Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer la réciproque d'une fonction en échangeant les variables dans l'équation.
Comme la notion de réciproque d’une fonction s’appuie sur la notion de fonction, rappelons d’abord quelques définitions et notations clés relatives aux fonctions.
Définition : Fonctions et notions associées
Une fonction associe un antécédant appartenant à son domaine de définition à une image appartenant à son ensemble d’arrivée. L’ensemble image de la fonction d’expression est l’ensemble de toutes les valeurs possibles de lorsque varie sur l’ensemble du domaine de définition. Nous le notons par .
Une fonction est appelée injective (ou une-à-une) si chaque antécédent a une image unique. Si elle n’est pas injective, alors elle est plusieures-à-une et de nombreux antécédents peuvent correspondre à la même image.
Une fonction est dite surjective (ou ayant au moins un antécédent si l’ensemble d’arrivée est égal à l’ensemble image . C’est-à-dire que, chaque élément de peut être écrit sous la forme où .
Une fonction est dite bijective si elle est à la fois injective et surjective.
Nous notons que comme l’ensemble d’arrivée est un ensemble que nous choisissons lorsque nous définissons une fonction, dans la plupart des cas, il sera utile de le définir comme étant égal à l’ensemble image, de sorte que la fonction est surjective par défaut.
Après avoir revu ce vocabulaire relatif aux fonctions, abordons à présent la réciproque d’une fonction.
La réciproque d’une fonction est une fonction qui « inverse » cette fonction. Si , alors la réciproque de , que nous désignons par , renvoie la valeur initiale de lorsqu’on l’applique à . Ceci est illustré ci-dessous.
Cela s’applique à chaque élément dans l’ensemble d’arrivée et chaque élément dans l’ensemble image . Donc si on sait que , nous avons . Nous illustrons cette idée dans l’exemple suivant.
Exemple 1: Calculer les images et les antécédents par une fonction et sa réciproque à l’aide de tableaux de valeurs
Les tableaux suivants sont partiellement remplis pour les fonctions et qui sont réciproques l’une de l’autre. Déterminez les valeurs de , , , et .
| 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | ||
| 1 | 14 |
| 1 | ||||||
| 1 | 2 | 5 | 6 |
Réponse
Rappelons que si une fonction associe à un antédédent une image , alors associe la variable à .
Comme et sont réciproques l’une de l’autre, pour déterminer les valeurs de chacune des inconnues, il suffit de lire dans l’autre tableau les valeurs correspondantes.
Par exemple, dans le premier tableau, nous avons
Ici, 2 est la valeur de et est la valeur de . Nous savons que la fonction réciproque associe la variable à la variable . En d’autres termes, nous voulons trouver une valeur de telle que
Par conséquent, cherchons dans le tableau de une valeur égale à 2. Nous trouvons que pour , ce qui nous donne
C’est-à-dire que la valeur égale à est associée à 2. Ainsi, on peut dire que . Nous pouvons répéter cette méthode pour chaque valeur, en associant chaque fois à la valeur correspondante dans l’un des tableaux contenant ou comme suit.
Cela nous donne , , , et .
Nous avons maintenant vu les bases du fonctionnement des fonctions réciproques, mais pourquoi pourraient-elles être utiles en premier lieu ? Une raison, par exemple, pourrait être que nous voulons inverser l’action d’une fonction. À titre d’exemple, supposons que nous ayons une fonction pour la température () qui convertit des en . Cette fonction est donnée par
Naturellement, nous pourrions vouloir effectuer les opérations inverses. C’est-à-dire convertir des degrés Fahrenheit en degrés Celsius. Cela peut être fait en réarrangeant ce qui précède de manière à calculer , comme suit :
Cette nouvelle fonction agit comme la réciproque de la fonction initiale. On pourrait également écrire ces fonctions en fonction de , et pour obtenir
Formalisons maintenant cette idée avec la définition suivante.
Définition : Fonction réciproque
Soit une fonction. Alors, en supposant que est inversible, la réciproque de est la fonction qui vérifie
Notons que nous spécifions que doit être inversible pour avoir une fonction réciproque. C’est parce qu’il n’est pas toujours possible de trouver la réciproque d’une fonction. Supposons, par exemple, que nous ayons
Ici, si nous avons , alors il n’y a pas une seule valeur distincte pour ; cela peut être 2 ou . Nous pouvons le voir sur le graphique ci-dessous.
