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Fiche explicative de la leçon : Fonctions définies par morceaux Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à identifier, écrire et évaluer une fonction définie par morceaux.

Une fonction définie par morceaux est une fonction pour laquelle différentes règles sont utilisées pour déterminer l’image de celle-ci sur différents intervalles de l’ensemble de définition de la fonction. Une fonction bien connue que nous pouvons écrire sous la forme d’une fonction définie par morceaux est la fonction valeur absolue, 𝑓(𝑥)=|𝑥|. Le graphique de 𝑦=𝑓(𝑥), représentatif à cette fonction, est tracé sur la figure ci-dessous.

On peut voir que lorsque 𝑥 est inférieur à 0, la représentation graphique de la fonction est une droite de pente 1, et lorsque 𝑥 est supérieur à 0, c’est une droite de pente 1. Lorsque l’on définit la fonction d’expression 𝑓(𝑥) par morceaux, l’équation de chacune de ces droites est appelée une sous-fonction, et l’intervalle sur lequel chaque droite est définie et appelé un sous-domaine. On peut définir chaque sous-domaine par une inégalité.

Remarquez que les deux droites se rencontrent à l’origine. Une seule sous-fonction peut être utilisée pour déterminer l’image de la fonction au point 0, on peut donc définir la fonction soit par

  • 𝑓(𝑥)=𝑥 sur le sous-domaine 𝑥0 ,
  • 𝑓(𝑥)=𝑥 sur le sous-domaine 𝑥>0 ,

soit par

  • 𝑓(𝑥)=𝑥 sur le sous-domaine 𝑥<0 ,
  • 𝑓(𝑥)=𝑥 sur le sous-domaine 𝑥0.

L’équation d’une fonction par morceaux est écrite avec une accolade pour indiquer qu’elle est composée de plus d’une sous-fonction, de sorte que nous pourrions définir 𝑓(𝑥)=|𝑥| soit comme la fonction 𝑓(𝑥)=𝑥𝑥0,𝑥𝑥>0,sisi soit comme la fonction 𝑓(𝑥)=𝑥𝑥<0,𝑥𝑥0.sisi

Dans les deux cas, nous pourrions utiliser ce que nous avons écrit pour évaluer la fonction sur un point quelconque, mais lorsque l’affectation est arbitraire, la convention consiste à définir des sous-domaines incluant le point à gauche et excluant le point à droite. Supposons que nous ayons défini 𝑓(𝑥)=|𝑥| en suivant cette convention de la façon suivante 𝑓(𝑥)=𝑥𝑥<0,𝑥𝑥0,sisi et que nous voulions calculer la valeur de 𝑓(10). Afin de déterminer quelle sous-fonction appliquer, nous devons déterminer à quel sous-domaine le point 10 appartient. Nous savons que 10 appartient au sous-domaine 𝑥<0, et que 𝑓(𝑥)=𝑥 lorsque 𝑥<0.

En évaluant cette sous-fonction au point 𝑥=10, on obtient 𝑓(10)=(10)=10, qui est la même valeur de 𝑓(10) que nous aurions obtenue si nous avions évalué la fonction valeur absolue en utilisant sa définition originale.

Définition : Fonction définie par morceaux

Une fonction définie par morceaux est une fonction constituée de plusieurs sous-fonctions, chaque sous-fonction étant définie sur un intervalle de l’espace de définition de la fonction principale, appelé sous-domaine. L’espace de définition de la fonction est égal à l’union des sous-domaines.

On écrit la définition d’une fonction définie par morceaux en utilisant une accolade afin d’indiquer qu’elle se compose de plusieurs sous-fonctions. Un exemple de fonction définie par morceaux est la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥𝑥<0,𝑥𝑥0,sisi𝑓(𝑥)=𝑥 sur le sous-domaine 𝑥<0, et où 𝑓(𝑥)=𝑥 sur le sous-domaine 𝑥0.

Il peut parfois arriver que les différents morceaux du graphique d’une fonction définie par morceaux ne se rencontrent pas en un même point. Par exemple, considérons le graphique 𝑦=𝑓(𝑥) pour une certaine fonction définie par morceaux. On donne également la définition de la fonction.

𝑓(𝑥)=34𝑥+14<𝑥<4,2𝑥+84𝑥7.sisi

Un point « plein » indique que la sous-fonction est bien définie en ce point, tandis qu’un point « vide » indique que la sous-fonction n’est pas définie. Cela signifie que les coordonnées en 𝑥 des points représentés par des cercles pleins sont incluses dans le sous-domaine de la sous-fonction correspondante, tandis que les coordonnées en 𝑥 des points représentés par des cercles vides sont exclues du sous-domaine de la sous-fonction correspondante.

