Transcription de la vidéo
Si les rayons de deux planètes sont 𝑅 indice un égal à 1552 kilomètres et 𝑅 indice deux égal à 6208 kilomètres, et que le rapport entre leurs accélérations gravitationnelles 𝑔 indice un sur 𝑔 indice deux est égal à un sur deux, alors déterminez le rapport entre leurs masses 𝑚 indice un sur 𝑚 indice deux.
Alors, pour nous aider à résoudre ce problème, on a une formule pour notre accélération due à la pesanteur. Et c’est que 𝑔 est égal à 𝐺 majuscule 𝑚 sur 𝑟 au carré, où 𝑔 est l’accélération due à la pesanteur, G majuscule est la constante de gravitation universelle, 𝑚 est la masse, et 𝑟 est le rayon. Et ceci est actuellement obtenue en combinant la loi de la gravitation universelle de Newton avec la deuxième loi de Newton.
D’accord, super, on a donc ceci. Mais comment ça va nous aider ? Eh bien, ce qu’on peut faire c’est calculer l’accélération due à la pesanteur de nos deux planètes. Alors, on peut dire que l’accélération gravitationnelle de la première planète est égale à 𝐺 majuscule fois par 𝑚 indice un sur 𝑟 indice un au carré, ce qui donne 𝑔 indice un est égal à G majuscule fois 𝑚 indice un divisé par 1 552 000 au carré. Et la raison pour laquelle on obtient ceci c’est que le rayon de la première planète est de 1552 kilomètres. Cependant, à chaque fois que nous cherchons à calculer l’accélération due à la pesanteur, on doit vérifier que les unités de notre rayon soient bien exprimées en mètres. Donc ce qu’on a fait était multiplier ceci par 1000 pour obtenir 1 552 000 mètres.
Maintenant, si on fait la même chose pour la deuxième planète, on va avoir 𝑔 indice deux égal à G majuscule fois 𝑚 indice deux sur 𝑟 indice deux le tout au carré. Par conséquent on va obtenir 𝑔 indice deux est égal à G majuscule fois 𝑚 indice deux sur 6 208 000 au carré. Là aussi, on a converti kilomètres en mètres, donc on a fait 6 208 kilomètres fois 1 000, qui nous donne 6 208 000 mètres.
Eh bien, ensuite, ce que nous allons faire est d’utiliser une autre information qui nous a été donnée dans la question. Et c’est que le rapport entre les accélérations gravitationnelles est de un sur deux. Ainsi, ceci signifie que l’accélération due à la pesanteur sur la deuxième planète, donc 𝑔 indice deux, est le double de l’accélération due à la pesanteur sur la première planète, 𝑔 indice un. Donc, on peut écrire une équation. Et on peut le faire en multipliant notre expression pour 𝑔 indice un par deux. En faisant cela on obtient deux multiplié par 𝐺 majuscule 𝑚 indice un sur 1 552 000 au carré est égal, à l’expression pour 𝑔 indice deux, qui est 𝐺 majuscule 𝑚 indice deux sur 6 208 000 au carré.
Eh bien, ce qu’on peut faire, c’est diviser par G majuscule, la constante de gravitation universelle, car ceci reste inchangé des deux membres de notre équation. Et ensuite on peut faire 𝑚 indice deux le sujet principal de l’équation. Et on va avoir 𝑚 indice deux en termes de 𝑚 indice un. Et pour ce faire, on multiplie les deux membres de l’équation par 6 208 000 au carré. Finalement on a deux multiplié par 6 208 000 au carré sur 1 552 000 au carré 𝑚 indice un est égal à 𝑚 indice deux. Alors en calculant ceci, on a 32𝑚 indice un est égal à 𝑚 indice deux. Donc 𝑚 indice deux est 32 fois plus grand que 𝑚 indice un. Bref, on peut conclure que le rapport entre les masses de nos deux planètes, 𝑚 indice un sur 𝑚 indice deux, est un sur 32.