Par conséquent, n’a pas de valeur distincte et ne peut être définie. Plus précisément, le problème vient du fait que est une fonction à plusieurs antécédents. Ainsi, une condition pour qu’une fonction soit inversible est qu’elle soit injective (ou au plus un antécédent).
Un problème supplémentaire peut venir de la définition de l’ensemble d’arrivée. Dans la définition ci-dessus, nous exigeons que et . C’est-à-dire, le domaine de définition de est l’ensemble d’arrivée de et réciproquement. Cela pourrait créer des problèmes si, par exemple, nous avions une fonction définie par
Une fonction exponentielle ne peut donner que des nombres positifs en image. Par conséquent, l’ensemble image de est , que nous illustrons ci-dessous, en projetant le graphique sur l’axe .
En revanche, l’ensemble d’arrivée est (par définition) l’ensemble tout entier. Si nous essayons de définir une fonction réciproque , alors n’est pas définie pour les nombres négatifs de l’ensemble d’arrivée, ce qui signifie que la fonction réciproque ne peut pas exister. En général, si l’ensemble image n’est pas égal à l’ensemble d’arrivée, alors la fonction réciproque ne peut pas être définie partout. Ainsi, nous exigeons qu’une fonction inversible soit aussi surjective ; c’est-à-dire . Notez que dans ce cas, nous pourrions facilement résoudre le problème en choisissant quand on définit la fonction, ce qui nous permet de définir correctement la réciproque.
Les conditions ci-dessus (injective et surjective) sont des conditions préalables nécessaires pour qu’une fonction soit inversible. En fin de compte, si une fonction remplit ces conditions, elle doit également être inversible. En effet, pour déterminer la réciproque d’une fonction, il suffit de pouvoir relier chaque point dans le domaine de définition en un point unique de l’ensemble d’arrivée. Si nous pouvons le faire pour chaque point, alors nous pouvons simplement procéder dans le sens inverse pour déterminer la réciproque de la fonction. Ainsi, nous avons la définition suivante de l’inversibilité.
Définition : Inversibilité
Une fonction est dite inversible si elle est bijective (c’est-à-dire, elle est à la fois injective et surjective), c’est-à-dire, si chaque antécédent a une image unique et que tout élément de l’ensemble d’arrivée est associé à un élément du domaine de définition.
Testons notre compréhension des exigences ci-dessus avec l’exemple suivant.
Exemple 2: Déterminer si les fonctions sont inversibles
Laquelle des fonctions suivantes n’a pas de réciproque sur l’ensemble de son domaine de définition ? Supposez que l’ensemble d’arrivée de chaque fonction est égal à son ensemble image.
Réponse
Pour qu’une fonction soit inversible, elle doit être à la fois injective et surjective. Comme il a été dit que l’ensemble d’arrivée de chacune des fonctions données est égal à son ensemble image, cela signifie que les fonctions sont surjectives. Par conséquent, concentrons-nous sur la vérification de l’injectivité de chacune de ces fonctions, ce qui nous permettra de savoir si elles sont inversibles.
Dans l’option A,
Tout d’abord, nous notons que comme il s’agit d’une fonction exponentielle de base 2 supérieure à 1, c’est une fonction strictement croissante. Cela signifie que
Maintenant supposons que nous ayons deux antécédents uniques et ; les images et sont-elles uniques ? Si et sont uniques, alors l’une doit être plus grande que l’autre. Cela signifie que soit ou . Mais, dans les deux cas, la règle ci-dessus nous montre que et sont différents. Ainsi, des antécédents uniques donnent des images uniques, de sorte que la fonction est injective. Par conséquent, par extension, elle est inversible et la réponse ne peut donc pas être A.
Dans l’option B,
Pour qu’une fonction soit injective, chaque valeur de doit nous donner une valeur unique pour . Cependant, dans le cas de la fonction ci-dessus, pour tout , nous avons
Comme les antécédents et ont la même image , n’est pas une fonction injective. Par conséquent, elle n’est pas inversible et B est donc la bonne réponse. Cependant, vérifions les autres options pour être parfaitement complets.
Dans l’option C,
Ici, est une fonction strictement croissante. En effet, si , alors . Ainsi, de la même manière que pour l’option A, elle doit également être injective et donc inversible. Nous avons donc confirmé que C n’est pas la bonne option.
