Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer la valeur de la fonction de variation en un point pour une fonction donnée.
La variation est un nombre qui mesure à quel point la valeur de la fonction change lorsque varie à l’intérieur de l’ensemble de définition de la fonction, de à , comme indiqué sur la figure.
Si l’on note la variation en par , on peut écrire la variation comme
Le signe de nous indique si la valeur de la fonction augmente , diminue ou reste la même lorsque varie entre et . Plus précisément, si l’on note la variation en par , la pente de la droite passant par les points et est donnée par
Puisque , le signe de la variation est le même que celui de la pente de la droite passant par ces deux points.
À titre d’exemple, considérons la fonction constante et calculons la variation de cette fonction lorsque varie entre 0 et 5 :
Comme on pouvait s’y attendre, puisque cette fonction est constante et ne varie donc jamais, la variation entre et est égale à zéro. Cela est vrai pour la variation entre tout couple de points et :
Maintenant, considérons la fonction affine définie par . Supposons que nous voulons trouver la variation de cette fonction lorsque varie entre 2 et 2,5. Puisque la pente de cette droite est égale à , qui est strictement positif, on s’attend à ce que la variation de la fonction entre ces deux valeurs soit strictement positive. On peut simplement substituer ces valeurs dans la fonction et on obtient
Il s’agit de la variation de la fonction lorsque varie entre 2 et 2,5. Puisque est strictement positif, la fonction augmente entre ces deux valeurs de .
En utilisant l’équation , on peut exprimer en fonction de et de comme
Ainsi, on peut réécrire la variation comme étant
Ceci est la variation de la fonction lorsque varie d’une quantité à partir d’une valeur initiale .
Pour la fonction affine , lorsque varie entre 2 et 2,5 à partir de , ce-dernier varie d’une quantité
En utilisant cette quantité, nous pouvons aussi exprimer la variation de la fonction affine comme ce qui nous donne, comme prévu, le même résultat.
En général, puisque la quantité par laquelle varie, notée , est arbitraire, on peut utiliser une variable pour noter , et on peut donc exprimer la variation comme une fonction de . C’est cela que l’on appelle la fonction de variation de .
Définition : Fonction de variation
La fonction de variation d’une fonction en est définie par où représente la variation de et représente la variation de la fonction entre les points et .
En d’autres termes, la fonction de variation mesure la quantité par laquelle la fonction varie lorsque varie entre les points à , où la variable est la quantité par laquelle varie.
Il est instructif de considérer un exemple dans lequel on définit algébriquement la fonction de variation lorsque varie entre deux valeurs arbitraires.
Exemple 1: Définir algébriquement la fonction de variation
Lorsque varie de à , la fonction de variation pour est .
Réponse
Dans cet exemple, nous voulons déterminer la fonction de variation, notée , pour une fonction arbitraire lorsque varie entre et .
La fonction de variation d’une fonction en est définie par
Si varie entre et , nous avons pour valeur initiale et pour variation de entre et . En substituant ces termes dans l’expression de , la fonction de variation peut être exprimée algébriquement par rapport à et de la façon suivante :
Étudions à présent la fonction de variation d’une fonction affine.
Exemple 2: Déterminer la fonction de variation d’une fonction affine
Soit la fonction , la fonction de variation en .
Réponse
Dans cet exemple, nous voulons déterminer la fonction de variation de la fonction affine définie par en . On rappelle que la fonction de variation d’une fonction en est définie par
Pour en , la fonction de variation est donc
Cela montre que, dans le cas d’une fonction affine, la fonction de variation est indépendante de la valeur initiale et est directement proportionnelle à la différence entre les deux valeurs prises par , notée . On pouvait s’y attendre, puisque est une fonction affine, dont la représentation graphique est donc une droite.
En général, pour une fonction affine de la forme , la fonction de variation en est donnée par
La fonction de variation d’une fonction affine est proportionnelle à la pente de la droite.
