Transcription de la vidéo
Déterminez les cinq premiers termes de la suite dont le terme de rang 𝑛 est donné par 𝑎 𝑛 est égal à cosinus 11𝑛 sur six 𝜋, où 𝑛 est supérieur ou égal à un.
Afin de calculer les cinq premiers termes de toute suite commençant par 𝑛 égale à un, nous substituons les valeurs un, deux, trois, quatre et cinq dans notre expression. 𝑎 un est donc égal à cosinus de 11 multiplié par un sur six 𝜋. 𝑎 deux est égal à cosinus de 11 multiplié par deux divisé par six 𝜋. Ceux-ci se simplifient en cosinus de 11 sur six 𝜋 et cosinus de 22 sur six 𝜋, respectivement. 𝑎 trois est égal à cosinus de 33 sur six 𝜋 car 11 multiplié par trois est 33. De même, 𝑎 quatre est égal à cosinus de 44 sur six 𝜋, et 𝑎 cinq est égal à cosinus 55 sur six 𝜋.
À ce stade, nous pourrions procéder de différentes manières. Nous pourrions simplement taper les cinq expressions dans la calculatrice, en nous assurant que nous sommes en mode radian. Ceci nous donnerait les cinq premiers termes de la suite. Alternativement, nous pourrions annuler les fractions si possible ; 22 sur six, 33 sur six et 44 sur six peuvent être tous annulés. Au lieu de faire l’une ou l’autre de ces étapes, nous examinerons les propriétés de la courbe représentative du cosinus et certains de nos angles spéciaux. Ceci nous permettra de calculer les réponses sans utiliser la calculatrice.
Nous rappelons que cosinus de 30 degrés est égal à la racine trois sur deux. Comme 180 degrés est égal à 𝜋 radians, alors le cosinus de 𝜋 sur six radians est aussi égal à la racine trois sur deux. Cosinus de 𝜋 sur trois ou 60 degrés est égal à un demi. Comme 𝜋 sur trois équivaut à deux 𝜋 sur six, cosinus de deux 𝜋 sur six est égal à un demi. Nous savons également que cosinus de 𝜋 sur deux ou 90 degrés est égal à zéro. Ceci signifie que cosinus de trois 𝜋 sur six est égal à zéro. Cosinus de quatre 𝜋 sur six est égal à moins un demi, et cosinus de cinq 𝜋 sur six est moins racine carrée de trois sur deux. Comme la courbe représentative du cosinus est périodique avec une période de deux 𝜋, nous pouvons calculer la valeur de cosinus 11 sur six 𝜋, cosinus 22 sur six 𝜋, et ainsi de suite en utilisant ces valeurs et le modèle.
En considérant notre diagramme CAST, nous pouvons trouver le cosinus de tous les multiples de 𝜋 sur six qui sont égaux à la racine trois sur deux. Deux 𝜋 moins 𝜋 sur six est égal à 11𝜋 sur six. Comme déjà mentionné, vu que la courbe représentative du cosinus est périodique et a une période de deux 𝜋, nous pouvons ajouter deux 𝜋 à ces deux valeurs pour trouver un nombre infini de solutions. Cosinus de 13𝜋 sur six et cosinus de 23𝜋 sur six sont tous deux égaux à la racine trois sur deux. Comme la première valeur 𝑎 un dans notre suite était cosinus 11 sur six 𝜋, ceci équivaut à la racine trois sur deux. En répétant ce processus, nous voyons que cosinus de deux sur six 𝜋 et cosinus de 10 sur six 𝜋 sont égaux à un demi. Encore une fois, nous pouvons ajouter deux 𝜋 ou 12 sur six 𝜋 à ces deux valeurs, ce qui nous donne 14 sur six 𝜋 et 22 sur six 𝜋.
𝑎 deux, cosinus de 22 sur six 𝜋, est égal à un demi. Nous pourrions continuer cette méthode pour calculer cosinus de 33 sur six 𝜋 qui est égal à zéro, cosinus de 44 sur six 𝜋 qui est moins un demi, et cosinus de 55 sur six 𝜋 qui est égal à moins racine carrée de trois sur deux. Comme mentionné précédemment, il n’y a aucun problème à taper les cinq expressions sur notre calculatrice en mode radian pour obtenir les cinq premiers termes racine trois sur deux, un demi, zéro, moins un demi et moins racine carrée de trois sur deux. Il est important, cependant, de rappeler nos angles spéciaux, car cela nous fera gagner du temps lors de la résolution de certains problèmes.
