Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à convertir la mesure des angles donnés en degrés, minutes et secondes en degrés uniquement et vice-versa.
Les angles sont formés par deux demi-droites qui ont la même origine, on appelle ce point le sommet de l’angle. Les deux demi-droites sont appelées les côtés de l’angle. La mesure de l’angle est une mesure de l’écartement entre les deux côtés de l’angle.
On peut mesurer un angle en mentionnant la rotation qui amène un côté de l’angle sur l’autre côté. Nous avons alors des mesures d’angle qui correspondent par exemple à un quart de tour ou à un demi-tour.
Lorsque nous utilisons les degrés pour mesurer des angles, un tour complet correspond à un angle de , un quart de tour correspond alors à un angle de , un demi-tour correspond à un angle de et ainsi de suite.
La mesure d’un angle n’est pas nécessairement un nombre entier de degrés. On peut bien sûr utiliser un nombre décimal pour exprimer la mesure de l’angle en degrés. On peut également utiliser deux sous-unités du degrés : les minutes et les secondes. Remarquez l’analogie avec les unités de temps des minutes et des secondes !
Définition : Minutes et secondes
Un degré ( ) est constitué de 60 minutes ( ) et une minute est constituée de 60 secondes ( ) :
Avant de voir plus en détail comment convertir des degrés en degrés, minutes et secondes, étudions deux exemples de conversion avec une calculatrice scientifique.
Exemple 1: Convertir un angle exprimé en degrés en degrés, minutes et secondes à l’aide d’une calculatrice
En utilisant une calculatrice, exprimez en degrés, minutes et secondes.
Réponse
Pour convertir en degrés, minutes et secondes, nous devons entrer 18,15 dans la calculatrice. Les étapes suivantes dépendent de la calculatrice utilisée. Il faut souvent utiliser la touche : soit juste après avoir entré 18,15 puis en appuyant sur , soit en appuyant d’abord sur , puis , puis . La calculatrice affiche ensuite
Donc, , qui se lit « 18 degrés, 9 minutes et 0 seconde ».
Étudions maintenant une conversion de degrés, minutes et secondes en degrés en utilisant une calculatrice.
Exemple 2: Convertir un angle exprimé en degrés, minutes et secondes en degrés en utilisant une calculatrice
En utilisant une calculatrice, exprimez en degrés.
Réponse
Nous devons entrer dans une calculatrice. Cela dépend de la calculatrice que nous utilisons. Il faut souvent appuyer sur la touche après le nombre des degrés, le nombre des minutes et le nombre des secondes, suivi de puis de :
On obtient
Donc, .
Utilisons maintenant notre compréhension de la définition des minutes et des secondes pour effectuer ces conversions à la main.
Nous pouvons illustrer le fait que 1 degré est égal à 60 minutes avec une double droite numérique :
Ainsi, si on considère par exemple 36 minutes, cela représente de 1 degré, soit . On trouve la partie décimale du nombre en degré en divisant le nombre des minutes par 60.
La même relation existe entre les minutes et les secondes, et nous pouvons illustrer la relation entre les degrés, les minutes et les secondes avec une triple droite numérique :
Comment : Convertir des minutes et des secondes en degrés
Pour convertir des minutes en degrés, on divise le nombre de minutes par 60 : .
Pour convertir des secondes en degrés , on divise le nombre de secondes par 3 600 : .
Utilisons cela pour convertir un angle exprimé en degrés, minutes et secondes en degrés.
Exemple 3: Comprendre comment convertir un angle exprimé en degrés, minutes et secondes en degrés sans utiliser de calculatrice
Hector essaie de convertir en degrés sans utiliser de calculatrice. Il commence par convertir les minutes en degrés en divisant 47 par 60, puis il convertit les secondes en minutes en divisant 35 par 60. Enfin, il additionne chaque partie exprimée en degré pour obtenir sa réponse. Sa réponse est .
- Sa méthode est-elle correcte ?
