Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment résoudre des systèmes d'inéquations en traduisant chaque condition en une inéquation.
Un système d’inéquations linéaires (représenté par , et ) est un ensemble de deux inégalités linéaires ou plus à plusieurs variables. Il est utilisé lorsqu’un problème nécessite un ensemble de solutions et que ces solutions sont soumises à plusieurs contraintes ; par exemple, un magasin essayant d’acheter des stocks avec un budget donné.
Rappelons que, dans un graphique représentant un système d’inéquations, pour une droite particulière définie par , , ou la droite générale définie par , le fait de colorier au-dessus ou à droite signifie plus grand que, tandis que le fait de colorier en dessous ou à gauche signifie plus petit que. De plus, nous devrons également prendre en compte la limite de la région, où une ligne continue signifie égale à, tandis qu’une ligne en pointillées signifie non égale à.
L’intersection des régions de chacune des inégalités d’un système est celle où se situe l’ensemble des solutions, car cette région satisfait à chaque inégalité du système. Nous n’incluons les valeurs aux bords des intersections de la région que s’il y a une ligne continue pour chacune d’entre elles, car toutes les inégalités doivent être satisfaites et une inégalité stricte, représentée par une ligne en pointillées, l’exclut de l’ensemble solution.
Par exemple, considérons le système d’inéquations
La région où toutes les régions coloriées se croisent est celle où les systèmes d’inéquations sont satisfaits.
Considérons un exemple réel où nous traduisons des conditions en un système d’inéquations. Comme exemple à une variable, supposons qu’un parc d’attractions ait 3 manèges que quelqu’un veut essayer. La balançoire impose aux participants de mesurer au moins 1 m, les montagnes russes exigent que les participants mesurent au moins 1,3 m, et le carrousel impose aux participants de mesurer entre 0,8 m et 1,4 m.
Si l’on note la taille d’un participant, alors la contrainte de la balançoire, au moins 1 m, peut être traduite par
De même, la contrainte pour les montagnes russes, au moins 1,3 m, peut être traduite par
La dernière contrainte est que le carrousel exige que les participants mesurent entre 0,8 m et 1,4 m, elle peut être traduite par
Ainsi, le système d’inéquations représentant cette situation est
On peut aussi combiner ces inégalités. Tout d’abord, notons que nous pouvons ignorer la première contrainte, , comme la deuxième contrainte, , en tient compte. Ainsi, nous avons les inéquations
Maintenant, la deuxième inégalité est équivalente à et , et on peut combiner de la même manière la première avec pour obtenir les inégalités et , qui est équivalent à
Maintenant, considérons un autre exemple plus concret avec des inégalités linéaires ayant plus d’une variable. Supposons que nous voulons faire un jardin rectangulaire et que nous disposons d’une certaine longueur de grillage, jusqu’à 4 mètres, à placer autour du périmètre.
Comment pouvons-nous représenter cette situation à l’aide d’un système d’inéquations ?
Premièrement, soit la longueur en mètres et la largeur en mètres, ce qui nous donne le rectangle suivant :
Comme la longueur et la largeur ne peuvent pas être des nombres négatifs, cela se traduit par la condition
Notez que le périmètre du rectangle est , et comme cela ne peut pas dépasser 4 mètres, cela signifie que , ce qui se traduit par la condition
En résumé, le système d’inéquations représentant cette situation serait
Ce système peut être représenté visuellement dans le premier quadrant comme suit :
Les valeurs de et qui satisfont à toutes les inégalités se situent à l’intersection des trois régions coloriées.
Maintenant, considérons quelques exemples où nous obtenons un système d’inéquations à partir d’un texte. Dans le premier exemple, nous exposerons le système d’inéquations pour un berger qui veut construire une bergerie rectangulaire.
Exemple 1: Déterminer le système d’inéquations qui décrit une situation donnée
Un berger veut construire une bergerie rectangulaire. La longueur de la bergerie doit être supérieure à 88 m et son périmètre doit être inférieur à 253 m. Déduisez le système d’inéquations qui décrit la situation, en notant la longueur de la bergerie par et sa largeur par .
