Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à résoudre des équations exponentielles à l’aide de méthodes graphiques.
Les fonctions exponentielles apparaissent dans de nombreux domaines scientifiques, on les retrouve dans le calcul de la décroissance radioactive, la modélisation de la population, le calcul des intérêts composés et la propagation des virus, pour ne citer que quelques exemples.
Étant donné que les fonctions exponentielles apparaissent dans de nombreuses disciplines très variées, leur étude est importante. En particulier, résoudre des équations exponentielles est une compétence que nous pouvons appliquer à de nombreux problèmes de la vie courante. Par exemple, pour déterminer la durée pendant laquelle nous devrions investir une somme d’argent donnée dans un compte à intérêts composés, nous devons résoudre une équation exponentielle.
Avant de montrer comment résoudre ce type d’équations, rappelons d’abord la définition d’une fonction exponentielle.
Définition : La fonction exponentielle
Une fonction exponentielle est une fonction de la forme , où et sont des constantes réelles, est positive et .
Il y a de nombreuses façons de trouver des solutions des équations exponentielles de la forme , pour une fonction donnée . Par exemple, on pourrait essayer de résoudre l’équation analytiquement. Cependant, ce n’est pas toujours possible. Au lieu de cela, nous allons trouver des solutions pour ces équations graphiquement.
Étant donné le graphique de la fonction exponentielle , tout point apparentant à la courbe représentative a pour coordonnées . Si on trace sur le même graphique, alors tout point d’intersection se situe sur les deux courbes. En particulier, leurs ordonnées, , seront égales, ce qui donne
Voyons un exemple d’utilisation de cette technique pour résoudre une équation exponentielle.
Supposons que nous devons résoudre , étant donné la représentation graphique suivante de .
Nous voulons trouver les valeurs de qui vérifient cette équation. Nous pouvons le faire en traçant sur le graphique et en déterminant les coordonnées des points d’intersection.
Nous pouvons remarquer qu’il existe un point d’intersection en . Comme ce point se situe sur la courbe d’équation , on retrouve . Par conséquent, est une solution de cette équation. En fait, comme c’est le seul point d’intersection, nous pouvons conclure qu’il n’existe qu’une seule solution de l’équation. On peut écrire l’ensemble de solutions de l’équation comme ; on appelle cela l’ensemble solution.
Il est important de noter que parfois, les points d’intersection n’ont pas une valeur exacte pour leurs abscisses, . Dans ces cas, on fait une approximation pour les solutions graphiquement en utilisant des quadrillages plus fins pour trouver l’estimation.
Par ailleurs, il n’est pas toujours possible de résoudre ces équations. Par exemple si on nous avait demandé plutôt de résoudre l’équation , alors on aurait tracé la droite dans le graphique et on aurait cherché les points d’intersection.
On remarquera qu’il n’y a pas de points d’intersection. En fait, on sait que est positif pour toute valeur de , donc elle ne peut jamais être égale à . On peut dire que l’équation n’a pas de solution ; on peut dire aussi que l’ensemble solution de l’équation est .
Il est également possible d’obtenir plusieurs solutions. Par exemple, considérons le graphique suivant qui contient les courbes représentatives de et .
Nous pouvons remarquer qu’il existe deux points d’intersection, le premier en et le second en . Par conséquent, ce sont les deux seules solutions de l’équation
Ainsi, on peut dire que l’ensemble solution de cette équation est . On peut vérifier que ce sont des solutions de l’équation par substitution. Par exemple, nous substituons dans l’équation pour obtenir
Comme l’égalité est vraie, nous avons confirmé que est une solution de l’équation.
Dans les premiers exemples, nous utiliserons les courbes représentatives des fonctions exponentielles pour déterminer graphiquement l’ensemble solution d’une équation exponentielle.
Exemple 1: Déterminer graphiquement l’ensemble solution d’une équation exponentielle
À l’aide de la représentation graphique de la fonction , trouvez l’ensemble solution de l’équation .
