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Fiche explicative de la leçon : Interprétation des représentations graphiques des dérivées Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comme associer une fonction aux représentations graphiques de ses dérivées première et seconde.

Les dérivées d’une fonction nous donnent différentes techniques pour décrire diverses propriétés d’une courbe. Par exemple, la pente d’une courbe est donnée par sa dérivée première et sa concavité est donnée par sa dérivée seconde.

Nous savons que les extrema locaux d’une fonction dérivable 𝑓 se produisent en les points d’annulation de sa dérivée. On peut le voir sur la courbe, où les points stationnaires de 𝑦=𝑓(𝑥) ont les mêmes coordonnées en 𝑥 que les coordonnées en 𝑥 des points d’intersection entre la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥) et l’axe des abscisses.

Ce ne sont pas les seules informations que nous pouvons lire sur la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥). On sait aussi que la fonction 𝑓(𝑥) est croissante lorsque sa dérivée est positive et décroissante lorsque sa dérivée est négative. Nous pouvons également lire ces informations sur les représentations graphiques de ces fonctions.

Cela signifie que nous pouvons analyser la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥) et en déduire des informations sur la fonction 𝑓. Quand la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥) intersecte l’axe des 𝑥, la fonction 𝑓 doit avoir un point stationnaire. En d’autres termes, la tangente à 𝑓(𝑥) en ce point est une droite horizontale. Cela peut être un extremum local ou un point d’inflexion.

Nous savons que lorsque 𝑓(𝑥) est au-dessus de l’axe des 𝑥, la fonction 𝑓 est croissante. De même, lorsque 𝑓(𝑥) est sous l’axe des 𝑥, la fonction 𝑓 est décroissante.

On peut aussi étudier la dérivée seconde. Rappelons que la dérivée seconde d’une fonction nous donne la concavité de la courbe.

Définition : Concavité d’une fonction

  • On dit qu’une fonction 𝑓(𝑥) est convexe sur un intervalle 𝐼 si, sur cet intervalle, son graphe est au-dessus de toutes ses tangentes. De manière équivalente, 𝑓(𝑥) est croissante sur 𝐼.
  • On dit 𝑓(𝑥) est concave sur un intervalle 𝐼 si, sur cet intervalle, son graphe est en-dessous de toutes ses tangentes. De manière équivalente, 𝑓(𝑥) est décroissante sur 𝐼.

Si la fonction 𝑓 est deux fois dérivable sur un intervalle, alors on peut, de façon équivalente, déterminer sa concavité en étudiant le signe de sa dérivée seconde sur cet intervalle.

Définition : Concavité d’une fonction deux fois dérivable

Pour une fonction deux fois dérivable 𝑓,

  • si 𝑓(𝑥)>0 sur un intervalle 𝐼, alors 𝑓 est convexe sur cet intervalle;
  • si 𝑓(𝑥)<0 sur un intervalle 𝐼, alors 𝑓 est concave sur cet intervalle.

La concavité d’une courbe peut changer aux points 𝑥 d’annulation de la dérivée seconde (ou d’indéfinition);on appelle ces points des points d’inflexion. Nous pouvons également lire ces informations graphiquement.

Commençons par la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥).

Lorsque la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥) est au-dessus de l’axe des 𝑥, la dérivée seconde est strictement positive, et la fonction 𝑓 est donc convexe. De même, lorsque la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥) est en dessous de l’axe des 𝑥, la dérivée seconde est strictement négative, et la fonction 𝑓 est donc concave.

Lorsque la dérivée seconde de la fonction change de signe, la fonction 𝑓 a un point d’inflexion et sa courbe, jusqu’alors sous ses tangentes, passe au-dessus de ses tangentes.

Ainsi, on peut utiliser les courbes d’équations 𝑦=𝑓(𝑥) et 𝑦=𝑓(𝑥) pour déduire des informations sur la fonction 𝑓. Voyons un exemple impliquant la fonction dérivée.

Exemple 1: Monotonie d’une fonction à partir du graphe de sa dérivée

La courbe représentative de la dérivée 𝑓 d’une fonction 𝑓 est donné sur la figure ci-dessous. Sur quels intervalles la fonction 𝑓 est-elle croissante ou décroissante?