Réponse
Dans cet exemple, nous exposerons les systèmes d’inéquations qui satisfont aux conditions pour que le berger construise une bergerie rectangulaire.
Comme la longueur de la bergerie doit être supérieur à 88 m et la largeur de la bergerie ne peut pas être une valeur négative, nous avons les conditions
Le périmètre d’un polygone est la somme des longueurs de ses côtés. Comme la bergerie est rectangulaire, son périmètre, , est donné par , et comme celle-ci doit être inférieure à 253 m, nous avons
En résumé, le système d’inéquations qui vérifie chaque condition pour la situation donnée est
Maintenant, déterminons le système d’inéquations traduisant une situation dans laquelle un menuisier veut acheter deux types de clous.
Exemple 2: Déterminer le système d’inéquations qui décrit une situation donnée
Un menuisier veut acheter deux types de clous ; le premier type coûte 6 livres sterling par kilogramme, et le second type coûte 9 livres sterling par kilogramme. Il a besoin d’au moins 5 kg du premier type et d’au moins 7 kg du second. Il peut dépenser au plus 55 livres sterling. En utilisant pour représenter la quantité du premier type et pour représenter le deuxième type, écrivez le système d’inéquations qui représente cette situation.
Réponse
Dans cet exemple, nous exposerons les systèmes d’inéquations qui satisfont aux conditions pour un menuisier qui veut acheter deux types de clous.
Comme et sont respectivement les quantités de clous (en kilogrammes) du premier et du deuxième type et que le menuisier a besoin d’au moins 5 kg du premier type et 7 kg du second, nous avons la condition
Comme le premier type coûte 6 livres sterling par kilogramme et le second type coûte 9 livres sterling par kilogramme, le prix total pour chaque type serait respectivement et . La somme de ceux-ci doit être inférieure à 55 livres sterling, et ainsi nous avons
En résumé, le système d’inéquations vérifiant chaque condition pour la situation donnée est
On pourrait aussi avoir plusieurs inégalités linéaires (c.-à-d. différentes régions définies au-dessus ou en dessous de plusieurs droites), selon la situation. Considérons pour cela un autre exemple concret. Supposons que nous voulons construire une armoire et acheter deux articles, des planches de bois et un paquet de clous, et que nous voulons que le nombre de planches de bois soit au moins égal à 7. On sait aussi que les planches de bois coûtent 5 $ chacune et le paquet de clous coûte 3 $ et nous avons 75 $ au total à dépenser, le montant final devrait donc être au plus égal à cela. Pour chaque planche de bois, nous devrions également avoir au moins 4 clous, sachant que chaque paquet contient 8 clous.
Comment représente-t-on cette situation à l’aide d’un système d’inéquations ? Ce système peut être représenté à l’aide d’un dessin comme suit.
Premièrement, désignons le nombre de planches de bois par et le nombre de paquets de clous par . Étant donné que le nombre de planches de bois et de paquets de clous ne peut pas être un nombre négatif, cela se traduit par la condition
Comme on exige que le nombre de planches de bois doit être au moins 7, cela se traduit par la condition
Cela signifie que nous pouvons ignorer la condition , comme cela est déjà pris en compte, car si , alors cela signifie aussi que . Maintenant, puisque les planches de bois coûtent 5 $ chacune, le montant total dépensé pour les planches de bois sera
De même, les paquets de clous coûtent 3 $ chacun, de sorte que le montant total dépensé pour les paquets de clous sera
Le montant total dépensé sera la somme de ceux-ci, , et nous avons au plus 75 $ à dépenser, ce qui se traduit par
Comme on nous dit que chaque planche de bois doit avoir au moins 4 clous, le nombre total de clous sera supérieur ou égal à 4 fois le nombre total de planches, sachant que chaque paquet contient 8 clous :
En résumé, le système d’inéquations représentant cette situation sera
Nous pouvons également représenter ce système visuellement comme suit :
Les valeurs de et qui satisfont à toutes les inégalités se situent à l’intersection des quatre régions coloriées.