Étudions à présent quelques autres exemples afin de nous entrainer et d’approfondir notre compréhension des fonctions de variation. Dans l’exemple suivant, nous allons déterminer la fonction de variation d’une fonction du second degré.
Exemple 3: Déterminer la fonction de variation d’une fonction du second degré
Déterminez la fonction de variation de la fonction en .
Réponse
Dans cet exemple, nous allons déterminer la variation de la fonction du second degré en .
On rappelle que la fonction de variation d’une fonction en est définie par
La fonction de variation de la fonction définie par en est donc
Trouvons à présent la variation d’une autre fonction du second degré.
Exemple 4: Déterminer la fonction de variation d’une fonction du second degré
Déterminez la fonction de variation de la fonction définie par en .
Réponse
Dans cet exemple, nous voulons déterminer la variation de la fonction du second degré en . On rappelle que la fonction de variation d’une fonction en est définie par
La fonction de variation de la fonction du second degré en est donc
Dans l’exemple suivant, nous allons trouver la fonction de variation d’une autre fonction du second degré, mais cette fois nous allons également trouver sa valeur pour une valeur de donnée, qui représente la variation de .
Exemple 5: Déterminer la valeur de la fonction de variation d’une fonction du second degré
Si est la fonction de variation de la fonction définie par , quelle est la valeur de lorsque ?
Réponse
Dans cet exemple, nous allons déterminer la fonction de variation de la fonction du second degré en puis trouver la valeur de cette fonction pour une variation de de . On rappelle que la fonction de variation d’une fonction en est définie par
La fonction de variation de la fonction définie par en est donc
Nous pouvons maintenant trouver la valeur de la fonction de variation en et on obtient
Cela signifie que pour une variation de d’une quantité de la valeur initiale , la fonction diminue de 2,36 unités.
Étudions à présent un exemple dans lequel nous allons trouver la fonction de variation d’une fonction trigonométrique.
Exemple 6: Déterminer la fonction de variation d’une fonction trigonométrique
Déterminez la fonction de variation de en .
Réponse
Dans cet exemple, nous voulons déterminer la fonction de variation de la fonction trigonométrique en . On rappelle que la fonction de variation d’une fonction en est définie par
La fonction de variation de la fonction définie par en est donc
En utilisant et l’identité trigonométrique des angles complémentaires, on obtient
La fonction de variation devient
Dans l’exemple suivant, nous allons trouver la fonction de variation d’une fonction exponentielle.
Exemple 7: Déterminer la fonction de variation d’une fonction exponentielle
Déterminer la fonction de variation de en .
Réponse
Dans cet exemple, nous voulons déterminer la fonction de variation de la fonction exponentielle en . On rappelle que la fonction de variation d’une fonction en est définie par
La fonction de variation de la fonction définie par en est donc
Trouvons à présent la fonction de variation d’une fonction du second degré, et déduisons-en un des coefficients inconnus de la fonction du second degré.
Exemple 8: Déterminer la fonction de variation d’une fonction du second degré et trouver la valeur de l’une de ses coefficients inconnues
Déterminez la fonction de variation de la fonction définie par en . De plus, trouvez la valeur du coefficient telle que .
Réponse
Dans cet exemple, nous voulons déterminer la fonction de variation de en puis utiliser la valeur donnée pour trouver le coefficient inconnu .
Rappelons que la fonction de variation d’une fonction en est défini par
Pour , la fonction de variation en est donc
Nous pouvons maintenant déterminer le coefficient en substituant dans la fonction de variation, ce qui nous donne :
Ainsi, l’égalité nous donne l’équation
Afin de déterminer la valeur de , on peut multiplier par , ce qui donne
En réarrangeant cette équation afin d’isoler dans le membre de gauche, on trouve
Par conséquent nous avons, au centième près,
Étudions à présent un exemple dans lequel nous trouvons la fonction de variation d’une fonction trigonométrique et en déduisons la valeur d’un coefficient inconnu.
