Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment dΓ©terminer la valeur de la fonction de variation en un point pour une fonction donnΓ©e.
La variation est un nombre qui mesure Γ quel point la valeur de la fonction change lorsque varie Γ lβintΓ©rieur de lβensemble de dΓ©finition de la fonction, de Γ , comme indiquΓ© sur la figure.
Si lβon note la variation en par , on peut Γ©crire la variation comme
Le signe de nous indique si la valeur de la fonction augmente , diminue ou reste la mΓͺme lorsque varie entre et . Plus prΓ©cisΓ©ment, si lβon note la variation en par , la pente de la droite passant par les points et est donnΓ©e par
Puisque , le signe de la variation est le mΓͺme que celui de la pente de la droite passant par ces deux points.
Γ titre dβexemple, considΓ©rons la fonction constante et calculons la variation de cette fonction lorsque varie entre 0 et 5β:β
Comme on pouvait sβy attendre, puisque cette fonction est constante et ne varie donc jamais, la variation entre et est Γ©gale Γ zΓ©ro. Cela est vrai pour la variation entre tout couple de points et β:β
Maintenant, considΓ©rons la fonction affine dΓ©finie par . Supposons que nous voulons trouver la variation de cette fonction lorsque varie entre 2 et 2,5. Puisque la pente de cette droite est Γ©gale Γ , qui est strictement positif, on sβattend Γ ce que la variation de la fonction entre ces deux valeurs soit strictement positive. On peut simplement substituer ces valeurs dans la fonction et on obtient
Il sβagit de la variation de la fonction lorsque varie entre 2 et 2,5. Puisque est strictement positif, la fonction augmente entre ces deux valeurs de .
En utilisant lβΓ©quation , on peut exprimer en fonction de et de comme
Ainsi, on peut réécrire la variation comme étant
Ceci est la variation de la fonction lorsque varie dβune quantitΓ© Γ partir dβune valeur initiale .
Pour la fonction affine , lorsque varie entre 2 et 2,5 Γ partir de , ce-dernier varie dβune quantitΓ©
En utilisant cette quantitΓ©, nous pouvons aussi exprimer la variation de la fonction affine comme ce qui nous donne, comme prΓ©vu, le mΓͺme rΓ©sultat.
En gΓ©nΓ©ral, puisque la quantitΓ© par laquelle varie, notΓ©e , est arbitraire, on peut utiliser une variable pour noter , et on peut donc exprimer la variation comme une fonction de . Cβest cela que lβon appelle la fonction de variation de .
DΓ©finition : Fonction de variation
La fonction de variation dβune fonction en est dΓ©finie par oΓΉ reprΓ©sente la variation de et reprΓ©sente la variation de la fonction entre les points et .
En dβautres termes, la fonction de variation mesure la quantitΓ© par laquelle la fonction varie lorsque varie entre les points Γ , oΓΉ la variable est la quantitΓ© par laquelle varie.
Il est instructif de considΓ©rer un exemple dans lequel on dΓ©finit algΓ©briquement la fonction de variation lorsque varie entre deux valeurs arbitraires.
Exemple 1: DΓ©finir algΓ©briquement la fonction de variation
Lorsque varie de Γ , la fonction de variation pour est .
RΓ©ponse
Dans cet exemple, nous voulons dΓ©terminer la fonction de variation, notΓ©e , pour une fonction arbitraire lorsque varie entre et .
La fonction de variation dβune fonction en est dΓ©finie par
Si varie entre et , nous avons pour valeur initiale et pour variation de entre et . En substituant ces termes dans lβexpression de , la fonction de variation peut Γͺtre exprimΓ©e algΓ©briquement par rapport Γ et de la faΓ§on suivanteβ:β
Γtudions Γ prΓ©sent la fonction de variation dβune fonction affine.
Exemple 2: DΓ©terminer la fonction de variation dβune fonction affine
Soit la fonction , la fonction de variation en .
RΓ©ponse
Dans cet exemple, nous voulons dΓ©terminer la fonction de variation de la fonction affine dΓ©finie par en . On rappelle que la fonction de variation dβune fonction en est dΓ©finie par
Pour en , la fonction de variation est donc
Cela montre que, dans le cas dβune fonction affine, la fonction de variation est indΓ©pendante de la valeur initiale et est directement proportionnelle Γ la diffΓ©rence entre les deux valeurs prises par , notΓ©e . On pouvait sβy attendre, puisque est une fonction affine, dont la reprΓ©sentation graphique est donc une droite.
En gΓ©nΓ©ral, pour une fonction affine de la forme , la fonction de variation en est donnΓ©e par
La fonction de variation dβune fonction affine est proportionnelle Γ la pente de la droite.
