Fiche explicative de la leçon: إيجاد الحد النوني في متتابعة هندسية | Nagwa Fiche explicative de la leçon: إيجاد الحد النوني في متتابعة هندسية | Nagwa

Fiche explicative de la leçon: إيجاد الحد النوني في متتابعة هندسية Mathématiques

في هذا الشارح، سوف نتعلَّم كيف نكتب الصِّيَغ الصريحة والتكرارية للمتتابعات الهندسية لإيجاد قيمة الحدِّ ا في متتابعة هندسية، وكيف نُوجِد رُتبة الحدِّ بمعلومية قيمته.

يُوجَد العديد من التطبيقات الحياتية للمتتابعات الهندسية في مجالات العلوم والأعمال التجارية والأموال الشخصية والصحة. على سبيل المثال، يَستخدِم علماء الفيزياء متتابعات هندسية لحساب كمية المادة المُشِعَّة المتبقِّية بعد انقضاء عدد معيَّن من فترات عُمر النِّصْف للمواد. تتحلَّل المادة خلال كلِّ فترة عُمر نصْف بنسبة ٠٥٪.

المتتابعة {𞸇،𞸇،𞸇،}١٢٣ مجموعة مرقَّمة من الأعداد (أو العناصر الأخرى) تتبع عادة نمطًا معيَّنًا. العناصر المنفردة في متتابعة، 𞸇𞸍؛ حيث 𞸍𞸈، تُسمَّى الحدود، ويُشار إليها بالرمز 𞸍، الذي يُخبرنا بموضع الحدِّ المُعطى في المتتابعة.

والآن دعونا نتذكَّر تعريف المتتابعة الهندسية.

تعريف: المتتابعة الهندسية

المتتابعة الهندسية، التي تُعرَف أيضًا بالمتتالية الهندسية، تتابعٌ من أعداد لا تساوي صفرًا 󰁙𞸇،𞸇،𞸇،𞸇،󰁘١٢٣٤، ويكون لها نسبة مُشترَكة (أساس المتتابعة الهندسية) ثابتة لا تساوي صفرًا 𞸓١ بين أيِّ حدَّيْن متتاليين: 𞸓=𞸇𞸇𞸍١،𞸍+١𞸍 حيث 𞸇𞸍 الحدُّ ا في المتتابعة.

يُمكن أيضًا وصْف المتتابعة الهندسية بوجهٍ عامٍّ، كما يأتي:

لحساب النسبة المُشترَكة لمتتابعة هندسية مُعطاة، يُمكننا قسمة أيِّ حدٍّ من المتتابعة على الحدِّ الذي يَسبقه مباشرةً (على سبيل المثال، يُمكننا قسمة الحدِّ الثالث على الحدِّ الثاني، أو الحدِّ الثاني على الحدِّ الأول في المتتابعة؛ فكلتا الطريقتين يجب أن يَنتُج عنها العدد نفسه لمتتابعة هندسية واحدة). على سبيل المثال، في المتتابعة الهندسية 󰂚١٢،١،٢،٤،٨،٦١،󰂙، نرى بوضوح نسبة مُشترَكة بين الحدود المتتالية: 𞸓=𞸇𞸇=١=٢𞸓=𞸇𞸇=٢١=٢𞸓=𞸇𞸇=٤٢=٢.٢١١٢٣٢٤٣

يُمكن التعبير عن هذه المتتابعة كما يأتي:

وكما قد نلاحِظ من التعريف، يُمكن كتابة الصيغة التكرارية للمتتابعة الهندسية في الصورة: 𞸇=𞸓𞸇𞸍١.𞸍+١𞸍

في بعض الحالات، قد يكون لدينا متتابعة هندسية في صورة علاقة مثل هذه، يُمكننا باستخدامها تحديد النسبة المُشترَكة. يُمكن تعريف متتابعة هندسية مُعطاة باستخدام هذه العلاقة بمعلومية حدِّها الأول 𞸇١. في المثال السابق، الصيغة التكرارية للمتتابعة الهندسية؛ حيث 𞸇=١٢١، هي: 𞸇=٢𞸇.𞸍+١𞸍

حتى هذه المرحلة، تناولنا المتتابعات الهندسية المُعرَّفة إمَّا بتتابع من الأعداد {𞸇،𞸇،𞸇،}١٢٣، وإمَّا بعلاقة تكرارية 𞸇=𞸓𞸇𞸍+١𞸍، ولكن يُمكننا أيضًا كتابة ذلك في صورة عامة للحصول على صيغة دقيقة للحدِّ ا. إذا أشرنا إلى الحدِّ الأول بالرمز 𞸇=𞸇١ للتبسيط، فإن الصورة العامة للمتتابعة الهندسية هي:

يُحسَب الحدُّ الثاني من المتتابعة الهندسية بضرب الحدِّ الأول، 𞸇، في 𞸓 لنحصل على 𞸇𞸓. الحدُّ الثالث هو الحدُّ الثاني مضروبًا في 𞸓، لنحصل على 𞸇𞸓٢.

بعبارة أخرى: كلُّ حدٍّ يُضرَب في العدد نفسه، 𞸓، للحصول على الحدِّ الذي يليه. قد نلاحِظ أنه من خلال الصورة العامة للمتتابعة الهندسية، يُمكننا أيضًا كتابة صيغة صريحة للحدِّ ا في الصورة: 𞸇=𞸇𞸓.𞸍𞸍١

دعونا نوضِّح كيف يُمكن استخدام هذه الصيغة الصريحة للحدِّ ا لإيجاد حدٍّ معيَّن في المتتابعة.

