconde de 𝑥 est en fait, toujours positive. Par conséquent, la fonction 𝑓 de 𝑥 sera convexe vers le bas sur tout son ensemble de définition, qui dans ce cas est l’ensemble des nombres réels. En utilisant alors la notation d’intervalles, nous pouvons conclure que la fonction 𝑓 de 𝑥 sera convexe vers le bas sur l’intervalle ouvert de moins ∞ à plus ∞ et qu’il n’y a pas d’intervalle sur lequel la fonction 𝑓 de 𝑥 est covexe vers le haut.