Dans l’option D,
Contrairement aux options A et C, cette fonction n’est pas strictement croissante, donc nous ne pouvons pas utiliser cet argument pour montrer qu’elle est injective. Cependant, nous pouvons utiliser un argument similaire. Supposons que nous ayons deux antécédents uniques, . En appliquant à ces valeurs, nous avons
Si ces deux valeurs étaient identiques pour deux et distincts, la fonction ne serait pas injective. Cependant, s’ils étaient identiques, nous aurions
En prenant l’inverse de chaque membre, cela nous donne
Ainsi, la seule situation dans laquelle est quand (c.-à-d., ils ne sont pas distincts). Par conséquent, est injective et, par extension, elle est inversible. Nous avons donc confirmé que D n’est pas correcte.
Notez que dans l’exemple précédent, bien que la fonction d’expression dans l’option B n’a pas de réciproque sur l’ensemble de son domaine de définition, si l’on restreint l’ensemble d’arrivée à ou , la fonction est bijective et aurait pour expression réciproque ou .
Nous avons maintenant vu dans quelles conditions une fonction est inversible et comment inverser une fonction valeur par valeur. Cependant, nous n’avons pas approfondi la méthode utilisée pour déterminer l’expression complète d’une fonction réciproque.
Nous rappelons dans notre exemple précédent, la fonction qui associe les degrés Fahrenheit aux degrés Celsius dont nous avons pu déterminer la réciproque en réarrangeant l’équation en fonction de l’autre variable. Généralisons maintenant cette approche.
Rappelons que pour une fonction , la fonction réciproque vérifie
Ainsi, pour déterminer une expression pour , on cherche à trouver une expression où est l’antécédent et est l’image. En ce qui concerne , cela signifie que nous échangeons et . Ainsi, pour déterminer la réciproque de la fonction, nous pouvons suivre les étapes ci-dessous.
Comment : Déterminer la réciproque d’une fonction de manière algébrique
- En partant de , nous substituons par et par dans l’expression.
- Ensuite, nous réarrangeons l’équation sous la forme .
- Enfin, nous déterminons le domaine de définition et l’ensemble image de (si nécessaire) et définissons le domaine de définition de égal à l’ensemble image de et l’ensemble image de égal au domaine de définition de .
Après avoir calculé une expression pour la réciproque, nous pouvons de plus vérifier si elle se comporte bien comme une réciproque. Rappelons qu’une fonction réciproque obéit à la relation suivante.
Notez que si nous appliquons à tout , suivi de on revient à . De même, nous pouvons appliquer à , suivi de , pour retrouver . Cela conduit à la règle utile suivante.
Règle : La composition d’une fonction et de sa réciproque
Soit une fonction et sa réciproque. Alors les expressions pour les compositions et sont toutes deux égales à la fonction identité. C’est-à-dire
Dans le cas où les domaines de définitions et les ensembles images de et sont égaux, alors pour tout dans le domaine de définition, nous avons
Voyons une application de ces idées dans l’exemple suivant.
Exemple 3: Déterminer algébriquement la réciproque d’une fonction linéaire
Déterminez pour .
Réponse
Pour déterminer la réciproque d’une fonction, on commence par échanger les valeurs de et dans . Cela nous donne
Maintenant, nous réarrangeons cela sous la forme .
- On retire 3 à chaque membre de l’équation : .
- On multiplie chaque membre par 2 : .
- On développe les parenthèses : .
Cela nous donne . On peut vérifier que c’est la bonne fonction réciproque en la composant avec la fonction initiale comme suit :
Comme il s’agit de la fonction identité, c’est tout à fait correct. Notez que nous pouvons également vérifier que .
Enfin, bien que cela ne soit pas obligatoire ici, nous pouvons déterminer le domaine de définition et l’ensemble image de . Comme peut prendre n’importe quel nombre réel et lui associer n’importe quel nombre réel, son domaine de définition et son ensemble image sont tous les deux . Par conséquent, a également un domaine de définition et un ensemble image qui est .
En conclusion, (et ).
Dans l’exemple précédent, nous avons montré la méthode pour déterminer la réciproque d’une fonction en inversant les valeurs de et . Cependant, il a fallu peu de travail pour déterminer l’ensemble d’arrivée et l’ensemble image. Dans l’exemple suivant, nous verrons pourquoi la recherche du bon domaine de définition est parfois une étape importante du travail.
Exemple 4: Déterminer la réciproque d’une fonction racine carrée
Déterminez pour et indiquez l’ensemble d’arrivée.
Réponse
On commence par échanger et dans . Cela nous donne
Maintenant, nous réarrangeons l’équation en fonction de .