Réponse

Dans cette question, on nous donne la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥) et on doit déterminer les intervalles sur lesquels 𝑓(𝑥) est croissante. D’habitude, on s’aide de la courbe d’équation 𝑓(𝑥) pour voir sur quels intervalles la courbe est de pente positive et déterminer où la fonction est croissante et sur quels intervalles la pente est négative pour déterminer où la fonction est décroissante. Pour répondre à cette question, nous devons nous rappeler la pente de 𝑓(𝑥) est donnée par 𝑓(𝑥).

Cela signifie que nous pouvons également lire ces informations sur la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥). La dérivée, 𝑓(𝑥) est positive lorsque la courbe est au-dessus de l’axe des 𝑥, et est négative lorsque la courbe est sous l’axe des 𝑥.

Lorsque 𝑥]1;5[, on a 𝑓(𝑥)>0, donc la pente de la courbe représentative de 𝑓(𝑥) est positive. Cela signifie que, pour 𝑥 dans cet intervalle, la fonction 𝑓 est croissante.

De même, lorsque 𝑥]0;1[ ou 𝑥]5;6[, on a 𝑓(𝑥)<0, donc la pente de la courbe représentative de 𝑓(𝑥) est négative pour ces valeurs de 𝑥, ce qui signifie que 𝑓 est décroissante sur ces intervalles.

Par conséquent, nous avons pu montrer que 𝑓 est croissante sur l’intervalle ]1;5[ et est décroissante sur les intervalles ]0;1[ et ]5;6[.

Il convient de noter que 𝑓(1)=0 et 𝑓(5)=0. Étant donné que ces valeurs de 𝑥 sont les bornes des intervalles sur lesquels la fonction est monotone, nous pourrions techniquement inclure ces valeurs dans notre réponse.

De fait, dans la littérature, la convention qui consiste à toujours inclure les points de dérivée nulle dans les intervalles sur lesquels celle-ci est monotone existe. C’est une préférence personnelle d’inclure ou non les bornes de dérivée nulle dans les intervalles où la fonction est monotone;nous choisirons d’exclure ces points. En outre, puisque notre fonction n’est dérivable ni lorsque 𝑥0 ni lorsque 𝑥6, nous pouvons simplement supposer qu’elle n’est ni croissante ni décroissante pour ces valeurs.

Bien sûr, la dérivée n’est pas seulement utilisée pour déterminer sur quels intervalles une fonction est croissante ou décroissante. On peut également utiliser la dérivée seconde d’une fonction pour déterminer sa concavité. Voyons maintenant sur un exemple comment utiliser le graphe de fonction dérivée pour déterminer les points d’inflexion de la fonction.

Exemple 2: Calcul des points d’inflexion d’une fonction à partir du graphe de sa dérivée

Le graphe de la dérivée première 𝑓 d’une fonction continue 𝑓 est illustré ci-dessous. Donnez les coordonnées en 𝑥 des points d’inflexion de la fonction 𝑓.

Réponse

Dans cette question, nous sommes chargés de déterminer les points d’inflexion de la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥) et pour ce faire, on nous donne la courbe représentative de la fonction dérivée 𝑦=𝑓(𝑥). Nous devons d’abord rappeler que les points d’inflexion sont ceux où la courbe change de concavité, ou, en d’autres termes, où 𝑓(𝑥) change de signe. Il y a plusieurs façons différentes de procéder à partir de la figure donnée. Le plus simple est de réfléchir à la relation entre 𝑓(𝑥) et 𝑓(𝑥). Nous savons que 𝑓(𝑥) est la dérivée de 𝑓(𝑥);en d’autres termes, 𝑓(𝑥) est la pente de la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥).

On peut alors poser la question suivante:que se passe-t-il lorsque 𝑓(𝑥) change de signe?Quand 𝑓(𝑥) est positive, la pente de la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥) est positive, et la dérivée est donc croissante. De même, lorsque 𝑓(𝑥) est négative, la pente de la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥) est négative.

Ainsi, nous cherchons les points sur notre graphique où la courbe cesse d’être croissante pour devenir décroissante, et vice-versa.

Nous pouvons marquer ces points sur la figure;on peut voir que 𝑓(𝑥) est croissante pour les valeurs suivantes de 𝑥:𝑥<2,3<𝑥<5,𝑥>7.

