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Leçon : Déterminer les asymptotes horizontales et verticales

Dans cette leçon, nous allons apprendre comment déterminer les asymptotes horizontales et verticales de fonctions données.

Feuille d'activités • 6 Questions

Q1:

Détermine les asymptotes verticales et horizontales de la courbe représentant 𝑓 ( 𝑥 ) = 3 𝑥 − 1 5 𝑥 + 3 2 2 .

  • ALa courbe n'admet pas d'asymptote verticale, et admet une asymptote horizontale en 𝑦 = 3 5 .
  • BLa courbe n'admet pas d'asymptote verticale, et admet une asymptote horizontale en 𝑦 = 5 3 .
  • CLa courbe admet une asymptote verticale en 𝑥 = 3 5 mais pas d'asymptote horizontale.
  • DLa courbe admet une asymptote verticale en 𝑥 = − 1 3 mais pas d'asymptote horizontale.
  • ELa courbe n'admet pas d'asymptote verticale, et admet une asymptote horizontale en 𝑦 = − 1 3 .

Q2:

Détermine les asymptotiques verticales et horizontales de la fonction définie par 𝑓 ( 𝑥 ) = 3 𝑒 − 2 𝑥 2 .

  • AL'asymptote horizontale est d'équation 𝑦 = 0 , et il n'y a pas d'asymptote verticale.
  • BL'asymptote horizontale est d'équation 𝑦 = − 2 , et il n'y a pas d'asymptote verticale.
  • CIl n'y a pas d'asymptote horizontale, et l'asymptote verticale est d'équation 𝑥 = 0 .
  • DIl n'y a pas d'asymptote horizontale, et l'asymptote verticale est d'équation 𝑥 = 3 .
  • EL'asymptote horizontale est d'équation 𝑦 = 3 , et il n'y a pas d'asymptote verticale.

Q3:

Détermine les asymptotes verticales et horizontales de la fonction définie par 𝑓 ( 𝑥 ) = − 2 𝑥 3 + 2 𝑥 − 1 5 𝑥 2 l n .

  • ALa fonction admet une asymptote verticale en 𝑥 = 0 et aucune asymptote horizontale.
  • BLa fonction admet une asymptote verticale en 𝑦 = 3 et une asymptote horizontale en 𝑥 = 0 .
  • CLa fonction admet une asymptote verticale en 𝑦 = 0 et aucune asymptote horizontale.
  • DLa fonction admet une asymptote verticale en 𝑦 = 0 et une asymptote horizontale en 𝑥 = 3 .
  • ELa fonction admet une asymptote verticale en 𝑥 = 3 et une asymptote horizontale en 𝑦 = 0 .

Q4:

Considère la fonction 𝑓 ( 𝑥 ) = 4 𝑥 + 7 2 𝑥 − 5 .

Quelles sont les asymptotes verticales et horizontales de la courbe d'équation 𝑦 = 𝑓 ( 𝑥 )  ?

  • A 𝑥 = 5 2 , 𝑦 = 2
  • B 𝑥 = 5 2 , 𝑦 = − 7 4
  • C 𝑥 = 2 , 𝑦 = 5 2
  • D 𝑥 = 2 5 , 𝑦 = 1
  • E 𝑥 = 5 2 , 𝑦 = − 7 5

Écris 𝑓 𝑥 + 5 2 sous une forme simple. Quelles sont les asymptotes verticales et horizontales de la courbe d'équation 𝑦 = 𝑓 𝑥 + 5 2  ?

  • A 4 𝑥 + 1 7 2 𝑥 , 𝑥 = 2 , 𝑦 = 2
  • B 8 𝑥 + 1 9 4 𝑥 − 5 , 𝑥 = 5 4 , 𝑦 = − 1 9 8
  • C 4 𝑥 + 1 7 2 𝑥 , 𝑥 = 0 , 𝑦 = 2
  • D 8 𝑥 + 1 9 4 𝑥 − 5 , 𝑥 = 5 4 , 𝑦 = 2
  • E 4 𝑥 + 1 7 2 𝑥 , 𝑥 = 0 , 𝑦 = − 1 7 4

Écris 𝑓 𝑥 + 5 2 − 2 sous une forme simple. Quelles sont les asymptotes verticales et horizontales de la courbe d'équation 𝑦 = 𝑓 𝑥 + 5 2 − 2  ?

  • A 1 7 2 𝑥 , 𝑥 = 0 , 𝑦 = 0
  • B 2 9 4 𝑥 − 5 , 𝑥 = 5 4 , 𝑦 = 2 9 4
  • C 1 7 2 𝑥 , 𝑥 = 0 , 𝑦 = 1 7 2
  • D 2 9 4 𝑥 − 5 , 𝑥 = 5 4 , 𝑦 = 0
  • E 1 7 2 𝑥 , 𝑥 = 1 , 𝑦 = 1 7 2

Quelle combinaison de translations horizontales et verticales déplace l'intersection des asymptotes de la courbe d'équation 𝑦 = 𝑓 ( 𝑥 ) vers l'origine ( 0 , 0 ) du repère ?

