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Fiche explicative de la leçon : Triangle des forces Mathématiques

Dans cette fiche explicative, on va apprendre à résoudre des problèmes concernant l’équilibre d’une particule sous l’action de trois forces se rencontrant en un point en utilisant la force résultante ou la méthode du triangle des forces.

Lorsque deux forces ou plus agissent sur un corps rigide et que le corps n’accélère dans aucune direction, c’est-à-dire qu’il reste au repos ou continue de se déplacer à une vitesse constante, alors les forces sont en équilibre.

L’exemple le plus simple de forces en équilibre est donné par deux forces de même intensité agissant sur un corps dans des sens opposés le long de la même ligne d’action.

Si une paire de forces 𝐴 et 𝐵 agissent sur un corps rigide et que ce corps est en équilibre, alors nous savons qu’une troisième force 𝐹 doit agir sur le corps, d’intensité égale et dans le sens opposé à la force résultante 𝑅 de 𝐴 et 𝐵.

Rappelons que si on sait l’angle 𝜃 entre 𝐴 et 𝐵, alors on peut calculer l’intensité de leur force résultante par la formule |𝑅|=𝐴+𝐵+2𝐴𝐵(𝜃).cos

Voyons comment nous pouvons l’appliquer dans un exemple. Supposons que deux forces d’intensités 5 N et 4 N agissent sur un corps rigide et l’angle entre eux est de 70.

Si le corps est en équilibre, alors nous pouvons calculer la force 𝐹 en le maintenant en équilibre, comme suit. L’intensité de la résultante est donnée par |𝑅|=𝐴+𝐵+2𝐴𝐵(𝜃)=5+4+5×4×(70)=25+16+20×0,34202=41+6,8404=6,9166.coscos

Nous savons que la force 𝐹 est de même intensité et de sens opposé à la résultante 𝑅, et donc 𝐹 a une intensité de 6,92 N, au centième près.

Essayons un exemple un peu plus difficile en utilisant cette idée.

Exemple 1: Déterminer une force agissant sur un corps en équilibre en utilisant la force résultante

Utilisez le diagramme suivant pour déterminer la tension dans 𝐶𝐵. Arrondis ta réponse au centième près.

Réponse

Rappelons que si une paire de forces 𝐴 et 𝐵 agissent sur un corps rigide et que ce corps est en équilibre, alors nous savons qu’une troisième force 𝐹 doit agir sur le corps, d’intensité égale et dans le sens opposé à la force résultante 𝑅 de 𝐴 et 𝐵.

Dans ce cas, les deux forces agissant sont les tensions 𝑇 et 𝑇. La troisième force est la force descendante de 10 N. On sait donc que l’intensité de la résultante 𝑅 de 𝑇 et 𝑇 vaut 10. Rappelons l’équation reliant le carré de l’intensité d’une force résultante à l’angle entre les deux forces:|𝑅|=𝐴+𝐵+2𝐴𝐵(𝜃).cos

Ainsi, nous avons 10=𝑇+𝑇+2𝑇𝑇(𝜃).cos

Observez que dans cette configuration 𝑇=𝑇=𝑇, et donc 100=𝑇+𝑇+2𝑇(𝜃)=2𝑇(1+(𝜃))𝑇=1002(1+(𝜃)).coscoscos

En regardant le diagramme, on peut calculer 𝜃 en utilisant la règle du cosinus:𝑎=𝑏+𝑐2𝑏𝑐(𝜃)50=30+302×30(𝜃)=2×30(1(𝜃))1(𝜃)=502×30.coscoscoscos

Par conséquent, 1+(𝜃)=2(1(𝜃))=2502×30=2×2×302×30502×30=60502×30=(6050)(60+50)2×30=11002×30.coscos

On peut substituer cette expression à 1+(𝜃)cos dans notre équation pour la tension:𝑇=1002=100×301100=3001100.×

Ainsi, 𝑇=3001100=9,04534.

La tension dans 𝐶𝐵 est donc 9,05 N, au centième près.

Lorsqu’un corps rigide est en équilibre sous l’action de trois forces coplanaires se réunissant en un point, nous pouvons analyser la situation en utilisant un triangle de forces.

