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Fiche explicative de la leçon : Calcul de la masse volumique Physique

Dans cette fiche explicative, nous apprendrons à utiliser la formule 𝜌=𝑀𝑉 pour calculer les masse volumiques de différents matériaux et objets.

La masse volumique est une propriété des matériaux et des objets qui mesure la quantité de masse dans un espace donné.

Imaginez deux sphères de même taille:l’une est en fer et l’autre est en polystyrène. Intuitivement, nous savons que la sphère de fer sera beaucoup plus lourde que la sphère de polystyrène.

La sphère de fer aura une plus grande masse même si elle est de même taille, alors nous pouvons dire qu’elle a une plus grande masse volumique.

C’est pourquoi, par exemple, une boule de fer coulera dans une piscine d’eau mais une boule de polystyrène flottera.

Même si les deux sphères sont de même taille, la boule de fer a une plus grande masse volumique que l’eau, donc elle coule. Cependant, la sphère de polystyrène a une masse volumique beaucoup plus faible que l’eau, donc elle flottera.

Ce sera le cas quelle que soit la taille des sphères. C’est la masse volumique qui détermine si elles flottent, et non la taille. Donc, si nous avions une très grande sphère en polystyrène, elle flotterait toujours dans l’eau. Si nous avions une très petite boule de fer, elle coulerait toujours.

La masse volumique d’un objet est généralement indiquée par la lettre grecque 𝜌 (qui a pour nom « rho »). Cette lettre ressemble à la lettre de l’alphabet français 𝑝, mais si vous regardez de plus près, vous pouvez voir qu’elle est légèrement différente.

Algébriquement, on définit la masse volumique d’un objet, 𝜌,comme étant la masse de l’objet, 𝑀,divisé par son volume, 𝑉. Sous forme d’équation, cela ressemble à 𝜌=𝑀𝑉.

Définition : La masse volumique

La masse volumique est une mesure de la masse par unité de volume d’un objet. La formule mathématique pour la masse volumique d’un objet, qui est notée 𝜌, est 𝜌=𝑀𝑉,𝑀 est la masse de l’objet et 𝑉 est le volume de l’objet.

Tout objet composé purement d’un seul matériau aura la même masse volumique que tout autre objet composé purement du même matériau. Par exemple, un bloc de fer qui a un volume de 1 m3 a la même masse volumique qu’un bloc de fer avec un volume de 100 m3. Les masses et les volumes des deux blocs sont très différents, mais les masse volumiques des blocs sont les mêmes.

Cela est dû au fait que la masse volumique du bloc est le rapport de la masse du bloc au volume du bloc. À mesure que le volume augmente, la masse augmente aussi, mais le rapport de ces deux quantités - la masse volumique - reste le même.

Cependant, certains objets sont composés de plus d’un matériaux. Si chacun de ces matériaux a une masse volumique différente, alors la masse volumique de l’objet dans son ensemble sera différente dans différentes parties de l’objet.

Par exemple, imaginez une sphère composée en partie de polystyrène et en partie de fer. Une section transversale de cette sphère est illustrée sur le schéma ci-dessous. La masse volumique dans la partie de la sphère faite de polystyrène est très inférieure à la masse volumique de la partie de la sphère faite de fer.

Si 𝑀 est la masse de toute la sphère et 𝑉 est le volume de toute la sphère, alors 𝜌=𝑀𝑉 donnera la masse volumique moyenne de la sphère. Cette masse volumique aura une valeur qui se trouve entre la masse volumique du polystyrène et celle du fer.

Il est important de se rappeler cette différence. Pour un matériau spécifique, la masse volumique est une propriété qui peut être citée, et tout objet formé uniquement de ce matériau aura cette masse volumique.

Cependant, la masse volumique d’un objet constitué de plusieurs matériaux est spécifique à cet objet. On peut utiliser 𝜌=𝑀𝑉, 𝑀 est la masse de l’objet dans son ensemble et 𝑉 est le volume de l’objet dans son ensemble, pour déterminer la masse volumique moyenne de l’objet dans son ensemble.