Réponse
On rappelle que l’ensemble solution d’une équation est l’ensemble de toutes les valeurs qui vérifient cette équation. Dans cet exercice, nous voulons déterminer toutes les valeurs de qui vérifient l’équation . Nous pouvons le faire en rappelant que tout point appartenant à la courbe a pour coordonnées .
Nous pouvons commencer par réécrire l’équation donnée comme
Nous devons alors déterminer toutes les valeurs de telles que . On peut les trouver en situant tous les points ayant une ordonnée, , égale à 2 ; on trace alors la droite sur le graphique et on déduit les coordonnées du point d’intersection.
En remarquant la valeur de l’abscisse, , du point d’intersection, on observe que , et comme c’est le seul point d’intersection, alors c’est la seule valeur de qui vérifie .
Par conséquent, la seule solution de l’équation est . Nous pouvons vérifier qu’il s’agit d’une solution en remplaçant dans l’équation :
Comme l’égalité est vraie, est donc une solution de l’équation. Par conséquent, l’ensemble solution de l’équation est .
Exemple 2: Déterminer graphiquement l’ensemble solution d’une équation exponentielle
Le graphique suivant correspond à la courbe représentative de . À l’aide de ce graphique, déterminez l’ensemble solution de l’équation .
Réponse
On rappelle que l’ensemble solution d’une équation est l’ensemble de toutes les valeurs qui vérifient cette équation. On nous donne la représentation graphique de , et ainsi, tout point appartenant à cette courbe aura les coordonnées . Ainsi, nous pouvons déterminer les valeurs de en utilisant les ordonnées, , de la courbe. En particulier, nous pouvons réécrire l’équation comme
Ainsi, pour résoudre cette équation, nous devons trouver les abscisses pour lesquelles prend la valeur 4. On trace sur le même graphique et on détermine les coordonnées des points d’intersection.
Les coordonnées du point d’intersection sont , donc on sait que . Puisqu’il existe seulement un point d’intersection, alors c’est la seule solution de l’équation ; par conséquent, est la seule solution de l’équation et l’ensemble solution est .
Il est à noter que nous pouvons vérifier que 1 est une solution en remplaçant dans l’équation :
L’ensemble solution de l’équation est .
Dans les prochains exemples, nous verrons comment appliquer cette méthode à une équation exponentielle que nous devons réarranger en premier.
Exemple 3: Déterminer graphiquement l’ensemble solution d’une équation exponentielle
Le graphique suivant correspond à la courbe représentative de . À l’aide de ce graphique, déterminez l’ensemble de solution de l’équation .
Réponse
On rappelle que l’ensemble solution d’une équation est l’ensemble de toutes les valeurs qui vérifient cette équation. On peut réécrire l’équation en fonction de comme
Par conséquent, les solutions de l’équation sont les valeurs de telles que . On peut déterminer ces valeurs en rappelant que tout point appartenant à la courbe a pour coordonnées , de sorte que les solutions de l’équation sont les points de la courbe ayant une ordonnée, , égale à 16.
Il existe un seul point appartenant à la courbe ayant une ordonnée, , égale à 16 ; c’est le point de coordonnées . Par conséquent, et la seule solution de l’équation est donc . Nous pouvons confirmer qu’elle vérifie l’équation en remplaçant dans l’équation initiale :
Comme l’égalité est vraie, nous avons confirmé que est une solution de l’équation.
L’ensemble solution de l’équation est .
Exemple 4: Déterminer graphiquement l’ensemble solution d’une équation exponentielle
Le graphique suivant correspond à la courbe représentative de . À l’aide de ce graphique, déterminez l’ensemble de solution de l’équation .