Maintenant, en considérant les forces explicitement comme des vecteurs et en les représentant graphiquement comme des flèches avec des longueurs proportionnelles à leur intensité, nous pouvons représenter l’addition de forces en plaçant les flèches extrémité à origine, comme illustré dans la figure suivante.

La force résultante, 𝐹R, de 𝐹 et 𝐹 est donnée par 𝐹=𝐹+𝐹R et est représentée graphiquement par une flèche dont l’origine est au même point que l’origine de 𝐹 et son extrémité au même point que l’extrémité de 𝐹, comme indiqué sur la figure suivante.

Soit une force 𝐹 d’intensité égale à celle de 𝐹R, agissant dans le sens opposé à celle-ci.. Si on additionne 𝐹 et 𝐹R, on obtient 𝐹+𝐹=𝐹𝐹=0.RRR

On peut en déduire que 𝐹+𝐹+𝐹=0.

Cela est représenté graphiquement sur la figure suivante.

Les trois flèches représentant les trois forces sont jointes extrémité-à-origine et forment un triangle.

On suppose que ces forces agissent toutes sur une particule P, comme le montre la figure suivante.

On a établi que la résultante de ces forces est nulle. Si ce sont les seules forces agissant sur P, la force résultante exercée sur P est nulle et P est en équilibre.

Les forces 𝐹 et 𝐹 n’ont pas besoin d’être orthogonales pour être deux des forces dans un triangle de force résultante nulle. La figure suivante illustre un triangle de forces où aucune des forces n’est orthogonale à l’autre;la figure montre également ces forces agissant sur une particule P en équilibre.

Nous pouvons définir un triangle de forces en équilibre comme suit.

Définition : Triangle de forces en équilibre

Trois vecteurs de forces qui forment un triangle dont les sens des forces sont toutes dans le sens des aiguilles d’une montre autour du triangle ou dans le sens inverse des aiguilles d’une montre autour du triangle ont une résultante nulle, et donc les forces sont en équilibre.

Étudions un exemple où les forces sont représentées graphiquement par un triangle de flèches.

Exemple 2: Utiliser un triangle de forces pour résoudre un problème

Clovis tente de résoudre un problème de mécanique dans lequel trois forces coplanaires 𝐹, 𝐹 et 𝐹 agissent sur un corps. Il doit déterminer si le corps est en équilibre ou non. Il se souvient que son professeur a dit quelque chose à propos de vérifier s’il pouvait arranger les forces en un triangle. Il trace donc la figure ci-dessous.

Clovis conclut que les trois forces sont en équilibre. A-t-il raison?

Laquelle des affirmations suivantes décrit le plus précisément ce qu’il a fait?

  1. Il n’a pas fait attention au sens des forces. Toutes les forces doivent se rejoindre extrémité-à-origine. Cependant, dans sa figure, 𝐹 et 𝐹 se rejoignent extrémité-à-extrémité. Par conséquent, les forces ne forment pas un triangle de forces en équilibre.
  2. Sa méthode est correcte
  3. Il a utilisé la mauvaise méthode;un triangle de forces n’est pas un moyen valable pour vérifier l’équilibre.
  4. Il a mis les forces dans le mauvais ordre. Il aurait dû commencer avec la force représentée par la flèche la plus longue et procéder jusqu’à la plus courte.

Réponse

Pour déterminer si les forces sont en équilibre, on peut se référer à la figure dans la question.

D’après la figure, on voit que 𝐹+𝐹=𝐹.

La somme des trois forces est donc donnée par 𝐹+𝐹+𝐹=𝐹+𝐹=2𝐹.

Comme 𝐹 est non nulle, les forces n’ont pas de résultante nulle et ne sont donc pas en équilibre.

On peut éliminer immédiatement deux des réponses pour la deuxième partie de la question.

Une étape a été clairement mal réalisée car les forces ne sont pas en équilibre malgré leur formation en triangle, il est donc incorrect de dire que la méthode était correcte.

L’erreur commise n’est pas qu’un triangle de forces ne peut pas être utilisé pour montrer que trois forces sont en équilibre, car c’est une méthode valide.