Exemple 1: Déterminer la masse volumique d’un objet en fonction de sa masse et de son volume

Un cube a une masse de 30 kg. Si le volume du cube est de 0,02 m3, quelle est sa masse volumique?

Réponse

La masse volumique d’un objet est donnée par 𝜌=𝑀𝑉, 𝑀 est la masse de l’objet et 𝑉 est le volume de l’objet.

Dans cette question, on nous dit que la masse d’un cube est de 𝑀=30kg et son volume est de 𝑉=0,02m.

Nous devons remplacer les valeurs que nous connaissons pour la masse et le volume du cube dans l’équation de la masse volumique. Cela nous donne:𝜌=𝑀𝑉=300,02.kgm

Décomposons cette fraction entre la partie numérique et la partie des unités. On peut calculer la partie numérique comme étant 300,02=1500. Les unités de la fraction peuvent simplement être laissées comme étant des kilogrammes par mètre cube.

En conséquence, notre réponse finale est:𝜌=1500.kgm

Si nous avons besoin de calculer la masse volumique d’un cube, nous pouvons le faire si nous connaissons la masse du cube et la longueur de l’une de ses arrêtes.

Rappelez-vous que le volume d’un cube dont l’arrête a une longueur de 𝑙 est donnée par:𝑉=𝑙.

Voyons quelques exemples de l’utilisation de la formule de la masse volumique.

Exemple 2: Déterminer la masse volumique d’un objet en fonction de sa masse et de ses dimensions

Un petit cube de fer a des arrêtes de longueur 0,15 m. Si la masse du cube est de 26,6 kg, quelle est sa masse volumique?Donnez votre réponse au kilogramme par mètre cube près.

Réponse

Dans cette exemple, on nous donne la masse, 𝑀=26,6kg, d’un cube de fer ainsi que sa longueur d’arrête, 𝑙=0,15m.

Avec ces données, on nous demande de déterminer la masse volumique 𝜌 du cube. Rappelez-vous que la formule pour la masse volumique est:𝜌=𝑀𝑉.

Nous connaissons la masse du cube, mais nous ne connaissons pas son volume. Nous pouvons calculer le volume en utilisant la formule pour le volume d’un cube, qui est 𝑉=𝑙. Donc, nous avons ici 𝑉=(15)=0,15=0,003375.mmm

Nous en sommes maintenant à un stade où nous pouvons calculer la masse volumique du cube de fer. Nous devons remplacer la masse 𝑀=26,6kg et le volume 𝑉=0,003375m dans notre équation de masse volumique. Cela donne:𝜌=𝑀𝑉=26,60,003375.kgm

Nous pouvons maintenant simplifier ce résultat en calculant d’abord la valeur numérique comme étant 26,60,003375=7881,48148. On peut laisser des unités telles quelles, ce qui donne kilogrammes par mètre cube. Cela signifie 𝜌=7881,48148.kgm

La question nous demande de donner notre réponse au kilogramme par mètre cube près, ce qui signifie que notre réponse finale est 𝜌=7881.kgm

Exemple 3: Déterminer le volume d’un objet en fonction de sa masse et de sa masse volumique

Déterminez le volume d’un bloc d’aluminium de 54 kg. Utilisez une valeur de 2‎ ‎700 kg/m3 pour la masse volumique de l’aluminium.

Réponse

Dans cet exemple, on nous donne la masse volumique d’un bloc d’aluminium et on nous demande de déterminer son volume. On nous dit que le bloc a une masse, que nous appellerons 𝑀, de 54 kg. On nous dit aussi que la masse volumique de l’aluminium, le matériau dont est composé le bloc, est 𝜌=2700/kgm.

Nous pouvons réécrire notre formule pour la masse volumique, 𝜌=𝑀𝑉, et nous en servir pour calculer le volume de ce bloc. Si l’on multiplie les deux côtés de l’équation de masse volumique par le volume 𝑉 nous obtenons:𝑉𝜌=𝑀.