Maintenant, regardons quelques exemples pour mettre en pratique et approfondir notre compréhension des applications des systèmes d’inéquations en traduisant chaque condition par une inégalité. Pour le premier exemple, nous déterminerons le système d’inéquations pour un étudiant qui passe un test.
Exemple 3: Déterminer le système d’inéquations qui décrit une situation donnée
Un enseignant donne à ses élèves 100 minutes pour réaliser un test qui possède deux sections : section A et section B. Les élèves devaient répondre à au moins 4 questions de la section A et au moins 6 questions de la section B et répondre à au moins 11 questions au total. Si une fille a répondu à chaque question en 3 minutes dans la section A et chaque question en 6 minutes dans la section B, déduisez le système d’inéquations qui aiderait à savoir combien de questions elle a essayé de résoudre dans chaque section. Utilisez pour représenter le nombre de réponses dans la section A et pour représenter le nombre de réponses dans la section B.
Réponse
Dans cet exemple, nous exposerons les systèmes d’inéquations qui satisfont aux conditions pour que l’étudiante sache combien de questions elle a essayé de résoudre dans un test particulier.
Comme et sont les nombres de réponses à la section A et à la section B et les étudiants devaient respectivement répondre à au moins 4 et 6, on a
Comme ils devaient également répondre à au moins 11 questions au total, ce qui correspond à la somme des nombres de réponses dans la section A, , et du nombre de réponses dans la section B, , on a
Étant donné que la fille a répondu à chaque question de la section A en 3 minutes et à chaque question de la section B en 6 minutes, le nombre total de minutes pour la section A et B serait respectivement et . La somme de ceux-ci doit être au plus 100 minutes, qui est le temps maximum imparti pour réaliser le test ; ainsi, nous avons
En résumé, le système d’inéquations vérifiant chaque condition pour la situation donnée est
Dans l’exemple suivant, nous exposerons le système d’inéquations pour une personne qui achète deux types de bougies.
Exemple 4: Déterminer le système d’inéquations qui décrit une situation donnée
Victor va au magasin pour acheter des bougies. Les petites bougies coûtent 3 $ et les grandes bougies coûtent 5 $. Il doit acheter au moins 20 bougies, et il ne peut pas dépenser plus que 80 $. Écrivez un système d’inéquations linéaires qui représente la situation en utilisant pour représenter le nombre de petites bougies et pour représenter le nombre de grandes bougies.
Réponse
Dans cet exemple, nous exposerons les systèmes d’inéquations qui satisfont aux conditions de Victor qui veut acheter deux types de bougies, petites et grandes.
Comme et sont respectivement les nombres de petites et de grandes bougies et que ceux-ci ne doivent pas être négatifs, nous avons
Comme Victor doit acheter au moins 20 bougies, la somme des nombres de petites et de grandes bougies, et , doit être supérieure ou égale à 20, et nous avons la condition
Comme les petites bougies coûtent 3 $ et les grandes coûtent 5 $, le total pour chacune sera respectivement et . La somme de cela correspondra au coût total des bougies, qui ne peut être supérieure à 80 ; ainsi,
En résumé, le système d’inéquations pour chaque condition pour la situation donnée est
Maintenant, considérons un exemple où nous déterminons le système d’inéquations pour une usine d’aliments pour bébés qui produit deux types d’aliments pour bébés.
Exemple 5: Déterminer le système d’inéquations qui décrit une situation donnée
Une usine d’aliments pour bébés produit deux types d’aliments pour bébés. Le premier type contient 2 unités de vitamine (A) et 3 unités de vitamine (B) par gramme. Le deuxième type contient 3 unités de vitamine (A) et 2 unités de vitamine (B) par gramme. Si un bébé a besoin d’au moins 100 unités de vitamine (A) et 120 unités de vitamine (B) par jour, écrivez le système d’inéquations qui décrit ce que le bébé doit manger chaque jour pour répondre à ces exigences. Utilisez pour représenter la masse du premier type d’aliment pour bébé (en grammes) et pour représenter la masse du deuxième type d’aliment pour bébé (en grammes).