De même, on peut voir que 𝑓(𝑥) est décroissante pour les valeurs suivantes de 𝑥:2<𝑥<3,5<𝑥<7.

Cela signifie que la fonction 𝑓(𝑥) cesse de croitre et commence à décroitre aux points 𝑥=2 et 𝑥=4 et cesse de décroitre et commence à croitre aux points 𝑥=3 et 𝑥=7.

Par conséquent, 𝑓 a des points d’inflexion en 𝑥=2, 𝑥=3, 𝑥=5 et 𝑥=7.

Nous avons également vu comment déterminer si des extrema locaux sont des minima ou des maxima grâce à la fonction dérivée. Par exemple, considérons le graphique suivant.

Nous pouvons marquer les extrema locaux comme indiqué sur la figure, et nous pouvons déterminer leurs types en étudiant la pente autour de ces points.

Au maximum local d’une fonction dérivable, la pente passe d’une valeur positive à une valeur négative. Au minimum local d’une fonction dérivable, la pente passe d’une valeur négative à une valeur positive. Cela nous donne une méthode pour vérifier le type d’un extremum lorsque nous connaissons la fonction dérivée 𝑓(𝑥). Cependant, on peut utiliser exactement le même raisonnement si on nous donne à la place la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥). Voyons cela sur un exemple.

Exemple 3: Calcul des coordonnées des minima et maxima locaux d’une fonction étant donné le graphe de sa première dérivée

La courbe représentative de la dérivée 𝑓 d’une fonction 𝑓 est illustrée ci-dessous. En quels points 𝑥 la fonction 𝑓 atteint-elle un minimum ou un maximum local?

Réponse

Dans cette question, on nous donne la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥) et on nous demande de déterminer tous les points 𝑥, où la fonction 𝑓(𝑥) a un extremum local. Pour ce faire, rappelons que les extrema locaux se produisent aux points critiques de la fonction, c’est-à-dire aux points d’annulation ou d’indéfinition de la fonction dérivée. Dans notre cas, nous pouvons voir que 𝑓(𝑥)=0, lorsque sa courbe intersecte l’axe des 𝑥.

Ainsi, la fonction 𝑓(𝑥) a deux points critiques, un en 𝑥=1 et l’autre en 𝑥=5.

Cependant, nous n’avons pas fini. Nous devons encore vérifier à quel type de point nous avons à faire. Étant donné que nous disposons de la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥), nous le ferons en utilisant la dérivée première.

On rappelle que 𝑓(𝑥) est égal à la pente de la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥). Ainsi, quand 𝑓(𝑥) est positif (respectivement négative), la pente du graphe de 𝑓(𝑥) est positive (respectivement négative).

D’après la figure, on peut dire que

  • quand 𝑥<1, la courbe de 𝑓(𝑥) a une pente négative;
  • quand 1<𝑥<5, la courbe de 𝑓(𝑥) a une pente positive.

D’après le comportement de la pente autour du point 𝑥=1, ce dernier doit être un minimum local de la fonction.

De même,

  • quand 1<𝑥<5, la courbe 𝑓(𝑥) a une pente positive;
  • quand 𝑥>5, 𝑓(𝑥) a une pente négative.

D’après le comportement de la pente autour du point 𝑥=5, ce dernier doit être un minimum local de la fonction 𝑓(𝑥).

En regardant le comportement de la courbe représentative de la dérivée sur la figure, on peut voir que 𝑓 a un maximum local au point 𝑥=5 et un minimum local au point 𝑥=1.

Jusqu’à présent, dans tous nos exemples, on nous a donné la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥). Mais on peut également déduire beaucoup d’informations à partir du graphe de la dérivée seconde. Illustrons cela sur un exemple.

Exemple 4: Calcul des abscisses des points d’inflexion d’une fonction à partir du graphe de sa dérivée seconde

À partir du graphe de 𝑓 pour trouver les coordonnées en 𝑥 des points d’inflexion de la fonction 𝑓.

Réponse

On veut trouver les points d’inflexion de la fonction 𝑓(𝑥). On rappelle qu’il s’agit des points où 𝑓(𝑥) est continue et change de concavité, que ce soit de concave à convexe ou de convexe à concave.