Sur notre graphique, le segment représentant la première sous-fonction a des cercles vides aux deux extrémités, de sorte que les coordonnées en 𝑥 de ces extrémités ne sont pas incluses dans le sous-domaine de cette sous-fonction. Ainsi, le sous-domaine de la première sous-fonction, exprimé par une inégalité, consiste en l’ensemble des points vérifiant 4<𝑥<4.

Le segment représentant la deuxième sous-fonction comporte des cercles pleins en ses deux extrémités, de sorte que les coordonnées en 𝑥 de ces extrémités appartiennent au sous-domaine de cette sous-fonction. Ainsi, le sous-domaine de la deuxième sous-fonction, exprimé par une inégalité, consiste en l’ensemble des points satisfaisant 4𝑥7.

En prenant l’union de ces deux sous-domaines, on trouve l’ensemble de définition de la fonction principale. Puisque ni 4 ni 4 ne sont inclus dans le sous-domaine de la première sous-fonction, et que 4 et 7 sont tous deux inclus dans le sous-domaine de la deuxième sous-fonction, la fonction principale est définie à la fois en 𝑥=4 et en 𝑥=7, mais pas en 𝑥=4. Donc, l’ensemble de définition de la fonction principale, exprimé par une inégalité, est l’ensemble des points satisfaisant 4<𝑥7.

Regardons maintenant quelques exemples d’évaluation de fonctions définies par morceaux en des points donnés.

Exemple 1: Évaluation d’une fonction définie par morceaux en un point donné

Étant donnée la fonction 𝑓(𝑥)=6𝑥2𝑥<6,9𝑥16𝑥8,5𝑥+4𝑥>8,sisisi déterminez la valeur de 𝑓(4).

Réponse

On peut remarquer que la fonction d’expression 𝑓(𝑥) donnée par l’énoncé, est une fonction définie par morceaux. Rappelons qu’une fonction définie par morceaux est une fonction constituée de plusieurs sous-fonctions, chaque sous-fonction étant définie sur un intervalle de l’ensemble de définition de la fonction principale, appelé sous-domaine.

Nous voulons évaluer cette fonction définie par morceaux au point 𝑥=4. Pour ce faire, nous devons déterminer si 4 est dans un des sous-domaines et, le cas échéant, duquel. La fonction principale a trois sous-domaines donnés comme inégalités:

  • 𝑥<6,
  • 6𝑥8,
  • 𝑥>8.

On peut voir que 4 est dans le sous-domaine 6𝑥8, or la fonction est définie par 𝑓(𝑥)=9𝑥1 lorsque 6𝑥8.

Maintenant que nous savons quelle sous-fonction appliquer pour trouver l’image de la fonction en 4, il suffit d’évaluer cette sous-fonction au point 𝑥=4. Ce faisant, nous obtenons 𝑓(4)=9(4)1=9(16)1=1441=145.

Ainsi, la valeur de 𝑓(4) est égale à 145.

Dans l’exemple suivant, nous allons évaluer une fonction définie par morceaux en utilisant le concept de fonction composée.

Exemple 2: Évaluation d’une fonction définie par morceaux en un point donné

Considérons la fonction 𝑓(𝑥)=𝑥+4𝑥>4,2𝑥1𝑥4,3𝑥<1.sisisi

Calculez 𝑓[𝑓(2)].

Réponse

Dans ce problème, on nous donne la fonction définie par morceaux d’expression 𝑓(𝑥). Rappelons qu’une fonction définie par morceaux est une fonction constituée de plusieurs sous-fonctions où chacun des sous-fonctions est définie sur un intervalle de l’ensemble de définition, appelé un sous-domaine.

Ici, on nous demande de déterminer 𝑓[𝑓(2)]. Pour évaluer 𝑓[𝑓(𝑥)] on utilise une fonction composée, qui peut aussi s’écrire (𝑓𝑓)(𝑥). Pour évaluer 𝑓[𝑓(𝑥)] en une valeur spécifique de 𝑥, on évalue d’abord 𝑓(𝑥) en cette valeur de 𝑥. Puis on évalue 𝑓(𝑥) encore une fois, cette fois en utilisant l’image obtenue précédemment comme argument.

