Fiche explicative de la leçon: Vitesse Sciences

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer la vitesse d’un objet qui se déplace d’une distance pendant un temps donné.

Considérons deux coureurs participant à une course de 100 m. Nous les appelons « coureur A » et « coureur B. »

Supposons que le coureur A soit plus rapide que le coureur B. Cela signifie que nous savons que le coureur A va gagner la course.

Le fait que le coureur A ait gagné la course signifie qu’il a fini de courir le 100 m avant le coureur B. En d’autres termes, comme il courait plus vite, le coureur A a mis moins de temps que le coureur B à parcourir la même distance.

Nous pouvons décrire la rapidité ou la lenteur d'un déplacement de quelque chose en utilisant une quantité appelée vitesse. On peut dire que le coureur le plus rapide se déplaçait à une vitesse supérieure à celle du coureur le plus lent.

Jusqu’à présent, nous avons considéré une situation spécifique impliquant deux coureurs. Cependant, ce que nous avons appris s’applique de manière beaucoup plus générale. Tout objet qui se déplace doit avoir une vitesse particulière. Cette vitesse est une quantité qui relie la distance parcourue par l’objet et le temps mis par l’objet pour couvrir cette distance.

Plus précisément, nous pouvons dire ce qui suit.

Cela signifie que plus un objet se déplace rapidement, ou plus sa vitesse est grande, plus la distance parcourue par cet objet, pendant un certain intervalle de temps, est grande.

Nous avons vu qu’un objet plus rapide parcourt une plus grande distance par seconde qu’un objet plus lent. Supposons, cependant, que nous comparons deux objets qui parcourent des distances égales, comme les deux coureurs qui ont couru le 100 m. Dans ce cas, plus la vitesse de l’objet est grande, moins l’objet mettra de temps pour parcourir la distance. Pour nos deux coureurs, le coureur A avait la plus grande vitesse et a donc pris moins de temps pour terminer la course de 100 m que le coureur B.

Regardons quelques exemples.

Exemple 1: Identifier laquelle des deux voitures parcourt la plus grande distance pendant une période de temps donné

Deux voitures roulent pendant la même durée à des vitesses différentes. Quelle voiture parcourt la plus grande distance ? 

1. La voiture avec la plus grande vitesse
2. La voiture avec la plus petite vitesse

Réponse

Cette question nous indique que nous avons deux voitures qui se déplacent pendant la même durée. On nous demande laquelle des deux voitures parcourt la plus grande distance pendant cette durée.

Considérons deux voitures qui roulent sur une route. Imaginons que ces voitures passent le même point sur cette route à un moment que nous appellerons « heure de début ». Ensuite, ces deux voitures continuent à rouler pendant la même durée. À un moment donné, que nous qualifierons d’ « heure de fin », chaque voiture a parcouru une certaine distance sur la route.

Nous avons illustré cette situation sur le schéma ci-dessous. Sur la gauche du schéma, les deux voitures passent au même endroit à l’heure de départ. À droite, nous avons ces deux voitures après que chacune d’elles ait roulé pendant la même durée.

On nous dit dans la question que les deux voitures roulent à des vitesses différentes. Cela signifie que nous avons une voiture plus rapide et une voiture plus lente.

On peut rappeler que la vitesse d’un objet est une mesure de la distance parcourue par cet objet pendant une durée donnée. Plus la vitesse est grande, plus l’objet se déplace par unité de temps.

Dans ce cas, les deux voitures se déplacent pendant la même durée. Par conséquent, nous savons que, pendant cette durée, la voiture avec la plus grande vitesse, ou la voiture la plus rapide, se déplacera sur une plus grande distance. Dans le dessin, cela signifie que la voiture rouge est la voiture la plus rapide et la voiture bleue est la voiture la plus lente.

Ainsi, notre réponse à la question est que la voiture qui parcourt la plus grande distance est donnée par la réponse A : la voiture avec la plus grande vitesse.

Exemple 2: Identifier laquelle des deux voitures met le plus de temps pour parcourir une distance donnée

Deux voitures parcourent la même distance à des vitesses différentes. Quelle voiture met le plus de temps pour parcourir la distance ? 

1. La voiture avec une plus grande vitesse
2. La voiture avec une plus petite vitesse

Réponse

Cette question nous indique que nous avons deux voitures qui parcourent la même distance. On nous demande de déterminer laquelle des deux met le plus de temps pour le faire.

