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Fiche explicative de la leçon: Racines 𝑛-ièmes : nombres entiers Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer les racines 𝑛-ièmes de nombres entiers, où 𝑛 est un entier supérieur ou égal à 2.

Prendre la racine 𝑛-ième d’un nombre revient à faire l’opération inverse de l’élévation d’un nombre à la puissance 𝑛, nous allons donc d’abord étudier comment calculer les différentes puissances d’un nombre.

On peut rappeler qu’un nombre élevé à la puissance 1 est égal au nombre lui-même;par exemple, 5=5.

Un nombre élevé à la puissance 2 est égal à ce nombre multiplié par lui-même;par exemple, 5=5×5=25.

Prendre la racine carrée d’un nombre est l’opération inverse de l’élévation de ce nombre à la puissance 2. On peut définir la racine carrée d’un nombre en utilisant le symbole racine .

Définition : Racine carrée d’un nombre

La racine carrée de 𝑥 est le nombre positif 𝑦, tel que 𝑦=𝑥. On désigne la racine carrée de 𝑥 par la notation suivante 𝑥=𝑦.

La fonction racine carrée 𝑥=𝑦 est définie pour tout 𝑥 positif et renvoie toujours une image 𝑦 positive dont le carré est égal à 𝑥. Par exemple, 25=5.

Toutefois, il est important de rappeler que le carré de 5 est aussi égal à 25, puisque 5×5=25.

Sauf indication contraire, nous considérons généralement la valeur positive de la racine. Lorsque nous devons considérer à la fois les valeurs des racines carrées positive et négative, nous pouvons l’indiquer en utilisant le symbole ±. Par exemple, ±25=±5.

Étudions à présent ce qui se passe lorsqu’on élève un nombre à une puissance strictement supérieure à 2.

On pourrait écrire 5=5×5×5=125.

Et, en élevant à la puissance 4, on a 5=5×5×5×5=625.

Les opérations inverses de ces deux exponentiations sont les racines 𝑛-ième, où 𝑛 est la valeur de l’exposant.

Puisque 5=125, alors la racine cubique de 125 est un nombre dont le cube est égal à 125, et nous savons que ce nombre est 5. Nous pouvons écrire cela de la façon suivante 125=5.

Pour le nombre 5, avec un exposant égal à 4 donc, puisque 5=625, la racine quatrième de 625 est donnée par 625=5.

Notez que le symbole racine est également utilisé pour les racines 𝑛-ièmes, en indiquant 𝑛 comme degré sur le symbole racine. Lorsque l’on prend la racine carrée, il n’est pas nécessaire d’indiquer le degré 2 sur le symbole racine. On peut définir la racine 𝑛-ième d’un nombre comme suit.

Définition : Racine n-ième d’un nombre

Une racine 𝑛-ième, 𝑟 d’un nombre 𝑧 est une solution de l’équation 𝑧=𝑟.

Il s’agit donc de la fonction inverse de la fonction d’élévation à la puissance 𝑛. On note la racine 𝑛-ième de la sorte:𝑟=𝑧.

La racine deuxième est généralement appelée la racine carrée. La racine troisième est souvent appelée la racine cubique. Au-delà de 3, les racines sont simplement appelées les racines 𝑛-ième, par exemple, la racine cinquième ou la racine neuvième.

Il est souvent utile des connaitre quelques-unes des premières puissances des entiers 2, 3 et 4 afin de calculer plus rapidement les racines 𝑛-ièmes de ces nombres.

Les cinq premières puissances de 2, 3 et 4

2=23=34=42=43=94=162=83=274=642=163=814=2562=323=2434=1024

La connaissance de ces puissances permet de les calculer plus vite et aide particulièrement lors de calcul de racines 𝑛-ièmes. Par exemple, si nous devions calculer 243, en sachant que 3=243, on a directement 243=3.

Etudions à présent des exemples où nous devons calculer diverses racines 𝑛-ièmes.

Exemple 1: Calcul d’une racine carrée

Calculez 4.

Réponse

Rappelons que, lors du calcul d’une racine carrée, il n’est pas nécessaire d’écrire le degré 2 sur le symbole racine. Par exemple, l’écriture 4 est équivalente à 4. Donc, en désignant par 𝑟 la racine carrée, on a 4=𝑟, et donc 𝑟×𝑟=𝑟=4.

Quel nombre positif 𝑟 est solution de cette équation?Rappelons que 2×2=4.

Par conséquent, 4=2.

Voyons à présent comment calculer une racine quatrième.

Exemple 2: Calcul d’une racine quatrième

Calculez 81.

Réponse

La racine 𝑛-ième, notée, 𝑟, d’un nombre 𝑧 est une solution de l’équation 𝑧=𝑟.

Il s’agit donc de la fonction inverse de la fonction d’élévation à la puissance 𝑛. On désigne la racine 𝑛-ième par la notation 𝑟=𝑧.