Ainsi, pour déterminer 𝑓[𝑓(2)], il faut d’abord calculer 𝑓(2). On voit que 2 est dans le sous-domaine 1𝑥4, et la fonction est définie par 𝑓(𝑥)=2𝑥 lorsque 1𝑥4.

En évaluant cette sous-fonction au point 𝑥=2, on obtient 𝑓(2)=2(2)=4.

La fonction 𝑓[𝑓(𝑥)] évaluée en 𝑥=2 est égale à 𝑓[𝑓(2)]. Puisque l’on sait que 𝑓(2)=4, on a 𝑓[𝑓(2)]=𝑓(4).

Pour savoir quelle sous-fonction nous devons appliquer pour calculer l’image de 4, on doit déterminer si 4 est dans un des sous-domaines, et si oui, dans lequel. Le point 4 est dans le sous-domaine 1𝑥4, et, pour les points 𝑥 dans ce sous-domaine, la fonction est définie par 𝑓(𝑥)=2𝑥.

En évaluant cette fonction au point 𝑥=4, on trouve 𝑓(4)=2(4)=8.

Donc, la valeur de 𝑓[𝑓(2)] pour cette fonction définie par morceaux, est égale à 8.

Dans l’exemple suivant, nous allons évaluer une fonction définie par morceaux en trois points distincts afin de compléter un tableau de valeurs.

Exemple 3: Remplissage d’un tableau de valeurs pour une fonction définie par morceaux

Calculez les entrées manquantes dans le tableau de valeurs de la fonction 𝑔(𝑥)=2𝑥<2,32𝑥<3,2𝑥3.sisisi

𝑥303
𝑔(𝑥)

Réponse

L’énoncé nous donne la fonction définie par morceaux d’expression 𝑔(𝑥). Rappelons qu’une fonction définie par morceaux est une fonction constituée de plusieurs sous-fonctions, chacune des sous-fonctions étant définie sur un intervalle de l’ensemble de définition de la fonction principale, appelé sous-domaine. Pour compléter les valeurs manquantes dans le tableau, nous devons décider quelle sous-fonction utiliser pour trois arguments différents, c’est-à-dire pour les trois valeurs de 𝑥 suivantes:3, 0, et 3.

Pour ce faire, nous devons déterminer à quels sous-domaines appartiennent 3, 0, et 3, si tant est qu’il en existe. La fonction principale a trois sous-domaines donnés par les inégalités suivantes:

  • 𝑥<2,
  • 2𝑥<3,
  • 𝑥3.

Commençons par décider quelle sous-fonction utiliser pour calculer l’image de 3. Puisque le sous-domaine 𝑥<2 contient le point 𝑥=3, on doit appliquer la sous-fonction correspondante pour calculer l’image de la fonction en ce point. Ainsi, nous devons évaluer la sous-fonction 𝑔(𝑥)=2 en 𝑥=3 et, ce faisant, nous obtenons 𝑔(3)=2.

Rappelons que, d’après la puissance d’un exposant négatif, nous avons 𝑎=1𝑎 pour tout nombre réel 𝑛.

Ainsi, nous pouvons réécrire 2 de la façon suivante 2=12=18, de sorte que la première valeur manquante dans notre tableau est 18.

À présent, déterminons quelle sous-fonction appliquer lorsque l’argument est égal à 0. Le sous-domaine 2𝑥<3 contient le point 𝑥=0, nous devons donc appliquer la sous-fonction correspondant à ce sous-domaine pour cet argument. On doit donc évaluer la sous-fonction 𝑔(𝑥)=3 au point 𝑥=0, et on obtient 𝑔(0)=3.

On rappelle que, la valeur de la puissance d’exposant nul pour toute base non nulle élevée à la puissance 0 est égale à 1. Ainsi, 𝑎=1 dès lors que 𝑎0. Nous pouvons donc réécrire 𝑔(0)=3 de la façon suivante 𝑔(0)=1, de sorte que la deuxième valeur manquante dans notre tableau est égale à 1.

Enfin, déterminons quelle sous-fonction appliquer lorsque l’argument est égal à 3. Puisque le sous-domaine 𝑥3 contient le point 𝑥=3, on doit appliquer la sous-fonction correspondant à ce domaine. En évaluant la sous-fonction 𝑔(𝑥)=2 en 𝑥 égal à 3, on obtient 𝑔(3)=2=8, de sorte que la troisième valeur manquante dans notre tableau est égale à 8. Maintenant que nous connaissons les trois valeurs manquantes dans notre tableau, nous pouvons le compléter, de sorte que l’on obtient le tableau suivant:

𝑥303
𝑔(𝑥)1818

Nous allons maintenant nous pencher sur les représentations graphiques de fonctions définies par morceaux. Premièrement, nous évaluerons une fonction définie par morceaux en un point donné en utilisant la représentation graphique de la fonction.