- On soustrait 3 à chaque membre : .
- On prend le carré de chaque membre : .
Ainsi, . On peut vérifier que cette expression est correcte en calculant comme suit :
Ainsi, l’expression semble juste. Maintenant, même si on dirait que peut prendre n’importe quelle valeur de , son domaine de définition et son ensemble image dépendent du domaine de définition et de l’ensemble image de . C’est-à-dire, pour déterminer le domaine de définition de , nous devons déterminer l’ensemble image de . Tout d’abord, le domaine de définition de est , l’ensemble des nombres réels positifs, puisque ne peut pas prendre des valeurs négatives de . Comme et est égal à 0 lorsque , nous avons
Par conséquent, l’ensemble image de est . Ainsi, le domaine de définition de est et son ensemble image est .
En conclusion, , pour .
Le graphique ci-dessous montre les courbes représentant les fonctions réciproques d’expressions et vues dans l’exemple précédent. Si on étend la représentation de à la droite réelle tout entière, nous obtenons en fait une parabole qui représente une fonction surjective et donc non inversible. Ainsi, en restreignant l’ensemble d’arrivée à , nous avons seulement la moitié de la parabole et cela permet d’obtenir une réciproque valable pour la fonction d’expression .
Ainsi, la recherche d’une fonction réciproque ne peut être possible qu’en restreignant l’ensemble d’arrivée à un ensemble spécifique de valeurs. Dans le dernier exemple, nous montrerons comment cela fonctionne dans le cas d’une fonction du second degré.
Exemple 5: Déterminer la réciproque d’une fonction du second degré de manière algébrique
Déterminez sachant que , où représente le domaine de définition.
Réponse
Pour déterminer l’expression de la réciproque de , on commence par échanger et dans pour obtenir
Nous procédons ensuite à un réarrangement de cela en fonction de .
- On ajoute 3 à chaque membre : .
- On prend la racine carrée de chaque membre : .
- On ajoute 2 à chaque membre : .
Ainsi, nous avons . Vérifions cela en calculant :
Comme , il s’agit bien d’une réciproque. Notez que le calcul ci-dessus utilise le fait que ; par conséquent, .
Déterminons maintenant le domaine de définition et l’ensemble image de et par conséquent . Pour commencer, par définition, le domaine de définition de a été restreint à , ou . Pour trouver l’ensemble image, nous notons que est une fonction du second degré, elle doit donc prendre la forme (ou une partie de la forme) d’une parabole. Par conséquent, nous essayons de trouver son point minimum.
Comme l’expression de est sous une forme qui permet de déterminer rapidement les coordonnées de son sommet, on sait que donne un point minimum lorsque , ce qui nous donne . Par conséquent, son ensemble image est . Nous illustrons cela dans le graphique ci-dessous.
Par conséquent, cela signifie que le domaine de définition de est et son ensemble image est . En résumé, nous avons pour .
Notez que dans l’exemple précédent, il n’est pas possible d’avoir la réciproque d’une fonction du second degré si son domaine de définition n’est pas limité à « la moitié » ou moins que « la moitié » de la parabole. (Ici, par « la moitié » d’une parabole, on désigne la partie d’une parabole de chaque côté de son axe de symétrie , où est l’abscisse de son sommet). En effet, si on essayait de déterminer la réciproque en considérant la parabole complète, on obtiendrait comme représentation la courbe orange ci-dessous, qui ne correspond pas à la courbe représentative d’une fonction.
Terminons par passer en revue certains des points clés que nous avons couverts dans cette fiche explicative.
Points Clés
- Soit une fonction. Alors, à condition que soit inversible, la réciproque de est la fonction ayant la propriété suivante :
- Nous notons que le domaine de définition et l’ensemble image de la fonction réciproque sont inversés par rapport à la fonction d’origine.
- Une fonction est inversible si elle est bijective (c.-à-d. à la fois injective et surjective). Notez que nous pouvons toujours rendre une fonction injective inversible en choisissant l’ensemble d’arrivée égal à l’ensemble image.
- On peut trouver la réciproque d’une fonction en échangeant et dans l’égalité et réarrangeant l’équation en fonction de . Nous pouvons déterminer son domaine de définition et son ensemble image en déterminant le domaine de définition et l’ensemble image de la fonction initiale et en les échangeant.
- On peut vérifier qu’une fonction est bien la réciproque en vérifiant que