Ici, on doit calculer 81;par conséquent, nous devons calculer le nombre positif 𝑟 tel que 81=𝑟.

Nous rappelons que 3=3×3×3×3=81.

Par conséquent, 𝑟=3, et on peut écrire 81=3.

Dans l’exemple suivant, nous allons déterminer un nombre dont la racine carrée est égale à la racine cubique d’un autre nombre.

Exemple 3: Égalités entre racines cubiques et racines carrées

Complétez l’expression suivante:27=.

Réponse

On peut d’abord évaluer le membre de gauche de cette équation, 27. Une racine 𝑛-ième, notée 𝑟, d’un nombre 𝑧 est une solution de l’équation 𝑧=𝑟.

Il s’agit de la fonction inverse de la fonction d’élévation à la puissance 𝑛. On désigne la racine 𝑛-ième par la notation 𝑟=𝑧.

Ici, on a 𝑛=3 puisque l’on recherche la racine cubique. Déterminer le nombre 𝑟 tel que 𝑟=27, revient à résoudre en 𝑟 l’équation 27=𝑟.

Puisque l’on sait que 27=3, on a donc 27=3.

On attire l’attention sur le fait que la valeur manquante dans notre expression n’est pas simplement 3. En effet, au lieu de cela, les deux membres de l’équation sont égaux à 3:27=.

Pour que le membre de droite de cette équation soit égal à 3, nous devons déterminer la valeur manquante telle que =3.

Nous rappelons que 3×3=9.

Par conséquent, 9=3.

Ainsi, le nombre recherché est 9 et l’équation, une fois complétée, devient 27=9.

Dans les deux exemples suivants, nous verrons comment évaluer un certain nombre de racines différentes dans une équation.

Exemple 4: Calcul d’une inconnue en utilisant les racines n-ièmes

Sachant que 𝑥=32625+64, calculez 𝑥.

Réponse

Afin de déterminer la valeur de 𝑥, nous devrons évaluer les racines 𝑛-ièmes dans cette équation.

Une racine 𝑛-ième, notée 𝑟, d’un nombre 𝑧 est un nombre tel que 𝑧=𝑟.

Il s’agit de l’inverse de la fonction d’élévation à la puissance 𝑛. On note la racine 𝑛-ième par 𝑟=𝑧.

En commençant par le premier terme du membre de droite de cette équation, 32, on peut écrire 𝑟=𝑧 comme 𝑟=32. On calcule ensuite le nombre positif 𝑟 tel que 32=𝑟. Si on cherche une solution en tâtonnant, puisque 32 est un nombre relativement petit, il serait judicieux de commencer avec une petite valeur pour 𝑟. On rappelle que toute puissance de 1 est égale à 1;c’est-à-dire 1=1;ainsi, nous pouvons commencer à chercher en posant 2 comme première valeur de 𝑟.

Puisque 2×2×2×2×2=32, on a 2=32.

Ainsi, 2 est la racine cinquième de 32, ce que l’on peut réécrire comme 32=2.

On peut appliquer la même méthode pour déterminer la valeur du prochain terme, 625. Nous devrons déterminer le nombre positif 𝑟 tel que 625=𝑟.

Nous pouvons améliorer notre recherche par tâtonnement en raisonnant un peu. Toute puissance d’un nombre pair est paire. Sachant que 625 est un nombre impair, le nombre 𝑟 doit nécessairement être un lui aussi un nombre impair.

Nous pouvons établir que 3=81,𝑟3.ainsi

Par suite, on peut tester la prochaine valeur impaire 𝑟=5. Cela nous donne 5=625,𝑟=5.ainsi

Par conséquent, 625=5.

Pour le dernier terme, 64, on rappelle que 8×8=64, et on peut donc écrire 64=8.

On peut maintenant substituer les valeurs 32=2, 625=5, et 64=8 dans l’équation pour calculer 𝑥, en remarquant que l’on soustrait par le terme 625, et on obtient:𝑥=32625+64𝑥=25+8.

On remarque que, pour simplifier cette expression, il faut calculer une somme et une différence. On respecte l’ordre de priorité des opérations pour calculer cette expression, ce qui nous donne 𝑥=5.

Nous allons maintenant étudier le cas des racines 𝑛-ièmes de nombres strictement négatifs.

Par exemple, existe-t-il un nombre réel 𝑥 tel que 9=𝑥?

On sait élever au carré des nombres réels, aussi bien positifs que négatifs, comme dans l’exemple suivant:3=9(3)=9.et

Cependant, les deux donnent un résultat égal à 9, pas à 9. Donc, ni 3 ni 3 ne sont solutions de 9.

Existe-t-il un nombre réel 𝑟 tel que 𝑟=9?