  • Aune translation de 5 2 vers la gauche et une translation de 2 vers le bas
  • Bune translation de 1 3 à gauche et une translation de 1 vers le bas
  • Cune translation de 2 5 vers la gauche et une translation de 1 vers le bas
  • Dune translation de 5 3 à gauche et une translation de 4 vers le bas
  • Eune translation de 1 2 à gauche et une translation de 3 vers le bas

Quel est le facteur de dilatation A requis pour transformer la courbe d'équation 𝑦 = 𝑓 𝑥 + 5 2 − 2 en l'hyperbole d'équation 𝑦 = 1 𝑥  ? Écris-la sous la forme 𝐴 𝑓 𝑥 + 5 2 − 2 = 1 𝑥 .

  • Aune dilatation de facteur 2 1 7 donc 2 1 7 𝑓 𝑥 + 5 2 − 2 = 1 𝑥
  • Bune dilatation de facteur 9 1 7 donc 9 1 7 𝑓 𝑥 + 5 2 − 2 = 1 𝑥
  • Cune dilatation de facteur 1 7 donc 1 7 𝑓 𝑥 + 5 2 − 2 = 1 𝑥
  • Dune dilatation de facteur 4 9 donc 4 9 𝑓 𝑥 + 5 2 − 2 = 1 𝑥
  • Eune dilatation de facteur 3 5 donc 3 5 𝑓 𝑥 + 5 2 − 2 = 1 𝑥

En appliquant une translation de 1 vers la droite, une translation de 3 vers le haut, puis une dilatation d'un facteur 2 sur la courbe représentative de 𝑔 ( 𝑥 ) = 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑐 𝑥 + 𝑑 produit la courbe d'équation 𝑦 = 1 𝑥 . Quelle est l'expression de g ?

  • A 𝑔 ( 𝑥 ) = − 6 𝑥 − 5 2 𝑥 + 2
  • B 𝑔 ( 𝑥 ) = 𝑥 − 1 𝑥 + 2
  • C 𝑔 ( 𝑥 ) = − 𝑥 + 3 𝑥 + 1
  • D 𝑔 ( 𝑥 ) = 𝑥 + 4 𝑥 + 1
  • E 𝑔 ( 𝑥 ) = 6 𝑥 + 5 3 𝑥 + 2

Quelle suite de transformations modifie la courbe représentative de 𝑔 ( 𝑥 ) = 5 𝑥 − 3 2 𝑥 + 1 en l'hyperbole d'équation 𝑦 = 1 𝑥  ?

  • Aune translation de 1 2 vers la droite, une translation de 5 2 vers le bas, puis une dilatation de facteur − 4 1 1
  • Bune translation de 1 4 vers la droite, une translation de 5 2 vers le bas, puis une dilatation de facteur − 1 7
  • Cune translation de 1 4 vers la droite, une translation de 2 5 vers le bas, puis une dilatation de facteur − 4 7
  • Dune translation de 1 2 vers la droite, une translation de 2 5 vers le bas, puis une dilatation de facteur − 4 7
  • Eune translation de 1 3 vers la droite, une translation de 1 2 vers le bas, puis une dilatation de facteur − 1 7

Q5:

Détermine les asymptotes verticales et horizontales de la courbe représentative de 𝑓 ( 𝑥 ) = 4 ( − 𝑥 + 5 ) l n l n .

  • ALa courbe a une asymptote verticale en 𝑥 = 0 et 𝑥 = 𝑒 5 et aucune asymptote horizontale.
  • BLa courbe a des asymptotes verticales en 𝑥 = 0 et 𝑥 = 𝑒 5 et une asymptote horizontale en 𝑦 = − 5 .
  • CLa courbe a des asymptotes verticales en 𝑥 = 5 et 𝑥 = 𝑒 5 et une asymptote horizontale en 𝑦 = − 5 .
  • DLa courbe a des asymptotes verticales en 𝑥 = 0 et 𝑥 = 1 𝑒 5 et aucune asymptote horizontale.
  • ELa courbe a une asymptote verticale en 𝑥 = − 1 5 et 𝑥 = 1 𝑒 5 et une asymptote horizontale en 𝑦 = − 5 .

Q6:

La courbe d'équation 𝑦 = 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑐 𝑥 + 𝑑 est une hyperbole seulement si 𝑐 ≠ 0 . Dans ce cas, quelles sont les deux asymptotes ?

  • A 𝑥 = − 𝑑 𝑐 , 𝑦 = 𝑎 𝑐
  • B 𝑥 = 𝑎 𝑐 , 𝑦 = 𝑑 𝑐
  • C 𝑥 = 𝑑 𝑐 , 𝑦 = 𝑎 𝑑
  • D 𝑥 = − 𝑑 𝑐 , 𝑦 = − 𝑏 𝑎
  • E 𝑥 = − 𝑎 𝑐 , 𝑦 = 𝑑 𝑐
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