L’une des réponses restantes indique

« Il a mis les forces dans le mauvais ordre. Il aurait dû commencer avec la force représentée par la flèche la plus longue et procéder jusqu’à la plus courte.

On comprend de cela qu’on devrait joindre les flèches extrémité-à-origine dans l’ordre de leur longueur, comme indiqué sur la figure suivante.

Clairement 𝐹R est non nulle si on suit cela, les forces ne sont donc pas en équilibre, et cela ne pourrait pas montrer que les forces sont en équilibre.

La dernière option restante est

« Il n’a pas fait attention au sens des forces. Toutes les forces doivent se rejoindre extrémité-à-origine. Cependant, dans sa figure, 𝐹 et 𝐹 se rejoignent extrémité-à-extrémité. Par conséquent, les forces ne forment pas un triangle de forces en équilibre.

Il est vrai que 𝐹 et 𝐹 se rejoignent extrémité-à-extrémité et il est vrai aussi que dans un triangle de forces en équilibre, toutes les flèches doivent se rejoindre extrémité-à-origine. Si la flèche représentant 𝐹 est inversée, un triangle de forces avec une résultante nulle est formé, comme le montre la figure suivante.

Cette réponse identifie ce qui a été fait de manière incorrecte.

Il est important de noter qu’en changeant le sens de 𝐹 tel que son extrémité est à l’origine de 𝐹 plutôt que de 𝐹, 𝐹 a été retirée et remplacée par une autre force qui a la même intensité que 𝐹 mais dans le sens opposé. Les trois forces indiquées dans la question ne peuvent pas être en équilibre.

Étudions maintenant un exemple où un triangle de forces est utilisé pour déterminer l’intensité d’une force inconnue.

Exemple 3: Utiliser un triangle de forces pour résoudre un problème d’équilibre

Trois forces coplanaires 𝐹, 𝐹 et 𝐹 agissent sur un corps en équilibre. Leur triangle de forces forme un triangle rectangle comme indiqué.

Sachant que 𝐹=5newtons et 𝐹=13newtons, déterminez l’intensité de 𝐹.

Réponse

Pour que le corps sur lequel les forces 𝐹, 𝐹 et 𝐹 agissent soit en équilibre, on doit avoir 𝐹+𝐹+𝐹=0.

Le triangle formé par les forces est rectangle, donc, en utilisant le théorème de Pythagore, on voit que 𝐹=𝐹+𝐹.

En réarrangeant pour isoler 𝐹, on obtient 𝐹=𝐹𝐹.

En substituant les intensités des forces, on trouve 𝐹=135=144𝐹=144=12.newtons

La racine carrée négative de 144 doit être éliminée car les intensités des vecteurs sont nécessairement des valeurs positives.

Parfois, lorsque nous résolvons des problèmes de triangle de forces, on nous donne les longueurs des côtés du triangle. Comme les forces sont proportionnelles aux longueurs des côtés du triangle, on peut former la relation suivante.

Définition : Règle du triangle de forces

Un triangle de forces en équilibre peut être représenté sur un diagramme comme illustré ci-dessous.

Comme les intensités des forces sont proportionnelles aux longueurs des côtés du triangle, on peut former la relation suivante:𝐹𝐴𝐵=𝐹𝐵𝐶=𝐹𝐴𝐶.

Étudions maintenant un exemple où trois forces agissent en un point.

Exemple 4: Déterminer le rapport entre trois forces agissant parallèlement aux côtés d’un triangle rectangle sachant que le système est en équilibre

Sur la figure, trois forces d’intensités 𝐹, 𝐹 et 𝐹newtons agissent en un point. Les lignes d’action des forces sont parallèles aux côtés du triangle rectangle. Sachant que le système est en équilibre, déterminez 𝐹𝐹𝐹.

Réponse

La longueur de l’hypoténuse du triangle rectangle, , n’est pas connue, mais en utilisant le théorème de Pythagore, on voit que =87+208,8=5116,44=5116,44=226,2.cm

Pour former un triangle de forces avec une résultante nulle, les intensités des forces doivent être dans le même rapport que celui des longueurs des côtés du triangle.

En comparant les longueurs des côtés du triangle, on voit que 226,287=2262870=135 et 226,2208,8=22622088=377348=1312.