On peut alors diviser les deux côtés de l’équation par la masse volumique 𝜌, ce qui nous donne 𝑉=𝑀𝜌.

Nous devons maintenant remplacer les valeurs que nous connaissons pour 𝑀 et 𝜌 dans cette équation. Cela nous donne 𝑉=542700.kgkgm

Décomposons cette fraction en sa partie numérique et ses unités. Nous pouvons calculer la partie numérique pour obtenir 542700=0,02.

Pour les unités, nous pouvons d’abord diviser le haut et le bas de la fraction par les kilogrammes, et nous voyons que tous les kg s’annulent. D’autre part, si nous multiplions le haut et le bas de la fraction par les mètres cubes, nous voyons que les m3 s’annulent en bas, mais un facteur de m3 reste en haut. Cela signifie que dans l’ensemble, nous avons 𝑉=0,02.m

Ainsi, notre réponse finale est que le volume du bloc d’aluminium est de 0,02 m3.

Exemple 4: Déterminer la masse d’un objet en fonction de son volume et de sa masse volumique

Le volume d’une couronne en or massif est calculé comme étant 150 cm3. Déterminez la masse de la couronne en or en prenant une valeur de 19‎ ‎300 kg/m3 pour la masse volumique de l’or. Donnez votre réponse à une décimale près.

Réponse

Dans cette question, on nous donne le volume 𝑉 et la masse volumique 𝜌 d’une couronne en or et on nous demande de trouver sa masse 𝑀.

Commençons par prendre notre équation pour la masse volumique, 𝜌=𝑀𝑉, et multiplions les deux côtés par le volume, 𝑉, pour obtenir 𝑀=𝜌𝑉.

Ceci nous indique que la masse de la couronne est simplement égal à la masse volumique de la couronne multipliée par son volume.

Cependant, avant de calculer la masse, nous devrions noter que la masse volumique de la couronne nous est donnée en kilogrammes par mètre cube, tandis que le volume de la couronne nous est donné en centimètres cubes.

Cela signifie qu’avant de combiner ces deux quantités, nous devons les convertir en unités comparables. Ici, cela signifie que nous devons convertir le volume en mètres cubes.

Rappelez-vous que 100=1cmm. Cela signifie que (100)=1cmm, et donc 1000000=1cmm.

Cela signifie que nous devons diviser le volume en centimètres cubes par 1‎ ‎000‎ ‎000. Le volume de la couronne, en mètres cubes, est donc 𝑉=0,00015.m

Nous pouvons maintenant remplacer les valeurs que nous connaissons pour 𝜌 et 𝑉 afin de déterminer la masse de la couronne comme étant 𝑀=19300×0,00015=(19300×0,00015)×=2,895.kgmmkgmmkg

La question impose que la réponse soit donnée à une décimale près, donc notre réponse finale pour la masse de la couronne est de 2,9 kg.

Notez que, dans cette question, nous n’avions pas besoin de connaître la forme exacte de la couronne. Du moment qu’on nous donne son volume, nous sommes en mesure d’utiliser l’équation pour la masse volumique afin de déterminer sa masse.

On peut calculer la masse volumique d’un objet sphérique si on connaît la masse de la sphère, 𝑀, et son rayon, 𝑟. Si nous connaissons ces quantités, alors nous pouvons nous servir de l’équation de la masse volumique, 𝜌=𝑀𝑉, avec l’équation pour le volume d’une sphère, qui est 𝑉=43𝜋𝑟.

Si nous combinons ces deux équations en remplaçant l’expression du volume d’une sphère dans l’équation de la masse volumique, alors nous voyons que la masse volumique d’une sphère est donnée par 𝜌=𝑀𝜋𝑟.

Si on multiplie le haut et le bas de la fraction par 3, nous avons alors 𝜌=3𝑀4𝜋𝑟, parce que les facteurs 3 s’annulent au bas de la fraction.

Exemple 5: Déterminer la masse volumique d’une sphère en fonction de sa masse et de son rayon

Une boule de bowling a une masse de 5,5 kg. La boule de bowling est une sphère de rayon 7 cm. Quelle est la masse volumique de la boule de bowling?Donne ta réponse au kilogramme par mètre cube près.