Nous savons que tous les points d’inflexion se produisent lorsque 𝑓(𝑥)=0 ou lorsque la dérivée seconde n’est pas définie. Ainsi, nous pouvons voir sur notre figure que cela ne peut se produire qu’aux points 𝑥=1, 𝑥=4 ou 𝑥=7.

Cependant, nous avons seulement montré que notre courbe peut avoir des points d’inflexion à ces valeurs de 𝑥. Nous devons encore vérifier qu’il s’agit bien de points d’inflexion. Pour ce faire, nous devons vérifier si notre courbe change de concavité à ces valeurs de 𝑥.

On dit qu’une courbe est convexe lorsque sa dérivée seconde est positive et concave lorsque sa deuxième dérivée est négative. Puisque l’on a la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥), nous pouvons voir quand la dérivée seconde est de signe positif ou négatif en regardant où la courbe est au-dessus ou en-dessous de l’axe des 𝑥.

Nous pouvons maintenant voir qu’au point 𝑥=1, la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥) change de concavité, pour passer de concave à convexe. De même, au point 𝑥=7 , la courbe 𝑦=𝑓(𝑥) change de concavité, et passe de convexe à concave. Ainsi, ces deux points sont des points d’inflexion de la courbe. Cependant, nous pouvons voir que la concavité ne change pas de concave à convexe ou vice-versa au point 𝑥=4, ce dernier n’est donc pas un point d’inflexion.

Par conséquent, nous avons montré que la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥) a deux points d’inflexion, un au point 𝑥=1 et un autre au point 𝑥=7.

Voyons maintenant un exemple où nous voulons déterminer les intervalles où la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥) est concave ou convexe seulement à l’aide du graphe de sa dérivée première.

Exemple 5: Détermination de la concavité d’une fonction à partir du graphe de sa dérivée

Le graphe de la dérivée première 𝑓 d’une fonction 𝑓 est donné sur la figure ci-dessous. Sur quels intervalles la fonction 𝑓 est-elle concave ou convexe?

Réponse

Nous voulons déterminer les intervalles sur lesquels la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥) est concave ou convexe;cependant, on ne dispose pas de la courbe représentative de la fonction, seulement de celle de sa dérivée première. Ainsi, pour répondre à cette question, nous devrons commencer par rappeler la relation entre la dérivée d’une fonction et sa concavité.

Rappelons tout d’abord que l’on dit d’une fonction qu’elle est convexe lorsque sa dérivée seconde est positive, et concave lorsque sa dérivée seconde est négative.

Cela signifie que nous devons déterminer le signe de la dérivée seconde à partir du graphe de la dérivée première. Pour ce faire, nous devons nous rappeler que si nous différencions la dérivée première, nous obtenons la dérivée seconde;en d’autres termes, 𝑓(𝑥) est la pente de la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥).

Par conséquent, lorsque la pente de 𝑦=𝑓(𝑥) est positive, la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥) est convexe, et lorsque la pente de 𝑦=𝑓(𝑥) est négative, la courbe d’équation 𝑦=𝑓(𝑥) est concave.

Nous pouvons marquer sur la figure les intervalles sur lesquels la pente de la courbe est de signe constant. D’après la figure, 𝑓 est convexe sur les intervalles ]0;1[, ]2;3[ et ]5;7[ et convexe sur les intervalles ]1;2[, ]3;5[ et ]7;9[.

Finissons en récapitulant certains des points principaux que nous avons vus.

Points clés

  • On peut utiliser la courbe représentative de 𝑓(𝑥) pour déterminer les intervalles sur lesquels 𝑓est monotone.
  • On peut utiliser la courbe représentative de 𝑓(𝑥) pour trouver les extrema locaux de 𝑓 et déterminer si ce sont des maxima ou des minima.
  • On peut utiliser, au choix, la courbe représentative de 𝑓(𝑥) ou de 𝑓(𝑥) pour déterminer les intervalles sur lesquels 𝑓 est concave ou convexe.
  • On peut utiliser, au choix, la courbe représentative de 𝑓(𝑥) ou de 𝑓(𝑥) pour trouver les points d’inflexion de 𝑓.

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