Exemple 4: Évaluation d’une fonction définie par morceaux en un point donné en utilisant sa représentation graphique

Calculez 𝑓(0) en utilisant la représentation graphique ci-dessous.

Réponse

Nous pouvons constater que ce graphique est représentatif d’une fonction définie par morceaux, c’est-à-dire d’une fonction représentée par plusieurs sous-fonctions, chacune définie sur un intervalle de l’ensemble de définition, appelé un sous-domaine. En effet, le graphique se compose de cinq segments distincts avec des cercles vides ou pleins aux extrémités, ainsi que des deux points de coordonnées (0;4) et (8;6).

Rappelons qu’un cercle plein représente un point où la sous-fonction est définie, tandis qu’un cercle vide représente un point où la sous-fonction n’est pas définie.

Nous voulons évaluer au point 𝑥=0 la fonction dont le graphique est donné sur la figure. Pour ce faire, on peut déterminer l’intersection de ce graphique avec la droite d’équation 𝑥=0.

On voit que la droite d’équation 𝑥=0 passe par le point vide (0;8) et le point plein (0;4). Étant donné que le point (0;8) n’appartient pas au graphique de la fonction, la valeur de 𝑓(0) doit être la coordonnée en 𝑦 du point (0;4), qui vaut 4.

Enfin, nous allons étudier un exemple d’évaluation d’une fonction définie par morceaux en un point qui n’appartient à aucun des sous-domaines.

Exemple 5: Évaluation d’une fonction définie par morceaux en un point donné à partir de sa représentation graphique

Calculez 𝑓(1).

Réponse

Puisque le graphique est constitué de deux morceaux de courbes différentes, il représente une fonction définie par morceaux, c’est-à-dire une fonction qui est représentée par plusieurs sous-fonctions, chacune étant définie sur un intervalle de l’ensemble de définition de la fonction principale, appelée sous-domaine.

On voit que les deux courbes se joignent en un point représenté par un cercle vide aux coordonnées (1;5). Rappelons qu’un cercle vide en un certain point représente le fait que la sous-fonction n’est pas définie en ce point.

Nous voulons évaluer au point 𝑥=1 la fonction dont le graphique est donnée par la figure. Pour ce faire, nous pouvons déterminer le point d’intersection entre le graphique et la droite d’équation 𝑥=1.

On voit que la droite 𝑥=1 ne passe que par le cercle vide au point (1;5). Étant donné que la fonction n’est pas définie au point (1;5), 1 n’est pas dans l’ensemble de définition de la fonction, et donc la valeur de 𝑓(1) est indéfinie.

Remarque :

Même si notre fonction est indéfinie au point (1;5), elle est définie en divers autres points. Par exemple, nous pouvons voir sur notre graphique que la courbe de gauche passe par le point (1;1), et que la courbe de droite passe par le point (5;1). Cela signifie que notre fonction est définie à la fois sur 1 et sur 5. En fait, cette fonction est définie en un nombre infini de points, puisque chacune des courbes contient un nombre infini de points.

Terminons à présent en récapitulant quelques points clés.

Points clés

  • Une fonction définie par morceaux est une fonction constituée de plusieurs sous-fonctions, chacune de ces sous-fonctions étant définie sur un intervalle de l’ensemble de définition de la fonction principale, appelée sous-domaine. L’ensemble de définition de la fonction définie par morceaux et égal à l’union des sous-domaines.
  • Pour décider quelle règle utiliser pour évaluer une fonction par morceaux en un point donné, nous devons déterminer à quel sous-domaine appartient ce point.
  • On peut parfois utiliser la représentation graphique d’une fonction par morceaux pour l’évaluer en un point donné.
  • Un cercle plein sur le graphique représente le fait que la coordonnée en 𝑥 du point où il apparait est incluse dans le sous-ensemble de définition de la sous-fonction correspondante, tandis qu’un cercle vide indique que la coordonnée en 𝑥 du point n’est pas incluse dans le sous-ensemble de définition de la sous-fonction.
  • Lorsqu’un point n’est inclus dans aucun des sous-domaines d’une fonction définie par morceaux, la fonction n’est pas définie en ce point.

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