Considérons deux voitures circulant sur une route. On va imaginer que ces voitures passent le même « point de départ » sur cette route en même temps. Elles parcourent ensuite toutes les deux la même distance jusqu’à ce que chacune passe un point plus loin sur la route que nous appellerons le « point d’arrivée ».

Nous avons illustré cela sur le schéma ci-dessous. A gauche du schéma, les deux voitures passent au même endroit, le point de départ, en même temps. À droite, nous avons ces deux voitures après que chacune d’elles a parcouru la même distance sur la route, elles sont au point d’arrivée.

La question à laquelle nous devons répondre est la suivante : quelle voiture a mis plus de temps pour parcourir la distance entre le point de départ et le point d’arrivée ? 

On nous dit dans la question que les voitures roulent à des vitesses différentes. Cela signifie que nous avons une voiture plus rapide (la voiture avec la plus grande vitesse) et une voiture plus lente (la voiture avec la plus petite vitesse).

Nous pouvons nous rappeler que nous pouvons voir la vitesse comme indiquant combien de temps il faudra à un objet pour parcourir une certaine distance. En d’autres termes, plus la vitesse d’un objet est grande, moins il faudra de temps pour parcourir une distance donnée.

Dans notre cas, nous avons deux voitures qui parcourent la même distance. En utilisant ce que nous savons de la vitesse, nous pouvons voir que la voiture avec la plus grande vitesse mettra moins de temps pour parcourir cette distance. Par conséquent, la voiture avec la plus petite vitesse (la voiture la plus lente) sera la voiture à mettre plus de temps à le faire.

Ainsi, notre réponse à la question est que la voiture qui met plus de temps pour parcourir la distance est donnée par la réponse B : la voiture avec la plus petite vitesse.

Si la vitesse d’un objet ne change pas pendant son mouvement, alors on dit que l’objet se déplace avec une vitesse constante. Comme nous savons que la vitesse d’un objet nous indique la distance parcourue par l’objet au cours d’une période de temps donnée, nous pouvons définir la vitesse constante comme suit.

Regardons ce que cette définition signifie réellement.

Considérons un coureur qui sprint pendant 5 s et qui couvre une distance de 50 m au cours de cette durée.

Nous pouvons diviser le temps total en de plus petits intervalles de temps. Considérons des intervalles de 1 s. Nous avons cinq de ces intervalles pendant la durée totale de 5 s.

Si le coureur court avec une vitesse constante, cela signifie qu’il doit parcourir la même distance pendant chacun de ces cinq intervalles de 1 s. Donc, nous devons diviser les 50 m en cinq segments égaux.

En divisant 50 m par 5, on voit que le coureur couvre une distance de 10 m pendant chaque 1 s intervalle de temps.

Des schémas comme celui ci-dessus peuvent fournir un moyen visuel utile afin de comparer deux objets se déplaçant à des vitesses différentes.

Supposons que nous ayons un deuxième coureur, qui court aussi à une vitesse constante. Cependant, on suppose que ce deuxième coureur ne couvre qu’une distance de 8 m pendant chaque intervalle de 1 s. Nous appellerons ce deuxième coureur « coureur B », et le premier coureur (qui parcourt 10 m pendant chaque intervalle de 1 s « coureur A ».

On peut tracer le mouvement des deux coureurs comme ceci : 

Nous avons montré le mouvement de chaque coureur pour le même nombre d’intervalles de temps. Nous pouvons voir qu’après ces cinq intervalles de 1 s, le coureur A a parcouru une distance totale plus grande que le coureur B.

Par conséquent, le coureur A doit se déplacer plus vite.

Nous pouvons également regarder cela d’une manière différente.

Considérons le schéma suivant.

Il nous montre les deux mêmes coureurs que précédemment, mais maintenant nous pouvons voir qu’ils parcourent chacun la même distance totale. Cette distance totale est de 40 m.

On peut voir ce coureur A, qui court sur une distance de 10 m pendant chaque intervalle de 1 s, court pendant quatre intervalles de temps afin de parcourir cette distance.

Pendant ce temps, le coureur B, qui parcourt une distance de 8 m pendant chaque intervalle 1 s, court pendant cinq intervalles de temps afin de couvrir cette même distance.

