Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à reconnaître quelles unités sont utilisées pour définir les valeurs des quantités physiques.
Il est utile de commencer par clarifier ce qu’est une mesure.
Une mesure est composée de quatre parties :
- L’objet qui est mesuré.
- La grandeur considérée pour cet objet.
- La valeur de cette grandeur.
- L’unité que prend cette valeur.
Regardons un exemple.
On mesure la masse d’une brique. La masse de la brique est de 1,5 kilogramme.
Détaillons les quatre parties de la mesure.
| objet mesuré | la brique |
|---|---|
| grandeur étudiée pour l’objet | sa masse |
| valeur de la grandeur | 1,5 |
| unité que prend la valeur | kilogramme |
Le sens de grandeur est facilement confondu avec le sens de valeur, car le mot « grandeur » peut être parfois utilisé pour désigner la quantité de quelque chose.
Cependant, lorsqu’on se réfère à des mesures, cependant, une grandeur n’est pas une quantité de quelque chose ; c’est quelque chose qui peut être quantifié.
Regardons un autre exemple.
On mesure le temps que met un glaçon de masse 5 grammes pour fondre. Le temps mis est de 250 secondes.
Détaillons les quatre parties de la mesure.
| objet mesuré | le glaçon |
|---|---|
| grandeur étudiée pour cet objet | le temps nécessaire pour fondre |
| valeur de la grandeur | 250 |
| unité que prend la valeur | seconde |
La valeur et l’unité d’une mesure ont des propriétés différentes de celles de l’objet et de la grandeur d’une mesure. L’objet et la grandeur d’une mesure sont définis d’une seule manière, mais la valeur et l’unité d’une mesure peuvent être définies de plusieurs façons.
Si nous effectuons une mesure sur une brique, nous mesurons cette brique en particulier. Mesurer un objet différent ne nous renseignera pas directement sur la brique. Si nous mesurons la température de la brique, cela ne nous renseigne pas sur la masse de la brique. Si on essaye de définir la masse de la brique en se référant à un objet ou à une grandeur différente, on se réfère alors à une mesure différente de la mesure de la masse de la brique ; il y a une seule et unique façon de quantifier l’objet et la grandeur pour une mesure donnée.
« La masse de la brique est de 1,5 kilogramme » n’est pas une façon unique de quantifier la masse de la brique. En effet, « 1,5 kilogramme » peut également être exprimé de différentes manières, telles que
- 1 500 grammes ,
- 0,0015 tonne ,
- 3,30693 livres.
Nous pouvons donc remarquer que si l’unité d’une mesure change, la valeur de la mesure change également. Pour mieux comprendre cela, on peut se dire que la valeur et l’unité d’une mesure peuvent être considérées comme étant deux paramètres multipliés ensemble.
Nous pouvons exprimer 1,5 kilogramme comme où le symbole kg représente les kilogrammes.
Nous savons que où le symbole g représente les grammes.
On voit alors que :
Nous venons de montrer qu’une unité peut être multipliée par une valeur pour obtenir une autre unité. On peut aussi diviser une unité par une valeur pour obtenir une autre unité, comme le montre l’exemple suivant :
Les mêmes multiplications et divisions peuvent être faites avec des unités d’autres grandeurs comme on vient de le montrer pour les unités de masse :
En plus d’être multipliée ou divisée par une valeur, une unité peut être multipliée ou divisée par une autre unité.
Le cas le plus simple d’une unité que l’on multiplie par une unité est une unité qui est multipliée par elle-même.
Soit un objet rectangulaire ayant pour côtés les longueurs 7,5 mètres et 1,5 mètre , comme illustré sur la figure suivante.
L’aire , , de l’objet est le produit des longueurs de ses côtés. Cela s’exprime par :
Cependant, l’aire doit avoir une unité, car l’aire est une grandeur.
D’après l’équation, on ne sait pas quelle est cette unité, car les unités des valeurs multipliées ensemble n’ont pas été incluses dans l’équation.
