Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à écrire des formules explicites et de récurrence pour les suites géométriques afin de déterminer la valeur du terme de rang d'une suite géométrique, et à déterminer le rang d'un terme étant donnée sa valeur.
Il existe de nombreuses applications réelles de suites géométriques dans les sciences, le commerce, la planification financière patrimoniale et la santé. Par exemple, les physiciens utilisent des suites géométriques pour calculer la quantité de matière radioactive qui reste après un nombre quelconque donné de demi-vies du matériau. Pendant chaque demi-vie, le matériau se décompose de .
Une suite est une collection de nombres (ou d’autres objets) énumérés qui suivent habituellement un modèle. Les éléments individuels dans une suite, pour , sont appelés les termes et sont marqués par l’indice , qui nous indique la position du terme donné dans la suite.
Maintenant, rappelons la définition d’une suite géométrique.
Définition : Suite géométrique
Une suite géométrique, également appelée progression géométrique, est une suite de nombres non nuls qui a une raison constante non nul entre deux termes consécutifs quelconques : où est le terme de rang dans la suite.
La suite géométrique en général peut également être représentée comme suit :
Pour calculer la raison d’une suite géométrique donnée, on peut diviser n’importe quel terme de la suite par le terme qui le précède immédiatement (par exemple, on pourrait diviser le troisième terme par le deuxième terme, ou le deuxième terme par le premier terme dans la suite ; dans les deux cas, on obtient le même nombre pour une suite géométrique). Par exemple, avec la suite géométrique , on peut bien voir une raison entre deux termes consécutifs :
Cette suite peut être représentée comme suit :
Comme on peut le voir dans la définition, la formule de récurrence de la suite géométrique peut être écrite comme
Dans certains cas, on peut nous donner une suite géométrique comme relation sous cette forme, qu’on peut utiliser pour déterminer la raison. Une suite géométrique donnée peut être définie en utilisant cette relation avec un premier terme donné . Pour l’exemple ci-dessus, la formule de récurrence de la suite géométrique avec est
Jusqu’à présent, nous avons examiné des suites géométriques définies soit comme une suite de nombres ou comme une relation de récurrence , mais on peut aussi l’écrire sous une forme générale pour obtenir une formule exacte du terme de rang . Si l’on note le premier terme comme pour simplifier, la forme générale d’une suite géométrique est
Le deuxième terme de la suite géométrique est calculé en multipliant le premier terme, , par pour obtenir . Le troisième terme est le deuxième terme multiplié par , pour donner .
En d’autres termes, chaque terme est multiplié par le même nombre, , pour produire le terme suivant. On peut noter que, à partir de la forme générale de la suite géométrique, on peut aussi écrire une formule explicite pour le terme de rang comme
Montrons comment cette formule explicite pour le terme de rang peut être utilisée pour trouver un terme spécifique dans la suite.
Exemple 1: Déterminer la valeur d’un certain terme d’une suite géométrique étant donné son terme général
Déterminez la valeur du deuxième terme de la suite géométrique , où .
Réponse
Puisqu’on nous a donné la formule générale du terme de rang et qu’on veut trouver le deuxième terme, il suffit de remplacer dans la formule (nous le faisons puisque la suite est définie pour , donc on sait que le premier terme correspond à ; par conséquent, doit nous donner le deuxième terme). Cela nous donne
Comme nous venons de le voir, en utilisant une formule donnée pour le terme de rang pour trouver un terme spécifique dans la suite est un processus assez simple, car il suffit de substituer la valeur correcte dans . Voyons comment cette formule peut être obtenue à partir d’une suite géométrique.
Rappelons que nous avions auparavant la suite
Nous pouvons voir que, ici, le premier terme est et la raison est . Ainsi, la formule explicite pour cette suite est
Maintenant, considérons un exemple où nous devons déterminer la formule explicite pour une suite géométrique définie en fonction d’une formule de récurrence.
Exemple 2: Déterminer la formule explicite à partir de la formule de récurrence d’une suite géométrique
La formule de récurrence pour une suite géométrique est et pour . Donnez une formule explicite pour la suite.
Réponse
Dans cet exemple, nous voulons déterminer la formule explicite pour une suite géométrique donnée définie en fonction d’une formule de récurrence.
Rappelons qu’une suite est géométrique s’il y a une raison, , entre deux termes consécutifs quelconques :
On peut aussi réarranger cette formule de récurrence pour la suite géométrique comme
Maintenant, notons que la relation donnée, , est sous cette forme, ainsi la raison est
De plus, rappelons que la formule explicite pour une suite géométrique de valeur de départ et de raison est
Par conséquent, la formule explicite pour la suite géométrique donnée de valeur de départ et de raison est
Nous allons maintenant regarder quelques exemples où nous déterminons la formule explicite ou le terme général pour des suites géométriques définies comme une suite de nombres. Dans l’exemple suivant, nous considérons une suite géométrique croissante et divergente, où tous les termes sont positifs.