Étant donné que le coureur A court sur moins d’intervalles de temps que le coureur B, cela signifie qu’il court moins de temps au total. Les deux coureurs parcourent la même distance. Ainsi, comme le coureur A met moins de temps à le faire, nous savons que le coureur A doit courir plus vite que le coureur B.

On peut aussi exprimer la vitesse d’un point de vue mathématique. Considérons un objet se déplaçant avec une vitesse constante. Appelons la distance parcourue par cet objet , le temps mis pour parcourir cette distance et la vitesse de l’objet .

La vitesse de l’objet correspond à la distance parcourue par unité de temps. Nous pourrions également exprimer cela comme

Avec des symboles, nous obtenons l’équation suivante.

Chaque fois que nous avons une équation mathématique comme celle-ci pour la vitesse, nous devons faire attention aux unités. Plus précisément, les unités du côté droit de l’équation doivent être en accord avec les unités du côté gauche.

On mesure souvent la distance en mètres ( m) et le temps en secondes ( s). Ensuite, les unités du côté droit de l’équation de la vitesse sont en mètres divisé par des secondes. On écrit ces unités « m/s et nous disons à voix haute « mètres par seconde ».

Étant donné que les unités des deux côtés de l’équation doivent correspondre, notre vitesse doit également avoir des unités de m/s ( mètres par seconde).

Regardons un exemple où nous devons utiliser notre équation pour la vitesse.

Exemple 3: Calculer la vitesse d’un objet

Un vélo se déplace sur une distance de 15 mètres pendant 3 secondes. Quelle est la vitesse du vélo ? 

Réponse

Dans cette question, nous avons un vélo qui se déplace d’une distance de 15 m pendant 3 s. On nous demande de déterminer la vitesse du vélo.

Commençons par faire un dessin rapide avec les informations qui nous sont données.

Comme indiqué sur le schéma ci-dessus, le vélo démarre à une certaine position et 3 s plus tard, il s’est déplacé de 15 m par rapport à là où il a commencé.

Dans notre dessin, nous avons marqué la distance parcourue comme , nous avons donc . Nous avons également marqué le temps mis comme , nous avons donc .

De plus, nous indiquerons la vitesse du vélo comme .

On peut rappeler l’équation pour calculer la vitesse d’un objet qui parcourt une distance pendant une durée de  : 

En utilisant les valeurs et , on obtient l’expression suivante pour la vitesse  : 

Comme la distance a des unités de mètres ( m) et le temps a des unités de secondes ( s), nous savons que notre vitesse doit avoir des unités de mètres par seconde ( m/s).

En divisant du côté droit, on constate que

La vitesse du vélo est donc de 5 m/s.

Nous avons une équation qui relie la vitesse d’un objet, la distance parcourue par cet objet, et le temps nécessaire pour parcourir cette distance. La forme sous laquelle nous avons vu cette équation est utile si nous connaissons la distance et le temps, et que nous voulons calculer la vitesse. C’est parce que l’équation est fonction de la vitesse, , en d’autres termes, l’équation a «  » du côté gauche.

On peut aussi réarranger cette équation en fonction de la distance, . Ceci est utile si un objet se déplace à une vitesse constante et que nous connaissons la valeur de cette vitesse et le temps pendant lequel l’objet se déplace, et si nous voulons calculer la distance qu’il parcourt.

De même, nous pouvons réarranger l’équation en fonction du temps, . Ainsi, si nous connaissons la vitesse d’un objet et la distance qu’il parcourt, nous pouvons utiliser l’équation réarrangée pour calculer le temps mis par l’objet pour parcourir cette distance.

Voyons comment cela fonctionne. Nous allons commencer par réarranger l’équation en fonction de .

Nous commençons par notre équation sous la forme que nous avons vue précédemment : 

Nous voulons nous retrouver avec une équation qui dit «  ».

La règle d’or pour réarranger les équations est que tout ce que nous faisons d’un côté de l’équation, nous devons aussi le faire de l’autre côté.

On voit que puisque sur le côté droit est actuellement divisé par , il faut multiplier le membre de droite par . Comme nous devons aussi faire de même pour le côté gauche, cela signifie que nous devons multiplier les deux côtés de l’équation par . Cela nous donne

Sur le côté droit de l’équation, nous avons maintenant un à la fois au numérateur et au dénominateur de la fraction. Ces deux s s’annulent, car .