Exemple 9: Déterminer la fonction de variation d’une fonction trigonométrique et trouver la valeur de l’un de ses coefficients inconnus
Déterminez la fonction de variation de en .
Si , trouvez .
Réponse
Dans cet exemple, nous voulons trouver la fonction de variation de la fonction définie par en puis utiliser la valeur donnée pour déterminer le coefficient inconnu . On rappelle que la fonction de variation d’une fonction en est définie par
La fonction de variation de la fonction définie par en est donc
En utilisant le fait que et l’identité , la fonction de variation devient
Si , on peut substituer cette valeur et on obtient
La résolution de cette équation en nous donne
Dans l’exemple suivant, nous voulons déterminer une valeur inconnue en utilisant une fonction de variation donnée en cette valeur et en la comparant avec la fonction de variation trouvée directement à partir de l’expression de la fonction donnée.
Exemple 10: Déterminer la valeur d’un inconnu sachant une équation du second degré et sa fonction de variation
Si la fonction de variation de la fonction en est , quelle est la valeur de ?
Réponse
Dans cet exemple, on nous donne la fonction de variation d’une fonction particulière en , et nous allons déterminer la valeur de en comparant le résultat obtenu en utilisant la formule pour la fonction de variation avec la fonction de variation donnée.
Rappelons que la fonction de variation d’une fonction en est définie par
La fonction de variation de la fonction définie par en est donc
En comparant ce résultat à la fonction de variation donnée, , nous avons l’équation
Puisque et que est un nombre quelconque, nous devons avoir
Dans le dernier exemple, nous allons trouver la fonction de variation d’une fonction du second degré et utiliser son expression une valeur donnée de la fonction pour déterminer la valeur de deux coefficients inconnus de la fonction du second degré.
Exemple 11: Déterminer la fonction de variation d’une fonction du second degré puis déterminer les valeurs de ses coefficients
Déterminez la fonction de variation de la fonction en , et, à partir de et , trouvez les valeurs des coefficients et .
Réponse
Dans cet exemple, nous voulons trouver la fonction de variation de en et utiliser le fait que et que pour déterminer les valeurs des coefficients inconnus et .
Rappelons que la fonction de variation d’une fonction en est définie par
La fonction de variation de la fonction définie par en est donc
En utilisant les égalités et , on peut calculer les valeurs des coefficients inconnus et en formant un système de deux équations à deux inconnues. En particulier,
Par conséquent, nous devons résoudre le système d’équation suivant :
En réarrangeant la première équation, on trouve , et en substituant cette expression dans la deuxième équation, on obtient
En résolvant cette équation en , on trouve
En substituant cette valeur dans la première expression, on trouve
Ainsi, avec l’équation de la fonction de variation , on trouve que
La fonction de variation est également liée au taux de variation d’une fonction , défini par et au taux de variation instantané, également connu sous le nom de dérivée première de en ,
Cependant, ces notions dépassent le cadre de cette fiche explicative et seront donc abordées ailleurs avec plus de détails.
Points clés
- La variation d’une fonction est un nombre qui mesure la quantité par laquelle une fonction varie entre et .
- Le signe de la variation indique dans quelle direction générale une fonction varie entre les deux points et , et est de même signe que la pente ou coefficient directeur, de la droite passant par ces deux points. En particulier, entre et ,
- si , alors augmente ;
- si , alors diminue ;
- si , alors ne varie pas.
- La fonction de variation d’une fonction en est définie par Cette fonction mesure à quel point la fonction varie lorsque varie entre et ou, en d’autres termes, lorsque a pour valeur initiale et varie d’une quantité .
- Une fonction de variation peut être utilisée pour déterminer un coefficient inconnu ou une valeur initiale pour diverses fonctions quand on nous donne la variation en un point particulier (c.-à-d.), ou bien d’autres informations sur la fonction .