Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer la probabilité d’un évènement simple.
La probabilité d’un événement est la vraisemblance de son occurrence.
Lorsque nous discutons de la probabilité qu’un événement se produise dans la vie quotidienne, nous pouvons utiliser un langage courant pour décrire cette probabilité, par exemple « certain », « probable », « très peu probable » ou « impossible ». En mathématiques, on peut assigner une valeur numérique à une probabilité. Les évènements impossibles ont une probabilité égale à 0, et les évènements dont l’occurrence est certaine ont une probabilité égale à 1. Des évènements qui surviennent ou non de façon également probable ont une probabilité égale à 0,5 ou .
La somme des probabilités de toutes les issues possibles doit être égale à 1. Par exemple, lors du lancer d’une pièce, la somme de la probabilité d’obtenir « pile » et de la probabilité d’obtenir « face » est égale à 1. En effet, la probabilité d’obtenir soit pile soit face est certaine, c’est-à-dire une probabilité égale à 1.
En termes de probabilités, un événement élémentaire est un évènement qui se compose d’une unique issue, par exemple, obtenir « face » avec un seul tirage à pile ou face, ou obtenir un 4 avec un seul lancer de dé.
Nous devons également tenir compte de « l’équilibre » lorsque nous discutons de la probabilité.
Définition : Expériences équilibrées
Une expérience de probabilité est dite équilibrée si toutes les issues sont équiprobables.
Une expérience où les issues ne sont pas équiprobables est déséquilibrée, ou biaisée.
Considérons l’expérience consistant à lancer une pièce de monnaie équilibrée. Les issues étant équiprobables, cette expérience est équilibrée. Si la pièce a un côté « pile » et un côté « face », alors obtenir « pile » est une des deux issues possibles. On pourrait écrire cela comme la fraction .
Définition : Probabilité d’un évènement simple
La probabilité d’un évènement simple est
Communément en probabilité, on peut utiliser la notation pour représenter la probabilité d’un évènement. Par exemple, lors du tirage d’une boule verte ou bleue dans un sac, on peut noter la probabilité de tirer une boule verte.
Étudions à présent comment cette formule peut être utilisée au travers de divers exemples.
Exemple 1: Calculer la probabilité d’un événement
Une classe est composée de 18 garçons et de 9 filles. Quelle est la probabilité qu’un élève choisi au hasard soit une fille ?
Réponse
On peut rappeler que la probabilité d’un évènement simple peut s’écrire comme suit : Dans ce cas, nous devons calculer la probabilité de choisir une fille, que nous notons .
Écrivons l’égalité
Puisqu’il y a 18 garçons et 9 filles dans la classe, il y a au total élèves dans cette classe. En substituant le nombre de filles et le nombre total d’élèves par, respectivement, 9 et 27 dans l’équation précédente, on obtient
En simplifiant cette fraction, nous avons
Ainsi, la probabilité qu’un élève choisi au hasard soit une fille est égale à .
Dans l’exemple suivant, nous verrons comment nous pouvons souvent avoir besoin d’utiliser les propriétés physiques d’un objet pour obtenir la probabilité qu’un événement se produise, par exemple, en examinant les sections d’une roulette.
Exemple 2: Calculer la probabilité d’un évènement dans le jeu de la roulette
Quelle est la probabilité que le pointeur s’arrête sur un nombre pair lorsque l’on fait tourner la roulette ?
Réponse
Sur cette roulette, les sections étant toutes de même taille, et en supposant que la roulette n’est pas truquée, on peut en déduire que la probabilité que le pointeur s’arrête sur une section est la même quelle que soit la section.
On rappelle que la probabilité d’un évènement simple est donnée par
Pour déterminer la probabilité que le pointeur s’arrête sur un nombre pair, on peut écrire
Déterminons quels nombres sur la roulette sont pairs ou impairs. Les nombres pairs sont des entiers divisibles par 2. Les nombres impairs sont des entiers qui ne sont pas divisibles par 2. Comme 12 et 14 sont les seuls nombres pairs de la roulette, le nombre d’issues possibles où le nombre tiré est pair est égal à 2. Le nombre total d’issues est égal au nombre total de sections sur la roulette, c’est-à-dire 8. Nous pouvons substituer ces valeurs dans notre équation, ce qui nous donne
Puis, en simplifiant la fraction, on a
Ainsi, la roulette s’arrête sur un nombre pair avec probabilité .
Étudions un autre exemple.
Exemple 3: Calculer la probabilité d’un évènement
Un jeu de cartes contient des cartes numérotées de 1 à 81. Si on tire une carte au hasard, quelle est la probabilité que la valeur de celle-ci soit divisible par 5 ?
Réponse
On peut considérer le jeu de cartes comme suit.