Exemple 3: Déterminer le terme général d’une suite donnée
Déterminez une formule pour le terme général de la suite géométrique .
Réponse
Dans cet exemple, nous voulons trouver la formule pour le terme général d’une suite géométrique donnée.
Rappelons qu’une suite est géométrique s’il y a une raison entre deux termes consécutifs quelconques. La formule explicite pour une suite géométrique de valeur de départ et de raison est
La première étape consiste à établir la raison de la suite géométrique, que nous pouvons trouver à partir de la raison de deux termes consécutifs quelconques. On peut utiliser la raison des 2e et 1er termes dans la suite pour obtenir
Par conséquent, la formule explicite pour la suite géométrique donnée de valeur de départ et de raison est
Maintenant, considérons un exemple où nous déterminons le terme général d’une suite géométrique croissante et convergente où tous les termes sont négatifs.
Exemple 4: Déterminer le terme général d’une suite géométrique donnée
Déterminez, en fonction de , le terme général de la suite géométrique .
Réponse
Dans cet exemple, nous voulons trouver la formule pour le terme général d’une suite géométrique donnée.
Rappelons qu’une suite est géométrique s’il y a une raison entre deux termes consécutifs quelconques. La formule explicite pour une suite géométrique de valeur de départ et de raison est
La première étape consiste à établir la raison de la suite géométrique, que nous pouvons trouver à partir de la raison de deux termes consécutifs quelconques. On peut utiliser la raison des 2e et 1er termes dans la suite pour obtenir
Par conséquent, la formule explicite pour la suite géométrique donnée de valeur de départ et de raison est
Dans l’exemple suivant, nous déterminerons le terme général d’une suite géométrique décroissante et convergente où tous les termes sont positifs.
Exemple 5: Déterminer le terme général d’une suite donnée
Déterminez, en fonction de , le terme général de la suite .
Réponse
Dans cet exemple, nous voulons trouver la formule pour le terme général d’une suite géométrique donnée.
Rappelons qu’une suite est géométrique s’il y a une raison entre deux termes consécutifs quelconques. La formule explicite pour une suite géométrique de valeur de départ et de raison est
La première étape consiste à établir la raison de la suite géométrique, que nous pouvons trouver à partir de la raison de deux termes consécutifs quelconques. On peut utiliser la raison des 2e et 1er termes dans la suite pour obtenir
Par conséquent, la formule explicite pour la suite géométrique donnée de valeur de départ et de raison est
En général, en appliquant la relation de récurrence à plusieurs reprises, nous pouvons montrer que ce qui nous permet de déterminer la valeur du terme de rang dans la suite, , à partir du terme de rang , noté :
Maintenant, considérons un exemple où nous devons trouver les trois premiers termes d’une suite géométrique étant données sa raison et la valeur d’un certain terme dans la suite.
Exemple 6: Déterminer les termes d’une suite géométrique en fonction de sa raison et de la valeur d’un certain terme
Déterminez les trois premiers termes d’une suite géométrique sachant que et que la raison est .
Réponse
Dans cet exemple, nous voulons déterminer les trois premiers termes d’une suite géométrique à partir de la valeur d’un certain terme et de sa raison.
Rappelons qu’une suite est géométrique s’il y a une raison, , entre deux termes consécutifs quelconques
On peut aussi réarranger cette formule de récurrence pour la suite géométrique comme
En appliquant cette formule à plusieurs reprises, nous pouvons montrer que
Cela nous permet de déterminer la valeur de la position dans la suite, , à partir de la valeur, .
En utilisant cette formule avec et et en substituant la valeur donnée et la raison, nous avons ce qui suit :
Les deux autres termes peuvent être trouvés en multipliant ce terme par la raison :
Nous notons que nous pourrions également obtenir cette réponse en divisant simplement le sixième terme par la raison à plusieurs reprises pour énumérer les termes précédents de à , même si nous ne sommes intéressés que par les trois premiers termes , et .
Ainsi, les trois premiers termes d’une suite géométrique avec une valeur donnée de et sa raison sont
Dans l’exemple suivant, nous déterminerons trois nombres consécutifs d’une suite géométrique à partir d’une valeur donnée pour leur somme et leur produit.
Exemple 7: Déterminer les termes d’une suite géométrique en fonction de leur somme et de leur produit
Déterminez les trois nombres consécutifs d’une suite géométrique, sachant que la somme des termes est et que le produit est 216.
Réponse
Dans cet exemple, nous voulons trouver trois nombres consécutifs d’une suite géométrique qui vérifient une relation particulière pour la somme et le produit des termes.