Une fois que nous avons annulé les s du côté droit, nous avons

Maintenant, si est égal à , alors cela doit aussi être vrai que est égal à . Cela signifie que nous pouvons aussi écrire l’équation «  » comme

Ces deux équations sont des affirmations exactement équivalentes. Si on multiplie les quantités et , la valeur que nous obtenons sera la même que la valeur de .

Lorsque nous avons une équation dans laquelle nous multiplions deux quantités représentées par des symboles, parfois le signe de la multiplication est omis. Lorsque nous voyons deux symboles ou lettres l’un à côté de l’autre, le signe de la multiplication est implicite même s’il n’est pas écrit explicitement. Ainsi, nous pouvons aussi écrire cette équation comme

Cela signifie exactement la même chose que l’équation précédente. C’est-à-dire que la distance parcourue par un objet se déplaçant à vitesse constante pendant est égale à multiplié par .

Maintenant, regardons comment nous pouvons réarranger l’équation en fonction de . Nous reprenons la version de l’équation que nous avions en premier : 

Puisque nous la voulons en fonction de , une bonne première étape sera de le sortir du dénominateur de la fraction du côté droit. Ainsi, comme dans le réarrangement précédent, on commence par multiplier les deux côtés de l’équation par . Cela nous donne

Encore une fois, comme précédemment, les s au numérateur et au dénominateur de la fraction à droite s’annulent. Cela nous donne

Cette fois, nous voulons l’équation en fonction de  ; c’est-à-dire, nous voulons une équation qui dit «  ». Actuellement, nous avons du côté gauche de l’équation, mais il est multiplié par . Donc, nous devons diviser les deux côtés de l’équation par  : 

Sur le côté gauche de l’équation, nous avons un au numérateur et au dénominateur de la fraction. Ces deux s s’annulent, nous laissant avec

Cette équation nous indique comment calculer la durée pendant laquelle un objet se déplace, étant donné la vitesse de cet objet et la distance qu’il parcourt. Plus précisément, le temps mis, , pour un objet se déplaçant à une vitesse constante, , pour parcourir une distance, , est égal à divisé par .

Regardons quelques autres exemples.

Exemple 4: Calculer la distance parcourue par un objet se déplaçant à vitesse constante

Un train se déplace uniformément à 12 m/s. La position du train à deux moments différents est indiquée. Quelle est la distance parcourue par le train entre les deux moments ? 

Réponse

Cette question nous demande de déterminer la distance parcourue par le train représenté sur le schéma.

Deux moments différents sont indiquées sur le schéma - ce sont 0 s et 5 s. Cela signifie que nous savons que le train se déplace pendant une durée de .

On nous dit que la vitesse du train est de . Cela signifie que, pendant chaque intervalle de 1 s, le train se déplace d’une distance de 12 m. Ceci est illustré dans le schéma ci-dessous.

Le train se déplace pendant cinq intervalles de 1 s au total et se déplace d’une distance de 12 m pendant chacun de ces intervalles. Par conséquent, la distance totale parcourue par le train pendant les 5 s est égale à

Nous pouvons obtenir ce même résultat en utilisant notre formule qui relie la vitesse, la distance et le temps. On peut rappeler qu’un objet qui parcourt une distance de pendant une période de temps de a une vitesse de

Dans notre cas, nous connaissons les valeurs de et , et nous essayons de déterminer la valeur de la distance, . Cela signifie que nous devons réarranger l’équation en fonction de .

Pour ce faire, nous devons d’abord multiplier les deux côtés de l’équation par  : 

Ensuite, le au numérateur du côté droit s’annule avec le au dénominateur. Cela nous donne que nous pouvons aussi écrire

Nous pouvons maintenant utiliser les valeurs dans cette équation, avec et  : 

Les unités des côtés gauche et droit de l’équation correspondre. La vitesse est mesurée en mètres par seconde ( m/s), et le temps est mesuré en secondes ( s), la distance doit donc avoir des unités de mètres ( m).

En multipliant du côté droit de l’équation, nous trouvons que

Ainsi, la distance parcourue par le train est de 60 m.