Afin de pouvoir calculer la probabilité de tirage d’un certain type de carte, on rappelle que la probabilité d’un évènement simple est donnée par
Ainsi, pour calculer la probabilité de l’évènement « la carte a une valeur divisible par 5 », on pourrait écrire l’équation suivante :
On rappelle qu’un nombre est divisible par un autre si leur quotient est un nombre entier. Les nombres qui sont divisibles par 5 sont aussi des multiples de 5. On peut lister les nombres qui sont divisibles par 5, entre 1 et 81 : Comme la valeur de la carte la plus haute est 81, alors il n’y a pas de valeur plus élevée possible. Après comptage de ces nombres, on voit qu’il y a 16 valeurs de cartes possibles.
De plus, le nombre total de cartes est de 81.
En utilisant ces valeurs dans l’équation précédente, on obtient
Cette fraction est irréductible. Ainsi, on tire une carte de valeur divisible par 5 avec une probabilité de .
Regardons à présent un exemple, où, à partir d’informations sur le nombre total d’issues possibles et sur la probabilité d’un évènement, on doit calculer le nombre d’issues d’un évènement spécifique.
Exemple 4: Résolution d’un problème grâce aux probabilités
Il y a 28 personnes dans une réunion. La probabilité qu’une personne choisie au hasard soit un homme est égale à . Calculez le nombre de femmes dans la réunion.
Réponse
D’après l’énoncé, la probabilité de choisir un homme au hasard dans cette réunion est de . À partir de cette information, et puisque l’on connait le nombre total de personnes dans cette réunion, on peut déterminer le nombre d’hommes présents dans la réunion.
On rappelle que la probabilité d’un évènement simple est donnée par
Ici, en notant la probabilité que la personne choisie soit un homme, on a
Puisque et que le , on peut substituer ces valeurs dans l’équation ci-dessus, et on obtient
En multipliant des deux côtés de cette équation par 28, puis en simplifiant, on a
Puisqu’il y a 14 hommes dans la réunion, on peut calculer le nombre de femmes présentes en soustrayant 14 (le nombre d’hommes) à 28 (le nombre total de personnes). Ainsi,
il y a donc 14 femmes présentes à cette réunion.
Étudions à présent un exemple dans lequel on cherche la probabilité de tirer un chiffre pair au hasard dans un nombre donné.
Exemple 5: Calculer la probabilité d’un évènement
Si un seul chiffre du nombre 224 839 287 est tiré au hasard, quelle est la probabilité que ce chiffre soit pair ?
Réponse
Rappelons que la probabilité d’un évènement simple est donnée par
Ici, en notant la probabilité de choisir un chiffre pair, on a
En considérant chaque chiffre séparément et en déterminant sa parité, nous avons
On constate après un dénombrement qu’il y a 6 chiffres pairs dans ce nombre. Le nombre total de chiffres est égal à 9. En substituant ces valeurs dans l’équation de probabilité ci-dessus, on a
Par conséquent, la probabilité de sélectionner un chiffre pair au sein du nombre 224 839 287 est de .
Dans le dernier exemple, étant donné le nombre d’issues possibles d’un évènement donné et sa probabilité, nous allons déterminer le nombre total d’issues possibles.
Exemple 6: Résoudre un problème en utilisant les probabilités
Une urne contient 24 boules blanches et un nombre inconnu de boules rouges. La probabilité de choisir une boule rouge au hasard est égale à . Combien de boules y a-t-il dans l’urne ?
Réponse
On nous donne le nombre de boules blanches dans l’urne et on nous donne la probabilité qu’une boule tirée au hasard soit rouge. Pour déterminer le nombre total de boules, on peut se servir de la formule de la probabilité d’un évènement simple :
Pour déterminer le nombre de boules blanches, on peut remarquer qu’il n’y a que des boules rouges ou blanches dans l’urne ; la somme des probabilités étant égale à 1, la probabilité d’obtenir une boule blanche, peut être trouvée comme suit
La probabilité de tirer une boule blanche est donnée par
En substituant dans cette équation les valeurs et le nombre de boules blanches = 24, on obtient
En faisant un produit en croix, on obtient
En divisant les deux côtés de l’équation par 24, on obtient
Nous pouvons vérifier notre réponse en calculant le nombre de boules rouges . Ainsi, la probabilité de tirer une boule rouge doit être égale à puisque
Cela confirme notre réponse ; il y a, au total, 31 boules dans l’urne.
Nous donnons à présent un résumé des points clés.
Points clés
- La probabilité d’un événement est la vraisemblance de sa réalisation.
- La somme des probabilités de toutes les issues possibles est égale à 1.
- Une expérience de probabilité est dite équilibrée si toutes les issues sont équiprobables. Des expériences déséquilibrées sont souvent qualifiées de biaisées.
- Un évènement élémentaire est un évènement dont l’issue est unique.
- La probabilité d’un évènement simple, est donnée