Si les unités des valeurs étaient incluses avec les valeurs, on aurait alors
L’ordre dans lequel les termes d’une équation sont multipliés ne change pas le résultat de l’équation, on peut donc écrire cette équation comme :
Nous avons vu que mais nous n’avons pas défini le résultat de
Si au lieu de m, une valeur a été multipliée par elle-même, par exemple, la valeur 4, on aurait :
Il n’y a pas de résultat équivalent lorsque l’on multiplie m par m , mais s’exprime également comme :
Cela signifie que nous pouvons exprimer m multiplié par lui-même comme
Cette unité est la mètre au carré, ou mètre carré.
On a alors
Les unités peuvent être multipliées ou divisées par d’autres unités et aussi par elles-mêmes.
Regardons un exemple comprenant des unités qui sont multipliées ou divisées par elles-mêmes ou par d’autres unités.
Exemple 1: Trouver l’unité d’une aire
Laquelle des propositions suivantes est une unité d’aire ?
- Mètre carré
- Centimètre
- Mètre par seconde carrée
- Mètre cube
Réponse
La multiplication d’une longueur par une autre longueur est l’équation de l’aire d’un rectangle. Les équations des aires d’autres figures sont données par des multiplications différentes, mais ces équations impliquent toujours des multiplications de longueurs. Les longueurs peuvent être mesurées en mètres.
Toutes les propositions contiennent le mot mètre ; il ne semble donc pas forcément évident que certaines propositions soient incorrectes.
Un centimètre est une unité de longueur. Une aire consiste à multiplier des longueurs par d’autres longueurs. Multiplier des longueurs mesurées en centimètres reviendrait à multiplier des centimètres par des centimètres. Le résultat de la multiplication de centimètres par des centimètres n’est pas en centimètres , ainsi les centimètres ne peuvent pas être une unité d’aire. En fait, aucune unité de longueur ne peut être une unité d’aire.
Parmi les choix restants, deux impliquent le mot « carré » ou « au carré » et un implique le mot « cubique ».
Mettre au carré une valeur ou une unité signifie qu’on la multiplie par elle-même. Cela correspond à la multiplication d’une longueur par une longueur. Mettre au cube une longueur signifie qu’on multiplie le carré de la longueur par la longueur, ce qui donne un volume plutôt qu’une aire. On peut donc éliminer mètre cube comme étant une unité de surface.
Il nous reste à choisir entre les propositions « mètre carré » et « mètre par seconde carrée ».
Le mot « par » indique la division, de sorte que « mètre par seconde carrée » signifie « mètre divisé par seconde carrée ». Un mètre est une unité de longueur. On doit alors décider si diviser une longueur par un seconde carrée équivaut à multiplier une longueur par une longueur.
Une seconde est une unité de temps plutôt que de longueur, et une seconde carrée est une unité de temps multipliée par un temps, qui n’a aucun rapport avec une longueur. On peut donc éliminer le mètre par seconde carrée.
On a vu que mettre une valeur ou une unité au carré signifie la multiplier par elle-même. Un mètre carré est donc un mètre multiplié par un mètre. Un mètre est une unité de longueur, donc un mètre multiplié par un mètre est une unité d’aire.
Regardons maintenant un autre exemple similaire.
Exemple 2: Identifier le symbole d’une unité composée
Laquelle des propositions suivantes est un symbole correspondant à l’unité d’une grandeur obtenue en divisant une température par une distance ?
- K/m
- km
- K⋅m
- K/m2
- mK
Réponse
La question demande quel symbole serait utilisé pour l’unité d’une grandeur résultant d’une température divisée par une distance. Essayons de réfléchir à ce qu’une telle grandeur pourrait représenter.
Une température divisée par une distance pourrait être par exemple si l’on chauffe l’extrémité d’une longue tige métallique à un instant donné, et on enregistre sa température à différents points le long de la longueur de la tige. La température et la distance sont mesurées. Ces mesures peuvent être tracées sur un graphique comme représenté sur la figure suivante.
La pente de ce graphique équivaut à la variation de la température par rapport à la variation de la distance, ce qui revient à la température divisée par la distance.
Dans les propositions ci-dessus, on remarque que toutes impliquent les symboles m et K ou k. Cela s’explique par la présence de grandeurs de température et de distance ayant des unités avec ces symboles, comme suit :
- La distance est une grandeur qui peut être mesurée en mètres , qui a pour symbole m.
