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Fiche explicative de la leçon: Points, milieux et distances dans l’espace Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer les coordonnées de points dans l’espace, la distance entre deux points dans l’espace et les coordonnées d’un milieu et d’une extrémité dans l’espace en utilisant une formule appropriée.

Nous devrions déjà savoir comment trouver tous ces éléments dans le plan. Tout point dans le plan a une coordonnée 𝑥 et 𝑦 et peut être écrit sous la forme (𝑥;𝑦). Chacun des nombres réels de la paire ordonnée représente le déplacement de ce point par rapport à l’origine, en d’autres termes, la distance positive ou négative par rapport au point (0;0).

Si deux points 𝐴 et 𝐵 ont pour coordonnées (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦) respectivement, alors nous pouvons calculer leur milieu en utilisant la formule 𝑥+𝑥2;𝑦+𝑦2.

Si deux points 𝐴 et 𝐵 ont pour coordonnées (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦) respectivement, alors nous pouvons calculer la distance entre eux en utilisant la formule de distance, démontrée par le théorème de Pythagore, (𝑥𝑥)+(𝑦𝑦).

Nous allons examiner dans cette fiche explicative comment nous pouvons étendre ces formules pour inclure une troisième coordonnée lorsqu’il s’agit de points dans l’espace.

Définition : Coordonnées d’un point dans l’espace

Tout point dans l’espace aura des coordonnées 𝑥, 𝑦 et 𝑧 et pourra être écrit sous la forme (𝑥;𝑦;𝑧). Chacun des nombres réels dans le triplet ordonné donne la distance à l’origine mesurée le long de l’axe correspondant.

Dans notre premier exemple, nous considérerons dans quel plan se situe un point dont l’une de ses coordonnées est égale à zéro.

Exemple 1: Identifier le plan dans lequel se trouve un point de coordonnées données

Dans lequel des plans de coordonnées suivants le point (7;8;0) se trouve-t-il?

  1. 𝑥𝑦
  2. 𝑥𝑧
  3. 𝑦𝑧

Réponse

Nous savons qu’un point dans l’espace a des coordonnées 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Dans cette question, 𝑥=7, 𝑦=8 et 𝑧=0.

Comme la coordonnée 𝑧 est égale à zéro, le point se situe à une distance de zéro de l’origine dans la direction 𝑧. Cela signifie qu’il se trouve sur le plan 𝑥𝑦. En fait, tout point avec des coordonnées (𝑥;𝑦;0) se trouve sur ce plan.

On peut donc conclure que le point (7;8;0) se situe sur le plan 𝑥𝑦.

Définition : Les trois plans de coordonnées

Tout point avec des coordonnées (𝑥;𝑦;0) se trouve sur le plan 𝑥𝑦.

De même, tout point avec des coordonnées (𝑥;0;𝑧) se trouve sur le plan 𝑥𝑧 et tout point avec des coordonnées (0;𝑦;𝑧) se trouve sur le plan 𝑦𝑧.

Dans notre prochaine question, nous examinerons comment calculer les coordonnées d’un point dans l’espace.

Exemple 2: Déterminer les coordonnées d’un point donné dans l’espace

Déterminez les coordonnées du point 𝐴.

Réponse

Tout point en trois dimensions a des cordonnées 𝑥, 𝑦 et 𝑧 et peut être écrit sous la forme (𝑥;𝑦;𝑧).

En partant de l’origine, nous parcourons 3 unités dans le sens des 𝑥 positifs, 3 unités dans la direction 𝑦 et enfin 3 unités dans la direction 𝑧.

Cela signifie que 𝑥=3, 𝑦=3 et 𝑧=3.

Les coordonnées du point 𝐴 sont (3;3;3).

Nous rappelons que la formule du milieu de deux points du plan nous dit simplement de déterminer la valeur moyenne de deux points. On trouve la moyenne des cordonnées 𝑥 et la moyenne des cordonnées 𝑦. Nous allons maintenant étendre cette idée dans l’espace en déterminant la moyenne des cordonnées 𝑧 également.

Pour déterminer la moyenne de deux nombres, nous les additionnons puis divisons leur somme par deux.

Définition : Milieu de deux points dans l’espace

Si deux points 𝐴 et 𝐵 ont pour coordonnées (𝑥;𝑦;𝑧) et (𝑥;𝑦;𝑧) respectivement, alors nous pouvons calculer leur milieu en utilisant la formule suivante:𝑥+𝑥2,𝑦+𝑦2,𝑧+𝑧2.

