Transcription de la vidéo
Les tailles dans un échantillon de fleurs sont réparties selon la loi normale de moyenne 𝜇 et d’écart-type 12. Sachant que 10,56% des fleurs sont plus petites que 47 cm, déterminez 𝜇.
Rappelez-vous que la courbe représentant la loi normale est en forme de cloche et symétrique par rapport à la moyenne. Et l’aire totale sous la courbe est de 100 pour cent ou un. Un graphique représentant cette courbe peut être un moyen très utile de décider comment répondre à un problème concernant les données suivant une loi normale.
Dans notre cas, nous avons une moyenne 𝜇 et un écart-type 𝜎 de 12. Maintenant, si nous connaissions la valeur de la moyenne, notre prochaine étape sera de mettre à l’échelle nos données en calculant la valeur 𝑍. Dans ce cas, puisque nous ne connaissons pas la moyenne, nous devrons procéder à partir des informations fournies sur la probabilité.
On nous dit que 10,56 pour cent des fleurs ont une hauteur inférieure à 47 centimètres. Sur notre courbe, c’est à peu près cette zone. Maintenant, lorsque nous normalisons nos valeurs en utilisant la formule de la valeur 𝑍, les valeurs sur le côté gauche de la moyenne qui est ici sont négatives.
Puisque nous n’avons pas de valeurs 𝑍 négatives dans notre tableau de loi normale, nous devrons utiliser la symétrie de la courbe pour nous aider à trouver la valeur pertinente à utiliser. Puisque la courbe de loi normale est symétrique par rapport à la moyenne, nous avons cette valeur ici, qui est aussi égale à 10,56 pour cent. C’est la valeur 𝑍 que nous voulons trouver.
N’oubliez pas que le tableau de loi normale nous indique la probabilité entre zéro et 𝑍. Puisque l’aire sous la courbe est égale à 100, nous pouvons soustraire 10,56 pour cent de 100 pour trouver la valeur que nous devons rechercher. 100 moins 10,56 est 89,44. Sous forme décimale, c’est 0,8944.
Nous devons trouver la valeur associée à 𝑍 qui correspond à une probabilité de 0,8944 dans notre tableau de loi normale. En fait, une valeur 𝑍 de 1,25 a une probabilité de 0,8944 comme requis. Ceci signifie donc qu’une valeur 𝑍 de moins 1,25 doit avoir cette probabilité que nous essayions de trouver auparavant de 10,56 pour cent.
Nous utiliserons cette valeur 𝑍 dans notre formule en plus de la valeur de l’écart-type donnée dans la question pour calculer la valeur de la moyenne. Nous avons dit que la valeur 𝑍 qui avait une probabilité associée de 10,56 pour cent était moins 1,25. 𝑥 est 47 et l’écart-type 𝜎 est égal à 12.
Résolvons cette équation en multipliant les deux membres par 12. C’est moins 15 égal à 47 moins 𝜇. Ensuite, nous soustrayons 47 des deux membres et nous obtenons moins 62 égal à moins 𝜇. Enfin, nous multiplierons tout par moins un. Et nous obtenons 62 est égal à 𝜇.
Nous avons montré que la moyenne de cet échantillon de fleurs est de 62 centimètres.