- La température est une grandeur qui peut être mesurée en kelvins , qui a pour symbole K.
La proposition « km » ne comporte que des minuscules, mais le symbole correct pour le kelvin est « K » , qui s’écrit en majuscule. Le symbole « km » correspond plutôt au symbole de l’unité kilomètre, qui vaut 1 000 mètres. Il s’agit alors d’une unité de distance, et non d’une unité de température divisée par une distance ; cette proposition n’est donc pas correcte.
La proposition « mK » comprend le symbole du kelvin mais est en fait le symbole de l’unité millikelvin , qui vaut . Il s’agit alors d’une unité de température, et non d’une unité de température divisée par une distance ; cette proposition n’est donc pas correcte.
Le symbole « K⋅m » correspond à une grandeur de température multipliée par une unité. On cherche ici le symbole d’une unité de température divisée par une distance. Il y aura probablement un symbole de division dans l’unité comme c’est le cas avec « K/m » et avec « K/m2 ». On en déduit alors que « K⋅m » n’est pas correct.
On sait que « m2 » est le symbole du mètre au carré ou mètre carré , qui est une unité d’aire. La proposition « K/m2 » correspond à une température divisée par une aire ; cette proposition n’est donc pas correcte.
On sait que « m » est le symbole du mètre , qui est une unité de distance. La proposition « K/m » correspond à une température divisée par une distance ; cette proposition n’est donc pas correcte.
Regardons maintenant un exemple où les unités de grandeurs sont tracées sur un graphique.
Exemple 3: Identifier les unités correspondant à des grandeurs déterminées à l’aide d’un graphique
Le graphique ci-dessous illustre une courbe de la variation de distance en fonction du temps.
Quelle est l’unité de la pente de la droite ?
Quelle est l’unité de l’aire sous la droite ?
Réponse
Deux grandeurs sont tracées sur le graphique.
La grandeur sur l’axe vertical est la distance, qui a pour unité le mètre , et qui a pour symbole m.
La grandeur sur l’axe horizontal est le temps, qui a pour unité la seconde , et qui a pour symbole s.
La pente d’un graphique est la variation de la grandeur représentée sur l’axe vertical divisée par la variation de la grandeur représentée sur l’axe horizontal.
La pente du graphique correspond à la grandeur qui résulte de la division d’un changement de distance par un changement de temps. Cette grandeur est appelée « vitesse ». L’unité de cette grandeur est l’unité mètre divisé par l’unité seconde , ou mètres par seconde.
Écrite sous forme de symbole, cette unité est m divisé par s , m/s.
L’aire sous la droite d’un graphique est la variation de la grandeur représentée sur l’axe vertical multipliée par la variation de la grandeur représentée sur l’axe horizontal.
L’aire sous la droite du graphique correspond à la grandeur qui résulte de la multiplication d’un changement de distance par un changement de temps. Cette grandeur n’a pas de nom. L’unité de cette grandeur est l’unité mètre multiplié par l’unité seconde , ou mètres-secondes.
Écrite sous forme de symbole, cette unité est m multiplié par s , m⋅s.
Les unités qui résultent de la multiplication des unités par elles-mêmes sont égales au carré de l’unité. Par exemple, l’unité d’aire est l’unité de distance au carré.
L’unité d’aire multipliée par la longueur est égale à l’unité de longueur au cube. Cela s’exprime par :
Cette unité est appelée le mètre cube ou mètre cube. Cette unité correspond à une grandeur appelée volume.
La distance, l’aire et le volume sont liés comme indiqué sur la figure suivante.
Regardons maintenant un exemple avec des unités de distance, d’aire et de volume.
Exemple 4: Identifier l’unité correspondante à une aire divisée par un volume
Laquelle des propositions suivantes est le symbole correspondant à l’unité d’une grandeur obtenue en divisant une aire par un volume ?