Dans notre prochain exemple, nous utiliserons cette formule pour calculer le milieu de deux points dans l’espace.

Exemple 3: Déterminer les coordonnées d’un milieu dans l’espace

Des points 𝐴 et 𝐵 ont pour coordonnées (8;8;12) et (8;5;8) respectivement. Déterminez les coordonnées du milieu de 𝐴𝐵.

Réponse

Afin de déterminer le milieu de deux points dans l’espace, nous utiliserons la formule pour calculer le milieu des coordonnées (𝑥;𝑦;𝑧) et (𝑥;𝑦;𝑧):𝑥+𝑥2,𝑦+𝑦2,𝑧+𝑧2.

On donne au point 𝐴 les coordonnées (𝑥;𝑦;𝑧) et au point 𝐵 les coordonnées (𝑥;𝑦;𝑧).

Le milieu des points 𝐴 et 𝐵 est =8+(8)2,8+52,12+(8)2=02,32,202=0,32,10.

Les coordonnées du milieu de 𝐴𝐵 sont 0;32;10.

Dans notre prochain exemple, nous utiliserons la formule du milieu pour calculer une extrémité à partir du milieu de deux points de l’espace et d’une autre extrémité.

Exemple 4: Déterminer les coordonnées d’une extrémité d’un segment à partir des coordonnées du milieu et des coordonnées de l’autre extrémité

Étant donné que le point (0;17;10) est le milieu de 𝐴𝐵 et que 𝐴(19;7;14), quelles sont les coordonnées de 𝐵?

Réponse

Afin de déterminer le milieu de deux points en trois dimensions, nous utilisons la formule pour calculer le milieu des coordonnées (𝑥;𝑦;𝑧) et (𝑥;𝑦;𝑧):𝑥+𝑥2,𝑦+𝑦2,𝑧+𝑧2.

Nous savons que le point 𝐴 a pour coordonnées (19;7;14) et nous allons donner au point 𝐵 les coordonnées (𝑥;𝑦;𝑧). Le milieu de ces deux points a pour coordonnées (0;17;10).

En substituant ces valeurs dans la formule, nous avons (0,17,10)=19+𝑥2,7+𝑦2,14+𝑧2.

Nous pouvons alors faire correspondre les composantes individuelles, ce qui nous donne trois équations à résoudre.

Premièrement, la coordonnée 𝑥 nous donne 0=19+𝑥2.

En multipliant les deux côtés de l’équation par 2, on obtient 0=19+𝑥.

Donc, 19=𝑥.

Deuxièmement, la coordonnée 𝑦 nous donne 17=7+𝑦2.

En multipliant les deux côtés de l’équation par 2, on obtient 34=7+𝑦.

Donc, 27=𝑦.

Enfin, la coordonnée 𝑧 nous donne 10=14+𝑧2.

En multipliant les deux côtés de l’équation par 2, on obtient 20=14+𝑧.

Donc, 34=𝑧.

Les coordonnées du point 𝐵 sont (19;27;34).

Dans le plan, on peut calculer la distance entre deux points en utilisant une adaptation du théorème de Pythagore. D’après celui-ci, 𝑎+𝑏=𝑐, 𝑐 est la longueur du côté le plus long, appelé hypoténuse, d’un triangle rectangle.

Si deux points 𝐴 et 𝐵 ont pour coordonnées (𝑥;𝑦) et (𝑥;𝑦) respectivement, alors nous pouvons calculer la distance entre eux en utilisant la formule suivante:(𝑥𝑥)+(𝑦𝑦).

Nous allons maintenant examiner comment calculer la distance entre deux points dans l’espace.

Considérons le prisme rectangulaire en trois dimensions 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻, dessiné ci-dessous, et supposons que nous voulons voyager à partir du coin avant gauche le plus bas, 𝐴, jusqu’au coin arrière supérieur droit, 𝐺.

Tout d’abord, considérons le triangle 𝐴𝐵𝐹 sur le bas du prisme. Le théorème de Pythagore nous dit que 𝐴𝐹=𝐴𝐵+𝐵𝐹.

Donc, 𝐴𝐹=𝑥+𝑦.

Maintenant, nous construisons un autre triangle 𝐴𝐹𝐺, avec sa base le long de 𝐴𝐹 et sa hauteur 𝐹𝐺.