- oui
- non
- Si vous pensez que sa méthode est incorrecte, parmi les suivantes, laquelle est correcte ?
- Il doit diviser les 35 secondes par le produit de 60 par 60 (3 600) pour les convertir en degrés. Sa réponse sera alors .
- Il doit ajouter tous les degrés, minutes et secondes sans diviser les minutes ou les secondes par 60. Sa réponse sera ainsi .
- Je pense que cette méthode est correcte.
Réponse
Partie 1
Nous étudions dans cette question la mesure d’un angle de . On rappelle que et que . Par conséquent, représente de 1 degré et Hector a raison de convertir les minutes en degrés en divisant 47 par 60.
Cependant, Hector utilise le même raisonnement pour convertir les secondes en minutes, c’est-à-dire en divisant 35 par 60. Comme , diviser par 60 donne le nombre de minutes et non le nombre de degrés. Par conséquent, la méthode de Hector est incorrecte (réponse B).
Partie 2
Comme le montre la figure suivante, et , donc . On doit diviser par pour convertir en degrés.
On trouve
Par conséquent,
La réponse A est la bonne réponse.
Exemple 4: Convertir un angle exprimé en degrés, minutes et secondes en degrés sans utiliser de calculatrice
Sans utiliser de calculatrice, exprimez en degrés.
Réponse
Nous étudions ici l’angle de mesure . Comme , représente de ( ), soit un demi degré, donc .
Comme , on convertit les secondes en minutes en les divisant par 60. Si on les divise à nouveau par 60, on convertit ces minutes en degrés. Par conséquent, on a
On obtient enfin
Nous trouvons que .
Si nous avons maintenant un angle mesuré en degrés, nous pouvons convertir cette mesure en degrés, minutes et secondes en utilisant l’équivalence .
Prenons, par exemple, . Cela représente plus un quart de degré. Comme un degré est égal à , un quart de degré est égal à . Par conséquent, .
La partie décimale de 2,25, 0,25, nous donne la partie décimale exprimée en degré en plus des 2 unités de degrés. Dans ce cas, nous avons reconnu facilement que , mais on peut exprimer toute partie décimale sous la forme d’une fraction. Par exemple, . Calculer de nous permet de convertir en minutes :
Nous voyons que ne correspond pas à un nombre entier de minutes. Nous pouvons maintenant convertir en secondes exactement de la même manière que nous avons converti les degrés en minutes :
Nous trouvons que
Comment : Convertir des degrés en minutes et secondes
- La partie entière de la mesure d’un angle en degrés est le nombre de degrés.
- Multiplier la partie décimale par 60 donne le nombre de minutes.
- Si ce nombre de minutes a une partie décimale, alors multiplier cette nouvelle partie décimale par 60 donne le nombre de secondes.
Utilisons cette méthode dans un dernier exemple.
Exemple 5: Convertir un angle exprimé en degrés en degrés, minutes et secondes sans utiliser de calculatrice
Sans utiliser de calculatrice, exprimez en degrés, minutes et secondes.
Réponse
Nous étudions ici la mesure d’un angle de .
Sa partie entière est .
Et sa partie décimale est ; en la multipliant par 60, on trouve le nombre de minutes :
Comme est un nombre entier, il y a zéro secondes.
Par conséquent,
Résumons ce que nous avons appris dans cette fiche explicative.
Points clés
- Un degré ( ) est constitué de 60 minutes ( ) et une minute est constituée de 60 secondes ( ) : ; .
- Pour convertir des minutes en degrés, on divise le nombre de minutes par 60 : .
- Pour convertir des secondes en degrés, on divise le nombre de secondes par 3 600 : .
- Pour convertir des degrés en minutes et secondes,
- la partie entière en degrés est égale au nombre de degrés ;
- on multiplie la partie décimale par 60 ce qui donne le nombre de minutes ;
- si ce nombre de minutes a une partie décimale, alors on multiplie cette nouvelle partie décimale par 60 ce qui donne le nombre de secondes.