Réponse

Dans cet exemple, on nous demande de calculer la masse volumique 𝜌 d’un objet sphérique étant donné sa masse et son rayon.

Ici, la masse de la boule de bowling est de 𝑀=5,5kg et le rayon de la boule de bowling est de 𝑟=7cm. Notez que la question nous demande de donner la masse volumique en kilogrammes par mètre cube, donc il nous sera utile de convertir le rayon qui nous est donné en centimètres en mètres avant de commencer.

Cela se fait en divisant le rayon en centimètres par 100, donc 𝑟=0,07m.

Comme nous connaissons désormais toutes les informations nécessaires, nous pouvons nous servir de l’équation de la masse volumique d’une sphère, qui est 𝜌=3𝑀4𝜋𝑟.

Nous avons juste besoin de remplacer les valeurs de 𝑀 et 𝑟 pour cette question. En faisant cela, nous obtenons 𝜌=3×(5,5)4𝜋×(0,07).kgm

Si nous calculons cela, en nous rappelant de mettre à la fois au cube, la valeur numérique et les unités du dénominateur, nous obtenons 𝜌=3828,07.kgm

On nous demande de donner notre réponse au kilogramme par mètre cube près, donc notre réponse finale est simplement 𝜌=3828.kgm

Exemple 6: Déterminer le volume d’un objet en fonction de sa masse et de sa masse volumique

Une bille en acier a une masse de 0,034 g. Déterminez le diamètre de la bille millimètres, arrondi au millimètreprès. Prenez une valeur de 8‎ ‎000 kg/m3 pour la masse volumique de l’acier.

Réponse

Dans cet exemple, on nous donne la masse 𝑀=0,034g d’une bille sphérique, ainsi que sa masse volumique, 𝜌=8000/kgm. Etant donné cela, on nous demande de déterminer le diamètre de la bille.

Appelons le diamètre de la bille 𝑑 et rappellons que le diamètre est égal à deux fois le rayon. Ainsi, si le rayon de la bille est de 𝑟, alors 𝑑=2𝑟. En gardant cela en tête, calculons d’abord le rayon de la bille, en utilisant l’équation de masse volumique pour une sphère.

Commençons par réécrire l’équation de masse volumique pour une sphère de sorte à pouvoir l’utiliser pour trouver le rayon 𝑟. La masse volumique d’une sphère est donnée par 𝜌=3𝑀4𝜋𝑟.

Multiplions les deux côtés de cette équation par 𝑟. Cela nous donne 𝜌𝑟=3𝑀4𝜋.

Nous pouvons diviser les deux côtés par 𝜌 pour obtenir 𝑟=3𝑀4𝜋𝜌.

À présent, le côté droit de cette équation ne contient que des termes dont nous connaissons la valeur.

La seule étape supplémentaire consiste à convertir la masse de la bille, qui nous est donnée en grammes, en kilogrammes. Nous faisons cela parce que la masse volumique de l’acier nous est donnée en kilogrammes par mètre cube.

Nous le faisons en divisant la masse en grammes par 1‎ ‎000, de sorte que la masse de la bille soit de 𝑀=0,000034.kg

Il sera beaucoup plus facile de manipuler ce nombre si on l’écrit en notation scientifique. Cela nous donne 𝑀=3,4×10kg.

Nous pouvons remplacer les valeurs de 𝑀 et 𝜌 que nous avons déjà pour obtenir 𝑟=3×3,4×104𝜋(8000/).kgkgm

Remarquez que les unités kg s’annulent, et dans l’ensemble, les unités deviennent m3. Nous pouvons aussi calculer la partie numérique de cette fraction comme étant 3×3,4×104𝜋×8000=1,0146×10.