Par conséquent, on voit que 𝐹𝐹𝐹=51213.

Étudions maintenant un exemple impliquant la recherche d’une force dans un triangle de forces isocèle plutôt que dans un triangle rectangle de forces.

Exemple 5: Équilibre d’un système de trois forces agissant en triangle

Un corps est sous l’effet de trois forces d’intensités 𝐹, 𝐹 et 36 newtons, agissant respectivement dans les sens de 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, et 𝐶𝐴, 𝐴𝐵𝐶 est un triangle tel que 𝐴𝐵=4cm, 𝐵𝐶=6cm et 𝐴𝐶=6cm. Sachant que le système est en équilibre, détermine 𝐹 et 𝐹.

Réponse

Pour former un triangle de forces avec une résultante nulle, les intensités des forces doivent être dans le même rapport que celui des longueurs des côtés du triangle  𝐴𝐵𝐶, illustré sur la figure suivante.

Le triangle de forces qui correspond à ce triangle est illustré par la figure suivante.

Les longueurs de 𝐵𝐶 et 𝐶𝐴 sont égales, donc l’intensité de 𝐹 est 36 N.

Les longueurs de 𝐶𝐴 et 𝐴𝐵 sont liés comme suit:𝐴𝐵𝐶𝐴=46=23.

Par conséquent, l’intensité de 𝐹 est donnée par 𝐹=3623=24.N

Étudions un exemple où un problème impliquant l’équilibre d’un objet suspendu est résolu en utilisant un triangle de forces.

Exemple 6: Déterminer la tension dans les cordes qui maintiennent une barre uniforme en équilibre

Une barre uniforme de longueur 50 cm et poids 143 N est suspendue par ses extrémités au moyen de deux cordes perpendiculaires attachées au même point sur le plafond. Sachant que la longueur de l’une des cordes est 30 cm, déterminez la tension dans chaque corde.

Réponse

La barre et les cordes sont représentées qualitativement sur la figure suivante.

La barre et les cordes forment un triangle rectangle. En utilisant le théorème de Pythagore, on peut déterminer 𝑙, la longueur du côté inconnu:50=30+𝑙𝑙=5030=2500900=1600𝑙=1600=40.cm

Les forces agissant sont le poids de la barre et les tensions dans les cordes. Ces forces sont en équilibre, elles peuvent donc être tracées agissant au même point. Cela est représenté qualitativement sur la figure suivante, où 𝑇 correspond à la tension dans la corde de 40 cm et 𝑇 correspond à la tension dans la corde de 30 cm.

Ces forces peuvent former un triangle de forces, comme le montre la figure suivante.

Lorsque les forces sont en équilibre, on voit que 𝑊=𝑇+𝑇.

Il est indiqué que 𝑊=143;N par conséquent, 143=𝑇+𝑇.

D’après le triangle formé par la barre et les cordes, on peut savoir que les côtés du triangle qui correspondent aux cordes sont de longueurs 40 cm et 30 cm. Le rapport des longueurs des côtés de ce triangle est égal au rapport des forces correspondant aux tensions dans les cordes, et on voit que 𝑇=4030𝑇=43𝑇.

En substituant l’expression de 𝑇 dans 143=𝑇+𝑇, on obtient 143=𝑇+43𝑇143=𝑇+169𝑇143=259𝑇𝑇=143925𝑇=14335=4295=85,8.N

Comme 𝑇=43𝑇,𝑇=434295=171615=114,4.N

Maintenant que nous avons étudié divers exemples, récapitulons quelques points clés de cette fiche explicative.

Points clés

  • Pour deux forces 𝐹 et 𝐹 qui ont pour force résultante 𝐹R, on a 𝐹+𝐹+𝐹=0,R𝐹, 𝐹 et 𝐹R forment un triangle de forces dont la résultante est nulle.
  • Un corps qui est sous le seul effet de forces qui forment un triangle de forces est en équilibre. Les flèches représentant les forces dans le triangle doivent toutes se rejoindre extrémité-à-origine.
  • Les rapports des longueurs des côtés d’un triangle sont égaux aux rapports des intensités des forces d’un triangle de forces.

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