Γtudions Γ prΓ©sent quelques autres exemples afin de nous entrainer et dβapprofondir notre comprΓ©hension des fonctions de variation. Dans lβexemple suivant, nous allons dΓ©terminer la fonction de variation dβune fonction du second degrΓ©.
Exemple 3: DΓ©terminer la fonction de variation dβune fonction du second degrΓ©
DΓ©terminez la fonction de variation de la fonction en .
RΓ©ponse
Dans cet exemple, nous allons dΓ©terminer la variation de la fonction du second degrΓ© en .
On rappelle que la fonction de variation dβune fonction en est dΓ©finie par
La fonction de variation de la fonction dΓ©finie par en est donc
Trouvons Γ prΓ©sent la variation dβune autre fonction du second degrΓ©.
Exemple 4: DΓ©terminer la fonction de variation dβune fonction du second degrΓ©
DΓ©terminez la fonction de variation de la fonction dΓ©finie par en .
RΓ©ponse
Dans cet exemple, nous voulons dΓ©terminer la variation de la fonction du second degrΓ© en . On rappelle que la fonction de variation dβune fonction en est dΓ©finie par
La fonction de variation de la fonction du second degrΓ© en est donc
Dans lβexemple suivant, nous allons trouver la fonction de variation dβune autre fonction du second degrΓ©, mais cette fois nous allons Γ©galement trouver sa valeur pour une valeur de donnΓ©e, qui reprΓ©sente la variation de .
Exemple 5: DΓ©terminer la valeur de la fonction de variation dβune fonction du second degrΓ©
Si est la fonction de variation de la fonction dΓ©finie par , quelle est la valeur de lorsque β?β
RΓ©ponse
Dans cet exemple, nous allons dΓ©terminer la fonction de variation de la fonction du second degrΓ© en puis trouver la valeur de cette fonction pour une variation de de . On rappelle que la fonction de variation dβune fonction en est dΓ©finie par
La fonction de variation de la fonction dΓ©finie par en est donc
Nous pouvons maintenant trouver la valeur de la fonction de variation en et on obtient
Cela signifie que pour une variation de dβune quantitΓ© de la valeur initiale , la fonction diminue de 2,36 unitΓ©s.
Γtudions Γ prΓ©sent un exemple dans lequel nous allons trouver la fonction de variation dβune fonction trigonomΓ©trique.
Exemple 6: DΓ©terminer la fonction de variation dβune fonction trigonomΓ©trique
DΓ©terminez la fonction de variation de en .
RΓ©ponse
Dans cet exemple, nous voulons dΓ©terminer la fonction de variation de la fonction trigonomΓ©trique en . On rappelle que la fonction de variation dβune fonction en est dΓ©finie par
La fonction de variation de la fonction dΓ©finie par en est donc
En utilisant et lβidentitΓ© trigonomΓ©trique des angles complΓ©mentaires, on obtient
La fonction de variation devient
Dans lβexemple suivant, nous allons trouver la fonction de variation dβune fonction exponentielle.
Exemple 7: DΓ©terminer la fonction de variation dβune fonction exponentielle
DΓ©terminer la fonction de variation de en .
RΓ©ponse
Dans cet exemple, nous voulons dΓ©terminer la fonction de variation de la fonction exponentielle en . On rappelle que la fonction de variation dβune fonction en est dΓ©finie par
La fonction de variation de la fonction dΓ©finie par en est donc
Trouvons Γ prΓ©sent la fonction de variation dβune fonction du second degrΓ©, et dΓ©duisons-en un des coefficients inconnus de la fonction du second degrΓ©.
Exemple 8: DΓ©terminer la fonction de variation dβune fonction du second degrΓ© et trouver la valeur de lβune de ses coefficients inconnues
DΓ©terminez la fonction de variation de la fonction dΓ©finie par en . De plus, trouvez la valeur du coefficient telle que .
RΓ©ponse
Dans cet exemple, nous voulons dΓ©terminer la fonction de variation de en puis utiliser la valeur donnΓ©e pour trouver le coefficient inconnu .
Rappelons que la fonction de variation dβune fonction en est dΓ©fini par
Pour , la fonction de variation en est donc
Nous pouvons maintenant dΓ©terminer le coefficient en substituant dans la fonction de variation, ce qui nous donneβ:β
Ainsi, lβΓ©galitΓ© nous donne lβΓ©quation
Afin de dΓ©terminer la valeur de , on peut multiplier par , ce qui donne
En rΓ©arrangeant cette Γ©quation afin dβisoler dans le membre de gauche, on trouve
Par conséquent nous avons, au centième près,
Γtudions Γ prΓ©sent un exemple dans lequel nous trouvons la fonction de variation dβune fonction trigonomΓ©trique et en dΓ©duisons la valeur dβun coefficient inconnu.
