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Soit 𝜔, l’une des racines cinquièmes de l’unité. Laquelle des expressions suivantes est équivalente à 𝜔 puissance moins trois? Proposition (A) 𝜔 au carré, proposition (B) un sur 𝜔 au carré, proposition (C) moins un fois 𝜔 au cube, proposition (D) 𝜔 puissance huit ou proposition (E) 𝜔 puissance moins 15.
Dans cette question, on nous donne un nombre 𝜔 et on nous dit que 𝜔 est l’une des racines cinquièmes de l’unité. Mais on ne nous dit pas de quelle racine cinquième de l’unité il s’agit. On doit utiliser cette information pour déterminer une expression équivalente à 𝜔 puissance moins trois. On nous propose cinq expressions. Il existe différentes façons de résoudre cette question. Commençons par rappeler ce qu’est une racine cinquième de l’unité. Tout d’abord, on rappelle que si 𝑧 puissance 𝑛 est égal à un, alors on dit que 𝑧 est une racine 𝑛-ième de l’unité. Pour tout entier positif 𝑛, on sait comment générer les expressions exactes de toutes les racines 𝑛-ièmes de l’unité. Mais ce n’est pas nécessaire pour répondre à cette question. On peut la résoudre sans utiliser cela.
On nous dit dans l’énoncé que 𝜔 est une racine cinquième de l’unité. Le fait que 𝜔 soit une racine cinquième de l’unité nous indique que notre valeur de 𝑛 est cinq. Et puisque 𝜔 est une racine cinquième de l’unité, on sait que 𝜔 puissance cinq est égal à un. On veut utiliser cette équation pour déterminer une expression équivalente à 𝜔 puissance moins trois. Commençons par rappeler ce qu’est 𝜔 puissance moins trois dans ce cas. On a l’habitude d’utiliser les propriétés des puissances sur les réels, mais il s’avère que beaucoup d’entre elles fonctionnent aussi sur les nombres complexes. Ainsi, 𝜔 puissance moins trois est simplement égal à un divisé par 𝜔 au cube. Donc, on cherche à utiliser le fait que 𝜔 puissance cinq soit égal à un pour déterminer une expression de un sur 𝜔 au cube.
Pour cela, on pourrait diviser les deux membres de notre équation par 𝜔 au cube. Et il y a ici quelque chose d’important à souligner. On sait que 𝜔 ne peut pas être égal à zéro, car zéro n’est jamais une racine de l’unité. Zéro puissance 𝑛 est toujours égal à zéro, peu importe la valeur de 𝑛. Cela ne peut pas être égal à un. Donc, on peut diviser par 𝜔 au cube et cela nous donne 𝜔 puissance cinq sur 𝜔 au cube est égal à un sur 𝜔 au cube. Ici, on peut utiliser les propriétés des puissances pour simplifier le membre de gauche. On obtient que 𝜔 puissance cinq divisé par 𝜔 au cube est égal à 𝜔 au carré, car on sait que pour diviser ces deux expressions, il suffit de faire la différence des puissances.
C’est une façon de simplifier notre expression. Mais on peut aussi le faire directement. Au lieu d’utiliser les propriétés des puissances, on va réécrire nos deux puissances de 𝜔 sous forme de produits. Donc, on réécrit 𝜔 puissance cinq comme un produit de 𝜔, où 𝜔 apparaît cinq fois. De la même façon, 𝜔 au cube peut s’écrire 𝜔 fois 𝜔 fois 𝜔. Quant au membre de droite de notre équation, on peut le simplifier en utilisant les propriétés des puissances. Un sur 𝑎 puissance 𝑛 est simplement égal à 𝑎 puissance moins 𝑛. Donc, un sur 𝜔 cube est égal à 𝜔 puissance moins trois.
On peut maintenant simplifier le membre de gauche directement, en éliminant les 𝜔 communs au numérateur et au dénominateur, et on obtient 𝜔 fois 𝜔 sur un. 𝜔 fois 𝜔 est bien sûr égal à 𝜔 au carré, donc on a trouvé que 𝜔 au carré est égal à 𝜔 puissance moins trois. Et on peut voir que cela correspond à la proposition (A).
On doit encore vérifier si les quatre autres propositions sont correctes, car il peut peut-être exister plusieurs expressions équivalentes à 𝜔 puissance moins trois. Cependant, comme on le verra, toutes ces expressions ne sont pas nécessairement équivalentes à 𝜔 puissance moins trois. Il existe de nombreuses façons de le vérifier pour chacune des expressions. Rappelons tout d’abord que 𝜔 peut être n’importe laquelle des racines cinquièmes de l’unité. Pour que les expressions soient équivalentes, cela doit se vérifier pour toutes les racines cinquièmes de l’unité. En particulier, l’une de nos racines cinquièmes de l’unité est 𝜔 égale un. Par conséquent, pour que ces expressions soient équivalentes, elles doivent être vérifiées pour 𝜔 égale un.
Examinons ce qui se passe pour l’expression 𝜔 puissance moins trois quand 𝜔 est égal à un. Quand 𝜔 est égal à un, on obtient un puissance moins trois, ce qui est bien sûr égal à un. On va maintenant remplacer 𝜔 par un dans chacune des quatre propositions restantes, en commençant par la proposition (C): on obtient moins un fois un au cube, ce qui est bien sûr égal à moins un. On en déduit que la proposition (C) ne peut pas être correcte. En effet, elle n’est pas équivalente à 𝜔 puissance moins trois quand 𝜔 est égal à un. Pour vérifier les trois propositions restantes, on va d’abord les simplifier. Pour cela, on va utiliser notre définition de 𝜔. 𝜔 puissance cinq est égal à un.