Réponse
Dans cet exemple, nous exposerons les systèmes d’inéquations qui satisfont aux conditions de quantité qu’un bébé doit manger chaque jour pour satisfaire aux exigences en matière de vitamine (A) et de vitamine (B).
Comme et sont respectivement les masses des premier et deuxième types d’aliments pour bébés (en grammes) et que ceux-ci ne doivent pas être négatifs, nous avons
Étant donné que le premier type contient 2 unités de vitamine (A) et le deuxième type contient 3 unités de vitamine (A) par gramme, le nombre total de vitamine (A) pour chaque type est respectivement et . La somme de celles-ci doit être d’au moins 100 unités, car le bébé a besoin d’au moins cela d’unités, et donc
De même, le premier type contient 3 unités de vitamine (B) et le deuxième type contient 2 unités de vitamine (B) par gramme, et le nombre total d’unités de vitamine (B) pour chaque type est respectivement et . La somme de celles-ci doit être d’au moins 120 unités, et donc
En résumé, le système d’inéquations pour chaque condition pour la situation donnée est
Enfin, considérons un exemple où nous déterminons le système d’inéquations pour un fabricant de confiseries qui fournit un assortiment de différents types de cookies à une certaine boulangerie.
Exemple 6: Déterminer le système d’inéquations qui décrit une situation donnée
Un fabricant de confiseries a 30 kg de biscuits au chocolat et 60 kg de biscuits à la vanille. Les ventes se feront selon deux assortiments différents. Le premier assortiment sera constitué d’un quart de biscuits au chocolat et de trois quarts de biscuits à la vanille par unité de masse, tandis que le second assortiment sera composé de moitié de biscuits au chocolat et de moitié de biscuits à la vanille par unité de masse. Il y a un contrat exigeant qu’au moins 20 kg du second assortiment doivent être livrés à une certaine boulangerie.
Lequel des systèmes d’inéquations suivants permet de calculer le nombre de kilogrammes des premier et second assortiments qui seront vendus ?
Soit le nombre de kilogrammes du premier assortiment et le nombre de kilogrammes du second assortiment.
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Réponse
Dans cet exemple, nous exposerons les systèmes d’inéquations qui satisfont aux conditions du nombre de kilogrammes des deux types de cookies à vendre.
Comme et sont respectivement les nombres de kilogrammes dans le premier et le second assortiment et que ceux-ci ne doivent pas être négatifs, et que le contrat exige au moins 20 kg du second assortiment, on a
Comme le premier assortiment nécessite que le quart de la masse provienne de biscuits au chocolat et que le second assortiment exige que la moitié du masse provienne de biscuits au chocolat, la masse totale des biscuits au chocolat pour chaque assortiment est respectivement et . La somme de ceci n’est pas supérieure à 30 kg, la masse maximale des cookies au chocolat, ce qui nous donne
On peut aussi multiplier cela par 4 pour l’écrire comme
De même, comme le premier assortiment nécessite que les trois quarts de la masse soient des cookies à la vanille et que le second assortiment nécessite que la moitié de la masse soit des cookies à la vanille, la quantité totale de cookies à la vanille pour chaque assortiment est respectivement et . La somme de ceci ne doit pas être supérieure à 60 kg, la masse maximale des cookies à la vanille ; ainsi, nous avons
On peut aussi multiplier cela par 4 pour l’écrire comme
En résumé, le système d’inéquations vérifiant chaque condition pour la situation donnée est
C’est l’option A.
Points Clés
- Dans une situation donnée, afin d’énoncer le système d’inéquations, nous devons étiqueter chacune des quantités ou .
- Si les quantités, et , sont des valeurs qui ne peuvent jamais être négatives, telles que la longueur ou la largeur, alors nous devrions toujours commencer par
- On peut nous donner d’autres contraintes pour les quantités et , telle qu’une valeur minimale et/ou maximale pour chaque valeur.
- Des inégalités linéaires supplémentaires de cette forme peuvent être traduites à partir des contraintes données pour l’ensemble des combinaisons des quantités, en tenant compte de la pondération de chaque quantité, tels que le prix de chaque quantité et la dépense maximale.
