Transcription de la vidéo
Déterminez l’ensemble des zéros de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré moins deux 𝑥 moins 15 multiplié par 𝑥 au carré moins 14𝑥 plus 45.
On nous demande de déterminer l’ensemble des zéros d’une fonction donnée 𝑓 de 𝑥. 𝑓 de 𝑥 est le produit de deux facteurs du second degré. Mais si nous développons les parenthèses, nous verrions que c’est un polynôme. Les zéros, ou racines, d’un polynôme 𝑓 de 𝑥 sont les valeurs pour lesquelles 𝑥 égale 𝑎 telles que 𝑓 de 𝑎 égale zéro. Essentiellement, ce sont les valeurs de la variable qui rendent la valeur de la fonction nulle. Pour trouver ces valeurs de 𝑥, on pose l’expression de 𝑓 de 𝑥 égale zéro.
Maintenant, comme nous l’avons déjà indiqué, cette fonction 𝑓 de 𝑥 est le produit de deux fonctions du second degré. Si le produit de ces fonctions doit être égal à zéro, il s’ensuit qu’au moins un des facteurs du second degré eux-mêmes doit être égal à zéro. Ainsi, soit 𝑥 au carré moins deux 𝑥 moins 15 doit être égal à zéro, soit 𝑥 au carré moins 14𝑥 plus 45 doit être égal à zéro. Nous devons maintenant résoudre chacune de ces équations du second degré. Et il y a une variété de méthodes que nous pourrions utiliser, telles que l’utilisation de la formule du second degré ou la méthode de complétion du carré. Cependant, si une équation du second degré peut être résolue en factorisant, c’est généralement le moyen le plus efficace, alors essayons d’abord.
En considérant l’équation du second degré 𝑥 au carré moins deux 𝑥 moins 15 en premier, le coefficient de 𝑥 au carré est un. Ainsi, le premier terme de chaque facteur linéaire sera simplement 𝑥. Pour compléter les deux facteurs, nous cherchons ensuite deux nombres dont la somme est le coefficient de 𝑥, qui est moins deux, et dont le produit est égal au terme constant de moins 15. Ces deux nombres sont moins cinq et plus trois. Ainsi, la forme factorisée de la première équation du second degré est 𝑥 moins cinq multiplié par 𝑥 plus trois est égal à zéro.
Nous avons maintenant le produit de deux facteurs linéaires qui égalent zéro. Et encore une fois, il s’ensuit que si le produit est égal à zéro, au moins l’un des facteurs doit être égal à zéro. Par conséquent, nous avons les deux équations linéaires 𝑥 moins cinq égal à zéro et 𝑥 plus trois égal à zéro. Ces équations peuvent être résolues en une étape, en ajoutant cinq aux deux membres de la première équation et en soustrayant trois des deux membres de la deuxième équation, pour donner les solutions 𝑥 égale cinq et 𝑥 égale moins trois. Deux des zéros de la fonction 𝑓 de 𝑥 sont donc moins trois et cinq.
Nous suivons ensuite la même démarche pour factoriser la deuxième équation du second degré. Cette fois, nous recherchons deux nombres avec une somme de moins 14 et un produit de 45. Ces deux nombres sont moins cinq et moins neuf. Ainsi, la forme factorisée de la deuxième équation du second degré est 𝑥 moins cinq fois 𝑥 moins neuf égal à zéro. Nous posons ensuite chaque facteur linéaire égal à zéro et résolvons les équations résultantes pour donner 𝑥 égal à cinq ou 𝑥 égal à neuf.
Notez que l’une de ces valeurs, 𝑥 égale cinq, a déjà été identifiée comme un zéro de 𝑓 de 𝑥 en utilisant le premier facteur du second degré. Nous n’avons pas besoin d’inclure cette valeur deux fois lors de l’énumération des zéros. Donc, en ajoutant simplement la valeur neuf à notre liste de zéros, on obtient que l’ensemble des zéros de la fonction 𝑓 de 𝑥, qui contient toutes les valeurs de 𝑥 telles que 𝑓 de 𝑥 est égal à zéro, est l’ensemble contenant les valeurs moins trois, cinq et neuf.