Exemple 5: Calculer le temps nécessaire pour parcourir une distance donnée à une vitesse constante

Un train se déplace sur une distance de 200 mètres à une vitesse de 25 mètres par seconde. Pendant combien de temps le train se déplace-t-il ? 

Réponse

Cette question nous demande de déterminer la durée pendant laquelle un train se déplace. On nous donne la vitesse du train et la distance parcourue.

Appelons le temps pendant lequel le train se déplace, c’est la quantité que nous essayons de calculer. Nous allons appeler la vitesse du train , ce qui signifie que nous savons que . Nous allons appeler la distance parcourue par le train , ce qui signifie que nous avons .

On peut réaliser un dessin de la situation : 

La question nous demande pendant combien de temps le train se déplace. On pourrait penser à cela comme de cette façon. Une vitesse de 25 m/s signifie que le train se déplace sur une distance de 25 m pendant chaque intervalle de temps de 1 s.

Nous pourrions diviser le déplacement du train en sections de 25 m comme indiqué sur le schéma ci-dessous. Seules les premières sections sont illustrées.

La question de savoir pendant combien de temps le train se déplace est alors la même que celle de savoir combien de sections de 25 m il doit y avoir au total sur une distance de 200 m.

Mathématiquement, on peut rappeler qu’on a une formule reliant la vitesse d’un objet, , la distance parcourue, et la durée, , qu’il faut pour parcourir cette distance : 

Nous connaissons les valeurs de et , et nous essayons de déterminer la valeur de .

Cela signifie que nous devons réarranger l’équation en fonction de .

Pour ce faire, nous multiplions les deux côtés de l’équation par  : 

Le au numérateur du côté droit s’annule avec le au dénominateur : 

Ensuite, on divise les deux côtés de l’équation par  : 

Cette fois, les s au numérateur et au dénominateur du côté gauche s’annulent : 

Nous avons maintenant une équation pour le temps, , en fonction de la distance, , et de la vitesse, .

La tâche suivante consiste à utiliser les valeurs qui nous sont données dans la question. Nous avons et . En utilisant ces valeurs dans notre expression pour le temps , cela nous donne : 

Nous avons une distance en mètres et une vitesse en mètres par seconde. Cela signifie que nous aurons un temps, , avec des unités de secondes.

En divisant du côté droit de l’équation, nous trouvons que : 

Ainsi, la durée de déplacement du train est de 8 s.

Il convient de noter que cela équivaut à dire que puisque le train parcourt une section de 25 m chaque 1 s, il doit y avoir 8 sections de 25 m donc au total une distance de 200 m.

Jusqu’à présent, toutes les distances que nous avons vues étaient mesurées en mètres et les durées en secondes. Cela signifie que les vitesses ont des unités de mètres par seconde.

Nous avons initialement défini la vitesse comme étant la distance parcourue par un objet « par seconde ». Une définition plus générale est que la vitesse est la distance parcourue « par unité de temps ». Nous pouvons utiliser toutes les unités que nous voulons pour la distance et le temps. Les unités de la vitesse sont alors les unités que nous avons utilisées pour la distance divisée par les unités que nous avons utilisées pour le temps.

Le choix d’unités le plus courant est mètres pour la distance et secondes pour le temps, comme nous l’avons vu jusqu’à présent. Cependant, en particulier lorsqu’il s’agit de longs trajets, il est également fréquent de mesurer la distance en kilomètres ( km) et le temps en heures ( h).

Si on a une distance en kilomètres et un temps en heures, on peut les utiliser pour calculer une vitesse en kilomètres par heure ( km/h).

Voyons comment cela fonctionne en prenant un exemple.

Nous allons imaginer que nous avons un avion qui se déplace à une vitesse constante, et qu’il parcourt 2‎ ‎000 km en 4 h. Ceci est illustré sur le schéma ci-dessous.

En utilisant ces informations, nous pouvons calculer la vitesse de l’avion.

Appelons la vitesse , la distance , et le temps , on peut alors rappeler que

En utilisant les valeurs dans cette équation, avec et , on obtient

Comme la distance a des unités de kilomètres ( km)et le temps a des unités de heures ( h), on sait que la vitesse doit avoir des unités de kilomètres par heure ( km/h).

En évaluant le côté droit de l’expression, nous trouvons ensuite que la vitesse de l’avion est donnée en

Résumons maintenant ce qui a été appris dans cette fiche explicative.