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Si le point neuf, zéro est le sommet de la courbe représentative de la fonction du second degré 𝑓, quel est l’ensemble solution de l’équation 𝑓 de 𝑥 égal zéro ?
Dans cette question, on nous donne des informations sur une fonction du second degré 𝑓. On nous dit que le point neuf, zéro est le sommet de la courbe représentative de cette fonction. Nous devons utiliser ces informations pour déterminer l’ensemble des solutions de l’équation 𝑓 de 𝑥 égal zéro. Et pour ce faire, commençons par rappeler ce que nous entendons par le sommet de la courbe représentative d’une fonction du second degré 𝑓.
Nous pouvons commencer par rappeler que toute fonction du second degré est représentée par une courbe de forme parabolique et qu’il y a deux orientations possibles pour cette parabole. Premièrement, lorsque le coefficient directeur est négatif, nous savons que la parabole s’ouvrira vers le bas. Deuxièmement, si le coefficient directeur est positif, alors nous savons que la parabole s’ouvrira vers le haut. Donc, ce sont les deux formes générales possibles que la courbe représentative de la fonction 𝑓 peut prendre. Et il y a quelque chose d’intéressant que nous pouvons noter à propos de ces deux formes. Il y a un seul extremum ; nous appelons cela le sommet de la parabole.
Et il y a quelques propriétés intéressantes à noter sur le sommet d’une parabole. Premièrement, l’axe de symétrie de cette parabole passe par le sommet. Deuxièmement, si la parabole s’ouvre vers le bas, alors le sommet est le maximum de la fonction. Et de même, si la parabole s’ouvre vers le haut, alors le sommet est le minimum de la fonction. Et nous pouvons l’utiliser pour déterminer des informations à propos de la courbe représentative de la fonction 𝑓. Cependant, nous devons également relier cela à l’ensemble solution de l’équation 𝑓 de 𝑥 égal zéro. Et nous pouvons le faire en remarquant que si 𝑥 est solution de cette équation, alors 𝑓 évaluée en 𝑥 est égal à zéro, l’image par la fonction est zéro. Ainsi, l’ordonnée 𝑦 de ce point sur la courbe sera nulle. Ce sera l’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses 𝑥.
Par conséquent, nous pouvons répondre à cette question en déterminant les intersections de la courbe représentant notre fonction, d’expression 𝑓 de 𝑥, avec l’axe des abscisses 𝑥 en sachant que son sommet est le point neuf, zéro. Alors, réalisons maintenant à main levée quelques courbes représentatives possibles de la fonction d’équation 𝑦 égal 𝑓 de 𝑥. Nous allons commencer par marquer le sommet sur notre courbe ; c’est le point neuf, zéro.
Une courbe représentative possible de la fonction d’équation 𝑦 égal 𝑓 de 𝑥 pourrait ressembler à la suivante ; c’est une parabole qui s’ouvre vers le haut avec un sommet au point neuf, zéro. Cependant, nous devons savoir qu’il y a une infinité de fonctions du second degré avec pour sommet le point neuf, zéro. Par exemple, la courbe représentative de la fonction pourrait également ressembler à la suivante. Ce pourrait être une parabole plus large ; ce pourrait aussi être une parabole plus étroite. De même, comme on ne nous donne aucune information sur la fonction d’expression 𝑓 de 𝑥 autre que les coordonnées de son sommet, la parabole pourrait également s’ouvrir vers le bas.
Cependant, si nous considérons les intersections avec l’axe des abscisses 𝑥 de toutes ces courbes représentatives possibles, nous pouvons remarquer quelque chose d’intéressant. Toutes ces courbes représentatives ne coupent qu’une seule fois l’axe des abscisses 𝑥 et c’est au sommet de la parabole. Et cette propriété est liée aux propriétés des paraboles dont nous avons parlé précédemment. Dans la parabole qui s’ouvre vers le bas, le sommet est le maximum de la fonction et dans une parabole qui s’ouvre vers le haut, le sommet est le minimum de la fonction. Donc, dans les deux cas, nous n’obtenons qu’une seule intersection sur l’axe des abscisses 𝑥 au point neuf, zéro.
Par conséquent, il n’y a qu’une seule solution à cette équation ; notre valeur de 𝑥 doit être égale à neuf. Et en écrivant cela sous la forme d’un ensemble de solutions, c’est l’ensemble de toutes les solutions possibles à l’équation et cela nous donne l’ensemble dont le seul élément est neuf. Et il convient de noter que cette propriété est valable pour toute les paraboles. Si la fonction du second degré a un sommet qui se trouve sur l’axe des abscisses 𝑥, alors c’est la seule solution à l’équation 𝑓 de 𝑥 égal zéro. Il aura une seule intersection sur l’axe des abscisses 𝑥.
Par conséquent, nous avons pu montrer que si neuf, zéro est le sommet de la courbe d’une fonction du second degré 𝑓, alors l’ensemble solution de l’équation 𝑓 de 𝑥 égal zéro est l’ensemble dont le seul élément est neuf.
