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Vidéo de question : Appliquer la règle du cosinus pour trouver la longueur inconnue d’un côté dans un triangle Mathématiques

Déterminez la valeur de 𝑎 au centième près, sachant que l’angle 𝐴 mesure 64°, que le côté 𝑐 mesure 10 cm et le côté 𝑏 16 cm.

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Transcription de vidéo

Déterminez la valeur de 𝑎 au centième près sachant que l’angle 𝐴 mesure 64 degrés, que le côté 𝑐 mesure 10 centimètres et le côté 𝑏 16 centimètres.

Commençons par compléter la figure avec les informations données dans l’énoncé. On peut voir que le triangle 𝐴𝐵𝐶 est un triangle qui n’est pas rectangle dont on nous a donné la longueur de deux côtés, la mesure d’un angle et on nous demande de calculer la longueur du troisième côté. Les deux côtés dont on connaît les longueurs sont adjacents à l’angle dont on connaît la mesure. On est donc dans la situation idéale pour appliquer la loi des cosinus.

La loi des cosinus nous permet de calculer la longueur des côtés ou la mesure des angles dans un triangle non rectangle. En particulier, si on connaît la mesure d’un angle et la longueur des deux côtés adjacents à cet angle, alors on peut calculer la longueur du troisième côté en utilisant la formule 𝑎 au carré égale 𝑏 au carré plus 𝑐 au carré moins deux 𝑏𝑐 fois le cosinus de 𝐴. Notons qu’il est nécessaire de connaître la mesure de l’angle opposé au côté dont on souhaite calculer la longueur, ce qui est le cas ici.

Pour calculer la valeur de 𝑎, on commence par remplacer les longueurs des côtés 𝑏 et 𝑐 et la mesure de l’angle 𝐴 par leurs valeurs dans la loi des cosinus. Ceci nous donne 𝑎 au carré égale 16 au carré plus 10 au carré moins deux fois 16 fois 10 fois le cosinus de 64 degrés. 16 au carré est égal à 256 et 10 au carré est égal à 100. Donc on a que 𝑎 au carré est égal 356 moins 320 fois le cosinus de 64.

Maintenant, on peut calculer ceci à l’aide de la calculatrice. On remarque que l’angle est donné en degrés, donc on doit s’assurer que la calculatrice est bien réglée en degrés et non en radians avant de faire le calcul. Sinon, on obtiendrait une valeur incorrecte pour le cosinus de 64 degrés. En réalisant ce calcul à l’aide de ma calculatrice, j’obtiens que 𝑎 au carré est égal à 215,72123.

Nous avons presque terminé. Cependant, ce n’est pas la valeur de 𝑎 au carré qu’on nous demande de déterminer. On nous demande de déterminer la valeur de 𝑎. On va donc prendre la racine carrée des deux membres de l’équation. On utilise à nouveau la calculatrice pour évaluer cette racine et on obtient que 𝑎 est égal à 14,68745. Enfin, on nous dit dans l’énoncé de donner la valeur de 𝑎 au centième près. Donc, on doit arrondir cette valeur. Au centième près, la valeur de est de 14,69 centimètres.

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