Si 𝑟 est positif, alors 𝑟=𝑟×𝑟 est le produit de deux nombres positifs, et est donc positif. Ainsi, on a 𝑟>0 et donc différent de 9.

Si 𝑟 est un nombre négatif, alors 𝑟=𝑟×𝑟 est un produit de deux nombres négatifs, et est donc positif et, par conséquent, différent de 9.

Ainsi, il n’existe aucun nombre réel 𝑥 tel que 𝑥=9, et aucune solution réelle pour 9. En général, il n’existe aucune solution réelle pour la racine carrée d’un nombre négatif.

Nous pouvons étendre ce résultat à tout 𝑛 entier positif pair, lorsqu’on prend la racine 𝑛-ième d’un nombre négatif.

Par exemple, on a 3=3×3×3×3=81, et (3)=3×3×3×3=81.

Par conséquent, si l’on considère la racine quatrième de 81, existe-t-il un nombre réel 𝑥 tel que 𝑥=8181=𝑥?et

La réponse est non, car les deux seules solutions possibles, 𝑥=3 et 𝑥=3, sont toutes deux égales à 81 lorsqu’élevées à la puissance 4.

Ensuite, nous pouvons examiner les situations où il existe bien des racines 𝑛-ièmes de nombres négatifs.

Par exemple, existe-t-il des nombres réels 𝑥 tels que 𝑥=8?

On peut faire le calcul suivant (2)=2×2×2=8.

Par conséquent, 8=2.

En faisant un calcul différent, puisque l’on peut évaluer (3)=243, on sait que 243=3.

Dans les deux cas ci-dessus, nous avons trouvé une solution réelle pour la racine d’un nombre négatif, lorsque les racines étaient cubiques ou cinquièmes. De manière générale, on peut trouver une racine 𝑛-ième réelle d’un nombre strictement négatif dès lors que 𝑛 est un entier positif et impair.

Nous pouvons résumer les résultats dans le tableau ci-dessous.

Pour l’équation 𝑧=𝑟 ,

𝑧>0𝑧<0
𝑛 est un entier positif pair Deux racines réelles, ±𝑧Aucune racine réelle
𝑛 est un entier positif impairUne racine réelle, 𝑧

Nous allons en voir un exemple d’application dans l’exemple suivant.

Exemple 5: Calcul d’une inconnue en utilisant les racines n-ièmes

Sachant que 𝑥=64+81+2716, calculez 𝑥.

Réponse

Pour pouvoir trouver la valeur de 𝑥 nous allons devoir calculer les racines 𝑛-ièmes dans cette équation.

Une racine 𝑛-ième, notée 𝑟, d’un nombre 𝑧 est un nombre tel que 𝑧=𝑟.

Il s’agit de l’inverse de la fonction d’élévation à la puissance 𝑛. La racine 𝑛-ième est notée 𝑟=𝑧.

En prenant un à un les termes du membre de droite de l’équation, on peut calculer 64 en déterminant quelle valeur de 𝑟 satisfait 64=𝑟.

Puisque 2=64,𝑟=2,ondoitavoir et, par conséquent 64=2.

Puisque 81=9×9, on peut conclure que 81=9.

Nous devons ensuite évaluer 27. Notez que lors de la recherche de racines 𝑛-ièmes, lorsque 𝑛 est un nombre pair, on ne peut pas trouver de racine 𝑛-ième réelle d’un nombre négatif. Par exemple, nous rappelons qu’un nombre strictement négatif n’a pas de racine carrée réelle. Cependant, lorsque 𝑛 est un nombre impair, on peut trouver une racine 𝑛-ième réelle d’un nombre strictement négatif.

Puisque nous avons 3×3×3=3=27, on sait que 3×3×3=(3)=27.

Par conséquent, 27=3.

Le dernier terme à évaluer est 16. Alors, quelle valeur de 𝑟 est solution de l’équation 𝑟=16?

On a l’égalité 2=16.

Par conséquent, 16=2.

Nous pouvons maintenant résoudre l’équation 𝑥=64+81+2716, en utilisant les valeurs 64=2, 81=9, 27=3, et 16=2. En substituant ces valeurs dans l’équation, puis en simplifiant l’expression obtenue, on a 𝑥=64+81+2716𝑥=2+9+(3)2𝑥=6.

Le nombre 𝑥 est donc égal à 6.

Points clés

  • La racine 𝑛-ième d’un nombre est désignée par 𝑟=𝑧. Il s’agit de l’inverse de la fonction d’élévation à la puissance 𝑛, et appliquer cette racine revient à déterminer la valeur de 𝑟 solution de 𝑧=𝑟.
  • Nous pouvons trouver la racine 𝑛-ième réelle d’un nombre strictement négatif lorsque 𝑛 est impair.
  • Un nombre strictement négatif n’admet pas de racine 𝑛-ième dès lors que 𝑛 est pair.

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