Cela signifie que nous avons trouvé que la valeur du rayon cubique est de 𝑟=1,0146×10.m

Nous devons maintenant prendre la racine cubique de cette expression pour trouver le rayon de la bille, ce qui donne 𝑟=0,001004847,m où nous avons pris la racine cubique des unités ainsi que le nombre. La question nous demande de donner notre réponse en millimètres, alors convertissons notre réponse (qui est en mètres) en millimètres. Cela se fait en multipliant par 1 000, et donc 𝑟=1,004847.mm

On doit doubler le rayon 𝑟 pour déterminer le diamètre 𝑑 de la bille, comme nous le demande la question. Ceci, au millimètre près, donne 𝑑=2𝑟=2.mm

Voici notre réponse finale:le diamètre de la bille est de 2 mm.

Il est aussi envisageable de vouloir calculer la masse volumique d’un objet avec des dimensions plus irrégulières, comme un prisme rectangulaire de longueur 𝑙, largeur 𝑤 et hauteur .

Dans ce cas, le volume 𝑉 du prisme rectangulaire est de 𝑉=𝑙𝑤.

Cela signifie qu’en combinant cette formule du volume avec notre équation pour la masse volumique d’un objet, nous pouvons dire que la masse volumique d’un prisme rectangulaire composé d’un certain matériau est de 𝜌=𝑀𝑉=𝑀𝑙𝑤.

Exemple 7: Déterminer la masse volumique d’un objet en fonction de sa masse et de ses dimensions

Une brique a une masse de 3,5 kg. C’est un prisme rectangulaire dont les arrêtes mesurent 23 cm, 11 cm, et 7 cm. Quelle est la masse volumique de la brique?Donnez la réponse au kilogramme par mètre cube près.

Réponse

Dans cette question, on nous donne les dimensions et la masse d’un prisme rectangulaire et on nous demande de déterminer sa masse volumique.

Peu importe quelle dimension nous appelons longueur, hauteur ou largeur. Pour cet exemple, admettons que la longueur est la plus grande dimension, soit 𝑙=23cm. Admettons que la largeur est la dimension moyenne, soit 𝑤=11cm. Enfin, disons que la hauteur est la dimension la plus courte, soit =7cm.

Remarquez que ces distances sont toutes en centimètres, mais on nous demande de calculer la masse volumique en kilogrammes par mètre cube. Il sera plus simple de convertir les distances en mètres avant de commencer à calculer la masse volumique. Cela se fait en divisant chaque distance en centimètres par 100, et donc les dimensions de la brique peuvent être écrites comme étant 𝑙=0,23,𝑤=0,11,=0,07.mmm

Cela signifie que nous sommes prêts à calculer la masse volumique de la brique. Nous combinons ces dimensions avec la masse de la brique qui nous est donnée dans l’énoncé comme étant 3,5 kg. Cela nous permet de calculer 𝜌=𝑀𝑙𝑤=3,5(0,23)(0,11)(0,07).kgmmm

Nous pouvons d’abord simplifier les unités, qui deviennent kilogrammes par mètre cube, puis calculer la valeur numérique comme étant 3,5(0,23)×(0,11)×(0,07)=1976,28.

Cela signifie que, au kilogramme par mètre cube près, la masse volumique de la brique est de 𝜌=1976,kgm et ceci est notre réponse finale.

Points clés

  • La masse volumique est une propriété des matériaux qui mesure la masse par unité de volume du matériau, qui peut être écrite sous la forme 𝜌=𝑀𝑉,𝜌 est la masse volumique de la masse, 𝑀 est la masse du matériau, et 𝑉 est le volume du matériau.
  • Pour un matériau donné, sa masse volumique est toujours la même quelle que soit la forme de l’objet composé de ce matériau.
  • Nous pouvons combiner l’équation de la masse volumique avec l’équation du volume pour des formes spécifiques d’objets. En particulier, pour un cube dont les arrêtes mesurent 𝑙, son volume est de 𝑉=𝑙.
  • Pour un prisme rectangulaire de longueur 𝑙, largeur 𝑤 et hauteur , son volume est de 𝑉=𝑙𝑤.
  • Pour une sphère de rayon 𝑟, le volume de la sphère est de 𝑉=43𝜋𝑟.

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