On peut à nouveau utiliser le théorème de Pythagore de sorte que 𝐴𝐺=𝐴𝐹+𝐹𝐺. En substituant les longueurs de 𝐴𝐹 et 𝐹𝐺, on voit que 𝐴𝐺=𝑥+𝑦+𝑧.

Par conséquent, 𝐴𝐺=𝑥+𝑦+𝑧.

Définition : Distance entre deux points dans l’espace

Si deux points 𝐴 et 𝐵 ont pour coordonnées (𝑥;𝑦;𝑧) et (𝑥;𝑦;𝑧) respectivement, alors nous pouvons calculer la distance entre eux en utilisant la formule suivante:(𝑥𝑥)+(𝑦𝑦)+(𝑧𝑧).

Ceci est une adaptation du théorème de Pythagore dans l’espace;nous trouvons la somme des carrés de la différence entre chaque coordonnée, puis la racine carrée de cette réponse.

Dans nos deux derniers exemples, nous calculerons la distance la plus courte entre un point et l’un des axes du repère, ainsi que la distance entre deux points de l’espace.

Exemple 5: Déterminer la distance entre deux points en fonction de leurs coordonnées dans l’espace

Déterminez la distance entre les deux points 𝐴(7;12;3) et 𝐵(4;1;8).

Réponse

Afin de calculer la distance entre deux points dans l’espace, nous utiliserons la formule suivante, où les deux points 𝐴 et 𝐵 ont pour coordonnées (𝑥;𝑦;𝑧) et (𝑥;𝑦;𝑧) respectivement:(𝑥𝑥)+(𝑦𝑦)+(𝑧𝑧).

On donne au point 𝐴 les coordonnées (𝑥;𝑦;𝑧) et au point 𝐵 les coordonnées (𝑥;𝑦;𝑧).

La distance entre eux est de =(4(7))+(112)+(83)=(3)+(13)+(11)=9+169+121=299.

La distance entre les deux points 𝐴(7;12;3) et 𝐵(4;1;8) est de 299 unités de longueur.

Exemple 6: Déterminer la distance entre un point et un axe du repère dans l’espace

Quelle est la distance entre le point (19;5;5) et l’axe 𝑥 du repère?

Réponse

Nous savons que tout point se situera sur l’axe des 𝑥 si ses coordonnées 𝑦 et 𝑧 sont égales à zéro. Cela signifie que nous pouvons définir un point sur l’axe des 𝑥 comme (𝑥;0;0).

Nous reconnaissons que la distance demandée est la distance perpendiculaire entre le point et l’axe des 𝑥;or, la projection du point sur l’axe des 𝑥 se trouve au point (19;0;0).

La distance entre deux points peut être calculée en utilisant la formule (𝑥𝑥)+(𝑦𝑦)+(𝑧𝑧) comme suit (1919)+(50)+(50)=0+(5)+(5)=50=52.

La distance entre le point (19;5;5) et l’axe des 𝑥 vaut 52 unités de longueur.

Nous terminerons cette fiche explicative en récapitulant certains des points clés.

Points clés

  • Tout point dans l’espace possède des coordonnées écrites sous la forme (𝑥;𝑦;𝑧).
  • Si la coordonnée 𝑧 est égale à zéro, alors on sait que le point se situe dans le plan 𝑥𝑦;si la coordonnée 𝑦 est égale à zéro, alors on sait que le point se situe dans le plan 𝑥𝑧;et, si la coordonnée 𝑥 est égale à zéro, alors on sait que le point se situe dans le plan 𝑦𝑧.
  • Si les deux coordonnées 𝑦 et 𝑧 sont égales à zéro, alors le point se situe sur l’axe des 𝑥;si les deux coordonnées 𝑥 et 𝑧 sont égales à zéro, alors le point se situe sur l’axe des 𝑦;et, si les deux coordonnées 𝑥 et 𝑦 sont égales à zéro, alors le point se situe sur l’axe des 𝑧.
  • Le milieu de deux points de coordonnées (𝑥;𝑦;𝑧) et (𝑥;𝑦;𝑧) se situe au point 𝑥+𝑥2;𝑦+𝑦2;𝑧+𝑧2.
  • On peut aussi utiliser la formule du milieu pour calculer l’extrémité d’un segment, étant donné le milieu et l’autre extrémité.
  • La distance entre deux points de coordonnées (𝑥;𝑦;𝑧) et (𝑥;𝑦;𝑧) est égale à (𝑥𝑥)+(𝑦𝑦)+(𝑧𝑧).

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