Réponse
On rappelle que l’ensemble solution d’une équation est l’ensemble de toutes les valeurs qui vérifient cette équation. Comme on nous donne un graphique de , nous allons commencer par réécrire l’équation en fonction de et la réarranger comme suit :
Ainsi, nous pouvons résoudre l’équation en déterminant les valeurs de telles que vaut 4. On peut déterminer ces valeurs en rappelant que tout point appartenant à la courbe a pour coordonnées .
Puisque nous voulons , on trace la droite et on déduit les coordonnées de tous les points d’intersection.
Nous trouvons qu’il y a un seul point d’intersection de coordonnées . Par conséquent, , donc est la seule solution de l’équation. Nous pouvons vérifier que c’est une solution de l’équation en remplaçant dans l’équation initiale :
Comme l’égalité est vraie, nous confirmons que est une solution de l’équation.
L’ensemble solution de l’équation est .
Dans les deux derniers exemples, nous verrons comment appliquer cette méthode lorsque la fonction exponentielle est égale à une fonction linéaire au lieu d’une valeur constante.
Exemple 5: Résoudre une équation exponentielle à l’aide d’un graphique
À l’aide du graphique suivant, déterminez l’ensemble solution de l’équation .
Réponse
On rappelle que l’ensemble solution d’une équation est l’ensemble de toutes les valeurs qui vérifient cette équation. On nous donne la représentation graphique de et , et l’ordonnée, , d’un point nous indique l’image de la fonction pour une valeur de . Ainsi, aux points d’intersection des deux courbes, on aura . On peut donc utiliser les points d’intersection pour trouver les solutions de l’équation.
Les abscisses, , des points d’intersection sont 3 et 4, donc ce sont les deux solutions de l’équation. Nous pouvons vérifier que ce sont les solutions en les remplaçant dans l’équation initiale.
En remplaçant , on obtient
En remplaçant , on obtient
Comme les deux égalités sont vraies, nous avons confirmé que les deux valeurs et sont des solutions de l’équation.
L’ensemble solution de l’équation est .
Exemple 6: Résoudre graphiquement une équation exponentielle
Le graphique suivant correspond à la courbe représentative de . Utilisez ce graphique et tracez la fonction pour trouver l’ensemble solution de l’équation .
Réponse
On rappelle que l’ensemble solution d’une équation est l’ensemble de toutes les valeurs qui vérifient cette équation. Tout point appartenant à la courbe aura pour coordonnées . Si on trace , alors les points d’intersection des deux courbes auront les mêmes coordonnées et . Puisque les ordonnées, , seront les mêmes, on aura en ces points ; on obtiendra donc les solutions de l’équation.
Il y a plusieurs façons de tracer ; on peut noter que lorsque ,
Ainsi, la droite coupe l’axe des en 3. Nous pouvons résoudre pour trouver l’intersection avec l’axe des :
Ainsi, la droite coupe l’axe des en ; la droite passe donc par ces deux points.
On peut déduire la valeur de l’abscisse, , du point d’intersection de la droite et la courbe, soit , qui est ainsi la seule solution de l’équation donnée. Nous pouvons vérifier que c’est une solution de l’équation en remplaçant dans l’équation :
Comme l’égalité est vraie, nous avons confirmé que est une solution de l’équation.
L’ensemble solution de l’équation est .
Terminons par récapituler certains points importants de cette fiche explicative.
Points Clés
- L’ensemble solution d’une équation est l’ensemble de toutes les valeurs qui vérifient cette l’équation.
- On peut résoudre des équations de la forme en déterminant les abscisses, , des points d’intersection des courbes et .
- Parfois, nous devons réécrire l’équation sous une forme plus facile afin de la résoudre graphiquement.
- Il peut ne pas y avoir de solutions à une équation, auquel cas l’ensemble des solution est .
- Il se peut que nous ne soyons pas en mesure de déterminer les coordonnées exactes du point d’intersection à partir d’un graphique. Dans ces cas, nous pouvons utiliser des quadrillages plus fins afin de mieux approcher les solutions de l’équation.