Exemple 9: DΓ©terminer la fonction de variation dβune fonction trigonomΓ©trique et trouver la valeur de lβun de ses coefficients inconnus
DΓ©terminez la fonction de variation de en .
Si , trouvez .
RΓ©ponse
Dans cet exemple, nous voulons trouver la fonction de variation de la fonction dΓ©finie par en puis utiliser la valeur donnΓ©e pour dΓ©terminer le coefficient inconnu . On rappelle que la fonction de variation dβune fonction en est dΓ©finie par
La fonction de variation de la fonction dΓ©finie par en est donc
En utilisant le fait que et lβidentitΓ© , la fonction de variation devient
Si , on peut substituer cette valeur et on obtient
La rΓ©solution de cette Γ©quation en nous donne
Dans lβexemple suivant, nous voulons dΓ©terminer une valeur inconnue en utilisant une fonction de variation donnΓ©e en cette valeur et en la comparant avec la fonction de variation trouvΓ©e directement Γ partir de lβexpression de la fonction donnΓ©e.
Exemple 10: DΓ©terminer la valeur dβun inconnu sachant une Γ©quation du second degrΓ© et sa fonction de variation
Si la fonction de variation de la fonction en est , quelle est la valeur de β?β
RΓ©ponse
Dans cet exemple, on nous donne la fonction de variation dβune fonction particuliΓ¨re en , et nous allons dΓ©terminer la valeur de en comparant le rΓ©sultat obtenu en utilisant la formule pour la fonction de variation avec la fonction de variation donnΓ©e.
Rappelons que la fonction de variation dβune fonction en est dΓ©finie par
La fonction de variation de la fonction dΓ©finie par en est donc
En comparant ce rΓ©sultat Γ la fonction de variation donnΓ©e, , nous avons lβΓ©quation
Puisque et que est un nombre quelconque, nous devons avoir
Dans le dernier exemple, nous allons trouver la fonction de variation dβune fonction du second degrΓ© et utiliser son expression une valeur donnΓ©e de la fonction pour dΓ©terminer la valeur de deux coefficients inconnus de la fonction du second degrΓ©.
Exemple 11: DΓ©terminer la fonction de variation dβune fonction du second degrΓ© puis dΓ©terminer les valeurs de ses coefficients
DΓ©terminez la fonction de variation de la fonction en , et, Γ partir de et , trouvez les valeurs des coefficients et .
RΓ©ponse
Dans cet exemple, nous voulons trouver la fonction de variation de en et utiliser le fait que et que pour dΓ©terminer les valeurs des coefficients inconnus et .
Rappelons que la fonction de variation dβune fonction en est dΓ©finie par
La fonction de variation de la fonction dΓ©finie par en est donc
En utilisant les égalités et , on peut calculer les valeurs des coefficients inconnus et en formant un système de deux équations à deux inconnues. En particulier,
Par consΓ©quent, nous devons rΓ©soudre le systΓ¨me dβΓ©quation suivantβ:β
En réarrangeant la première équation, on trouve , et en substituant cette expression dans la deuxième équation, on obtient
En rΓ©solvant cette Γ©quation en , on trouve
En substituant cette valeur dans la première expression, on trouve
Ainsi, avec lβΓ©quation de la fonction de variation , on trouve que
La fonction de variation est Γ©galement liΓ©e au taux de variation dβune fonction , dΓ©fini par et au taux de variation instantanΓ©, Γ©galement connu sous le nom de dΓ©rivΓ©e premiΓ¨re de en ,
Cependant, ces notions dΓ©passent le cadre de cette fiche explicative et seront donc abordΓ©es ailleurs avec plus de dΓ©tails.
Points clΓ©s
- La variation dβune fonction est un nombre qui mesure la quantitΓ© par laquelle une fonction varie entre et .
- Le signe de la variation indique dans quelle direction gΓ©nΓ©rale une fonction varie entre les deux points et , et est de mΓͺme signe que la pente ou coefficient directeur, de la droite passant par ces deux points. En particulier, entre et ,
- si , alors augmenteβ;β
- si , alors diminueβ;β
- si , alors ne varie pas.
- La fonction de variation dβune fonction en est dΓ©finie par Cette fonction mesure Γ quel point la fonction varie lorsque varie entre et ou, en dβautres termes, lorsque a pour valeur initiale et varie dβune quantitΓ© .
- Une fonction de variation peut Γͺtre utilisΓ©e pour dΓ©terminer un coefficient inconnu ou une valeur initiale pour diverses fonctions quand on nous donne la variation en un point particulier (c.-Γ -d.), ou bien dβautres informations sur la fonction .