- m−1
- m−2
- m
- m2
- m3
Réponse
L’unité de l’aire est le mètre carré, qui a pour symbole m2. Cela s’exprime par
L’unité de volume est le mètre cube cube, qui a pour symbole m3. Cela s’exprime par :
La question nous demande quel symbole d’unité est obtenu à partir du calcul suivant :
Ce calcul est équivalent au calcul suivant :
En éliminant les facteurs de m qui apparaissent à la fois au numérateur et au dénominateur de l’expression, on a
Cela s’exprime par
En d’autres termes, cette unité s’appellerait le « par mètre ».
Une unité peut être définie pour une grandeur même si une telle grandeur ne correspond à rien qui ne puisse être mesuré directement. Exprimer une telle unité n’est pas une erreur ; mais cela peut parfois ne pas évoquer des utilisations évidentes.
Regardons maintenant un exemple illustrant la multiplication des valeurs de la même grandeur exprimées en différentes unités.
Exemple 5: Identifier l’unité composée appropriée pour deux mesures de la même grandeur avec différents préfixes d’unité
Laquelle des propositions suivantes est un symbole correspondant à l’unité d’une grandeur obtenue en multipliant une longueur en millimètres avec une longueur en centimètres ?
- cm2
- m3
- mm3
- cm−1
- m
Réponse
Millimètres et centimètres sont deux unités de la même grandeur, la distance.
On sait que et
Cela signifie que lorsque l’on convertit une valeur en centimètres en une valeur équivalente en millimètres , la valeur change par un facteur de 10.
Pour cette question, cependant, aucune valeur n’est indiquée. La question demande seulement quelle unité il serait correct d’utiliser.
Une unité correcte correspondrait au résultat de la multiplication d’une distance par une distance.
L’unité de base du système international de la distance est le mètre ( m ). Multiplier un mètre par lui-même nous donne
Une telle unité doit être un multiple de mètres carrés ( m2 ). La seule proposition qui correspond à cela est le cm2 , qui est donc la bonne réponse.
Il est intéressant de voir comment les facteurs de conversion affectent les valeurs de la même grandeur exprimées en différentes unités. Par exemple, si une longueur égale à un certain nombre de millimètres est multiplié par une longueur égale au même nombre de centimètres , quelle unité utiliser pour le résultat ?
La question peut être interprétée de deux manières :
- Quelle est l’unité correspondant à une grandeur obtenue en multipliant une longueur de par une longueur de millimètres de ?
- Quelle est l’unité correspondant à une grandeur obtenue en multipliant une longueur de par une longueur de centimètres ayant pour valuer ?
On a alors le choix entre une réponse où l’unité est ou
Les facteurs d e et 10 dans ces réponses ne font pas réellement partie de l’unité obtenue ; ils indiquent par quel facteur une valeur qui est exprimée dans cette unité doit être multipliée.
On peut observer ceci plus facilement si on regarde combien de cm2 sont égaux à 1 m2.
On sait que
Si on arrondit les deux côtés de cette équation, on a :
Cela équivaut à :
Cela équivaut à :
Le facteur 10 000 ne fait pas partie de l’unité . mètre carré ou de l’unité centimètre carré ; c’est un facteur par lequel une valeur doit être soit multipliée, soit divisée lors de la conversion entre des unités de mètres carrés et des unités de centimètres carrés.
On voit alors que le résultat de la multiplication d’une longueur en millimètres par une longueur en centimètres peut être exprimé en mm2 ou en cm2 , et que la valeur du résultat doit être multipliée par le facteur de conversion entre ces unités. Le résultat pourrait tout aussi bien être exprimé en m2 tant que le bon facteur de conversion a été appliqué au résultat.
Résumons à présent ce qui a été appris dans cette fiche explicative.
Points Clés
- Une mesure comprend l’objet mesuré, la grandeur considérée pour cet objet, la valeur de cette grandeur et l’unité de la valeur.
- La valeur et l’unité d’une mesure peuvent être exprimées de différentes façons.
- Pour une mesure ayant deux valeurs possibles , et , dont les unités associées sont et , on doit avoir Par exemple,
- Les unités peuvent être multipliées et divisées par elles-mêmes ou par d’autres unités, même si l’unité obtenue ne correspond pas à une grandeur directement mesurable.
- Une unité multipliée par elle-même est égale à cette unité élevée à une puissance égale au nombre de fois où l’unité est multipliée par elle-même. Par exemple,