Rappelons qu’une suite est géométrique s’il y a une raison, , entre deux termes consécutifs quelconques :
On peut aussi réarranger cette formule de récurrence pour la suite géométrique comme
Nous voulons déterminer les termes , et dans une suite géométrique qui répond aux conditions
En utilisant la formule de récurrence, nous pouvons réécrire ces conditions avec et ; en d’autres termes, si le premier nombre est , alors les deux autres sont et .
En utilisant cela, la première équation devient tandis que la deuxième équation devient
Ainsi, le deuxième terme de la suite est . Afin de trouver les deux autres termes, nous devons déterminer la raison à partir de la première équation. Les premier et dernier termes peuvent être trouvés à partir de
Si l’on multiplie la première équation par et substituer la deuxième équation, on obtient
Ainsi, la raison est ou . Pour , les premier et dernier termes sont tandis que pour , les premier et dernier termes sont
Donc, dans les deux cas, les trois nombres consécutifs de la suite géométrique sont
Comme nous l’avons vu jusqu’à présent, pour déterminer une valeur spécifique du terme de rang dans une suite géométrique, nous devons substituer la valeur donnée de dans la formule explicite (c’est-à-dire, pour le 5e terme, nous substituons ).
Mais que se passe-t-il si nous voulons faire l’inverse ? On veut, pour une valeur donnée dans une suite, déterminer la valeur de , connue sous le nom d’ordre du terme, qui est la position où la valeur apparaît dans la suite, de sorte que la formule explicite de donne cette valeur.
Pour , on peut le faire en utilisant la formule explicite en l’isolant :
En prenant le logarithme de la base des deux membres de l’équation, on obtient :
Cela fonctionne si les termes de la suite géométrique sont tous positifs avec ou tous négatifs avec car la raison suivante est toujours positive dans les deux cas :
Par exemple, considérons la suite géométrique
C’est une suite géométrique décroissante de raison et de valeur de départ . La formule exacte de cette suite est
Afin de déterminer l’ordre de la valeur , on veut déterminer la valeur de telle que ou
Alors, en utilisant le résultat ci-dessus, nous avons
Ainsi, l’ordre de cette valeur est 7 (c.-à-d. ), que nous pouvons également vérifier en substituant dans la formule exacte :
Maintenant, considérons un exemple où nous devons déterminer l’ordre d’un terme d’une valeur donnée pour une suite géométrique définie en fonction d’une formule explicite.
Exemple 8: Déterminer l’ordre d’un terme dans une suite géométrique en fonction de sa valeur et de son terme général
Déterminez l’ordre du terme dont la valeur est 4 374 dans la suite géométrique .
Réponse
Dans cet exemple, nous voulons déterminer l’ordre d’une valeur particulière qui apparaît dans une suite géométrique donnée définie avec une formule exacte.
Rappelons qu’une suite est géométrique s’il y a une raison entre deux termes consécutifs quelconques. L’ordre d’une valeur qui apparaît dans une suite géométrique est la position ou la valeur de où nous obtenons la valeur particulière.
Nous voulons déterminer la valeur de avec ou de sorte que
Nous pouvons réarranger cette formule et résoudre pour déterminer pour obtenir
Ainsi, l’ordre du terme dont la valeur est 4 374 est (c.-à-d. ).
Le nombre de termes dans une suite géométrique est équivalent à l’ordre du dernier terme dans la suite, qui est .
Dans l’exemple suivant, nous déterminerons le nombre de termes d’une suite géométrique définie comme une suite de nombres. Nous le ferons en déterminant d’abord le terme général de la suite, puis en déterminant l’ordre du dernier terme pour nous donner le nombre total de termes.
Exemple 9: Déterminer le nombre de termes d’une suite géométrique donnée
Déterminez le nombre de termes de la suite géométrique .
Réponse
Dans cet exemple, nous voulons déterminer le nombre de termes d’une suite géométrique donnée.
Rappelons qu’une suite est géométrique s’il y a une raison entre deux termes consécutifs quelconques. L’ordre d’une valeur qui apparaît dans une suite géométrique est la position ou la valeur de où nous obtenons la valeur particulière.
Le nombre de termes est équivalent à l’ordre du dernier terme de la suite, que nous pouvons déterminer à partir de la formule explicite. La formule explicite pour une suite géométrique de valeur de départ et de raison est
La première étape consiste à établir la raison de la suite géométrique, que nous pouvons trouver à partir de la raison de deux termes consécutifs quelconques. On peut utiliser la raison des 2e et 1er termes dans la suite pour obtenir
Par conséquent, la formule explicite pour la suite géométrique donnée de valeur de départ et de raison est
Pour déterminer le nombre de termes, on veut déterminer la valeur de avec ou de sorte que
Maintenant, nous prenons des deux membres :
Ainsi, le nombre de termes dans la suite géométrique donnée est .