Commençons par la proposition (D), 𝜔 puissance huit. Bien sûr, on sait qu’élever un nombre 𝜔 à la puissance huit revient à multiplier ce nombre par lui-même jusqu’à obtenir un produit composé de huit 𝜔. Et on en déduit que ce produit est aussi égal à 𝜔 puissance cinq multiplié par 𝜔 au cube. On aurait pu écrire cette ligne directement en utilisant les propriétés des puissances. Mais n’oublions pas que 𝜔 est une racine cinquième de l’unité. Donc, 𝜔 puissance cinq est simplement égal à un. Donc, la proposition (D), 𝜔 puissance huit, est simplement égale à 𝜔 au cube.
On peut procéder de façon similaire pour simplifier les propositions (B) et (E). La proposition (E), 𝜔 puissance moins 15, peut aussi s’écrire un sur 𝜔 puissance 15. On peut ensuite réécrire la puissance de 𝜔 sous la forme d’un produit de 𝜔. Ou on peut simplement utiliser les propriétés des puissances pour montrer que 𝜔 puissance 15 est égal à 𝜔 puissance cinq, le tout au cube. On peut à nouveau utiliser le fait que 𝜔 est une racine cinquième de l’unité. Ce qui signifie que 𝜔 puissance cinq est simplement égal à un. Donc, notre expression devient un sur un au cube, ce qui est bien sûr égal à un. Donc, la proposition (E) est simplement égale à un.
Procédons de façon similaire pour la dernière proposition. Un sur 𝜔 au carré est égal à 𝜔 puissance cinq divisé par 𝜔 au carré, car 𝜔 est une racine cinquième de l’unité donc 𝜔 puissance cinq est simplement égal à un. On peut montrer que c’est égal à 𝜔 puissance trois, soit en réécrivant les puissances sous forme de produits et en annulant les facteurs communs, soit en utilisant les propriétés des puissances. On a juste fait la différence des puissances de 𝜔. Finalement, on a montré quelque chose d’intéressant. Les propositions (D) et (B) sont toutes les deux équivalentes à 𝜔 au cube et la proposition (E) est égale un.
On peut procéder de différentes façons pour montrer qu’aucune de ces propositions n’est correcte. Ici, on va simplement trouver une racine cinquième de l’unité qui montrera que nos expressions ne sont pas équivalentes. Pour cela, on va utiliser une version simplifiée de notre formule permettant de générer des racines de l’unité. On sait que 𝑒 puissance 𝑖 fois deux 𝜋 sur 𝑛 est une racine 𝑛-ième de l’unité. Et on sait qu’on obtient une autre racine si on multiplie notre puissance par 𝑘. Il existe une racine de l’unité pour tout entier 𝑘. Mais cela ne nous sera pas vraiment utile puisqu’on va se contenter de prendre 𝑘 égale un. Et puisqu’on recherche une racine cinquième de l’unité, on pose 𝑛 égal cinq.
Cela nous donne le nombre complexe 𝑧 égale 𝑒 deux 𝜋 sur cinq 𝑖. On sait que 𝑧 est l’une des racines cinquièmes de l’unité. Donc, pour que nos expressions soient équivalentes, elles doivent l’être pour 𝜔 égale 𝑧. Pour le vérifier, commençons par déterminer des expressions de 𝑧 au cube et 𝑧 puissance moins trois. 𝑧 au cube est égal à 𝑒 deux 𝜋 sur cinq 𝑖, le tout au cube. Ensuite, on peut simplifier cette expression en la réécrivant sous forme de produit ou en utilisant les propriétés des puissances. Dans les deux cas, on finit par multiplier la puissance de 𝑒 par trois. Cela nous donne 𝑒 six 𝜋 sur cinq 𝑖.
On peut procéder de façon similaire pour déterminer 𝑧 puissance moins trois. On obtient alors que 𝑧 puissance moins trois est égal à 𝑒 six 𝜋 sur cinq 𝑖. On est maintenant prêt à montrer qu’aucune de nos trois propositions n’est juste. Tout d’abord, on va réécrire nos deux expressions sous forme trigonométrique. Pour cela, le coefficient de 𝑖, dans la puissance de 𝑒, devient l’argument de nos fonctions cosinus et sinus. Autrement dit, 𝑧 au cube est égal au cosinus de six 𝜋 sur cinq plus 𝑖 sinus de six 𝜋 sur cinq et 𝑧 puissance moins trois est égal au cosinus de moins six 𝜋 sur cinq plus 𝑖 sinus de moins six 𝜋 sur cinq.
Pour que ces deux expressions soient égales, leurs parties réelles et imaginaires doivent être égales. Si on tapait ces deux expressions dans notre calculatrice, on constaterait que leurs parties imaginaires ne sont pas égales. En effet, le sinus de six 𝜋 sur cinq n’est pas égal au sinus de moins six 𝜋 sur cinq. Enfin, on rappelle que 𝑧 est l’une des racines cinquièmes de l’unité. Donc, on a montré que 𝜔 au cube n’est pas toujours égal à 𝜔 puissance moins trois. On peut montrer que 𝑧 puissance moins trois n’est pas égal à un par un raisonnement similaire. Par exemple, on peut remarquer que la composante réelle de 𝑧 puissance moins trois n’est pas égale à un. Donc la proposition (E) n’est pas bonne non plus, car 𝑧 est une racine cinquième de l’unité et 𝑧 puissance moins trois n’est pas égal à un.
Par conséquent, nous avons montré que si 𝜔 est une racine cinquième de l’unité, alors la seule expression équivalente à 𝜔 puissance moins trois, parmi les cinq expressions proposées, est 𝜔 au carré, c’est-à-dire la proposition (A).