Pour , nous devons faire plus attention car nous ne pouvons pas avoir de logarithme avec une base négative. Dans ce cas, les termes d’une suite géométrique auront des signes opposés. Si , alors tous les termes d’ordre impair auront un signe positif et les termes d’ordre pair auront un signe négatif, alors que le contraire est vrai pour . Ainsi, pour déterminer l’ordre d’une valeur donnée, il faut aussi considérer le signe de la valeur de départ et de la valeur donnée.
Dans les deux cas, pour nous avons , comme est la norme de . Si on substitue cela dans la formule explicite, on a
Si la valeur de départ et la valeur donnée ont le même signe, alors nous avons et est un nombre impair ; ainsi, , et nous avons
Tandis que, si la valeur de départ et la valeur donnée ont des signes opposés, alors et est un nombre pair ; ainsi, , et nous avons :
Dans les deux cas, on peut remplacer le membre de droite par le module de la raison :
Nous pouvons isoler en prenant le logarithme de la base des deux membres de l’équation :
En fait, cette formule est vraie pour toute raison et valeur de départ .
Par exemple, considérons la suite géométrique
Ceci est une suite géométrique alternée de raison et de valeur de départ . La formule explicite de cette suite est
Dans cette suite géométrique, tous les termes impairs sont positifs, tandis que tous les termes pairs sont négatifs. Supposons que nous voulons déterminer l’ordre du terme dans cette suite, (c’est-à-dire, nous voulons résoudre l’équation ).
Étant donné que la valeur du terme est négative et que le premier terme est positif, nous supposons que l’ordre du terme, , soit un nombre pair, et ainsi, nous avons et l’équation devient
Nous pouvons maintenant réarranger cette formule et isoler comme avant pour obtenir l’ordre :
Dans le dernier exemple, nous déterminerons l’ordre d’un terme avec une valeur donnée dans une suite géométrique alternée définie comme une suite de nombres. Nous le ferons en déterminant d’abord le terme général de la suite puis en déterminant l’ordre.
Exemple 10: Déterminer l’ordre d’un terme dans une suite géométrique donnée pour sa valeur
Déterminez l’ordre du terme dans la suite géométrique .
Réponse
Dans cet exemple, nous voulons déterminer l’ordre d’un terme dans une suite géométrique donnée.
Rappelons qu’une suite est géométrique s’il y a une raison entre deux termes consécutifs quelconques. L’ordre d’une valeur qui apparaît dans une suite géométrique est la position ou la valeur de où nous obtenons la valeur particulière, que nous pouvons déterminer à partir de la formule explicite.
La formule explicite pour une suite géométrique de valeur de départ et de raison est
La première étape consiste à établir la raison de la suite géométrique, que nous pouvons trouver à partir de la raison de deux termes consécutifs quelconques. On peut utiliser la raison des 2e et 1er termes dans la suite pour obtenir
Par conséquent, la formule explicite pour la suite géométrique donnée de valeur de départ et de raison est
Nous voulons déterminer la valeur de avec ou de sorte que
Comme les signes du premier terme et du terme donné de la suite sont tous les deux positifs, nous supposons que l’ordre, , soit un nombre impair, et ainsi, nous avons , et l’équation devient
Nous pouvons réarranger cette formule et résoudre pour déterminer afin d’obtenir l’ordre :
En prenant le logarithme de la base 2 des deux membres de l’équation, nous avons
Ainsi, l’ordre du terme donné dans la suite géométrique est ou de manière équivalente .
Résumons les points clés que nous avons abordés dans cette fiche explicative.
Points clés
- Une suite géométrique est une suite de nombres non nuls définie par une raison non nulle entre deux termes consécutifs quelconques
- Cette formule peut aussi être utilisée pour trouver les termes suivants dans une suite géométrique à partir de la raison en utilisant la relation de récurrence : (c’est-à-dire que chaque terme d’une suite géométrique est obtenu en multipliant le terme précédent par la raison).
- En général, en appliquant la relation de récurrence à plusieurs reprises, nous pouvons montrer que ce qui nous permet de déterminer la valeur de la position dans la suite, , à partir de la valeur.
- Si l’on note la valeur de départ comme pour simplifier, la forme générale d’une suite géométrique est À partir de cette forme générale, nous avons aussi une formule explicite pour tout terme de la suite : Nous pouvons déterminer la formule explicite d’une suite géométrique en identifiant le premier terme et la raison.
- Une suite géométrique donnée peut être définie en fonction d’un ensemble de nombres , la formule de récurrence avec un premier terme donné, ou une formule explicite.
- Pour une valeur donnée dans une suite , pour déterminer la valeur de , la position du terme dans la suite connue sous le nom d’ordre du terme, nous avons la formule générale