مثال ١: إيجاد قيمة حدٍّ معيَّن في متتابعة هندسية بمعلومية حدِّها العام

أوجد قيمة الحدِّ الثاني في المتتابعة الهندسية 𞸇=١٦×٢𞸍𞸍+٣؛ حيث 𞸍١.

الحل

بما أن لدينا الصيغة العامة للحدِّ ا، وعلينا إيجاد الحدِّ الثاني، علينا ببساطة التعويض بـ 𞸍=٢ في الصيغة (نفعل ذلك لأن المتتابعة مُعرَّفة لكلِّ 𞸍١؛ ولذا نعلم أن الحدَّ الأوَّل يُناظِر 𞸍=١؛ ومن ثم 𞸍=٢ لا بدَّ أن يُعطينا الحدَّ الثاني). هذا يُعطينا: 𞸇=١٦×٢=١٦×٢=٦١٣.٢٢+٣٥

وكما رأينا للتوِّ، فاستخدام صيغة مُعطاة للحدِّ ا لإيجاد حدٍّ معيَّن في المتتابعة هو عملية مباشرة نسبيًّا؛ حيث علينا التعويض بالقيمة الصحيحة لـ 𞸍. هيَّا نسترجع كيفية الحصول على هذه الصيغة لمتتابعة هندسية لدينا.

تذكَّر أنه كان لدينا بالفعل المتتابعة: 󰂚١٢،١،٢،٤،٨،٦١،󰂙.

يُمكننا أن نلاحِظ هنا أن الحدَّ الأوَّل هو 𞸇=١٢، والنسبة المُشترَكة هي 𞸓=٢. ومن ثم، فإن الصيغة الصريحة لهذه المتتابعة هي: 𞸇=𞸇𞸓=١٢×٢.𞸍𞸍١𞸍١

الآن دعونا نتناول مثالًا علينا فيه تحديد الصيغة الصريحة لمتتابعة هندسية مُعرَّفة بدلالة صيغة تكرارية.

مثال ٢: إيجاد الصيغة الصريحة باستخدام الصيغة التكرارية للمتتابعة الهندسية

الصيغة التكرارية لمتتابعة هندسية 𞸇=٥٤٣٫٠𞸇𞸍+١𞸍، 𞸇=٨٫٩١ لكلِّ 𞸍١. وضِّح الصيغة الصريحة للمتتابعة.

الحل

في هذا المثال، نريد تحديد صيغة صريحة لمتتابعة هندسية مُعرَّفة بدلالة صيغة تكرارية.

تذكَّر أن المتتابعة تكون هندسية إذا كان لها نسبة مُشترَكة، 𞸓، بين أيِّ حدَّيْن متتاليين: 𞸓=𞸇𞸇.𞸍+١𞸍

يُمكننا أيضًا إعادة ترتيب هذه الصيغة التكرارية للمتتابعة الهندسية لتصبح: 𞸇=𞸓𞸇.𞸍+١𞸍

والآن لاحِظ أن العلاقة المُعطاة، 𞸇=٥٤٣٫٠𞸇𞸍+١𞸍، مكتوبة في هذه الصورة، وبذلك تكون النسبة المُشترَكة هي: 𞸓=٥٤٣٫٠.

نتذكَّر أيضًا أن الصيغة الصريحة للمتتابعة الهندسية التي لها القيمة الابتدائية 𞸇١، والنسبة المُشترَكة 𞸓 هي: 𞸇=𞸇𞸓.𞸍١𞸍١

ومن ثم، فالمعادلة الصريحة للمتتابعة الهندسية المُعطاة التي لها القيمة الابتدائية 𞸇=٨٫٩١، والنسبة المُشترَكة 𞸓=٥٤٣٫٠ هي: 𞸇=٨٫٩(٥٤٣٫٠)𞸍١.𞸍𞸍١

سنتناول الآن بعض الأمثلة التي نحدِّد فيها الصيغة الصريحة أو الحدَّ العامَّ لمتتابعات هندسية مُعرَّفة بأنها تتابُع من الأعداد. في المثال الآتي، سنتناول متتابعة هندسية تزايدية ومُتباعِدة؛ حيث تكون جميع الحدود فيها موجبة.

مثال ٣: إيجاد الحدِّ العامِّ لمتتابعة مُعطاة

أوجد صيغة الحدِّ العام للمتتابعة الهندسية ٣،٥١،٥٧،٥٧٣،٥٧٨١،.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد صيغة الحدِّ العام لمتتابعة هندسية مُعطاة.

تذكَّر أن المتتابعة تكون هندسية إذا كان لها نسبة مُشترَكة بين أيِّ حدَّيْن متتالين. الصيغة الصريحة للمتتابعة الهندسية التي لها القيمة الابتدائية 𞸇١، والنسبة المُشترَكة 𞸓 هي: 𞸇=𞸇𞸓.𞸍١𞸍١

الخطوة الأولى هي تحديد النسبة المُشترَكة 𞸓 للمتتابعة الهندسية، وهذا يُمكننا إيجاده من النسبة بين أيِّ حدَّيْن متتاليين. يُمكننا استخدام النسبة بين الحدَّيْن الثاني والأوَّل في المتتابعة لنحصل على: 𞸓=𞸇𞸇=٥١٣=٥.٢١

ومن ثم، تكون الصيغة الصريحة للمتتابعة الهندسية المُعطاة التي لها القيمة الابتدائية 𞸇=٣١، والنسبة المُشترَكة 𞸓=٥ هي: 𞸇=٣(٥).𞸍𞸍١

لنتناول الآن مثالًا علينا فيه تحديد الحدِّ العام لمتتابعة هندسية مُتزايِدة ومُتقارِبة؛ حيث تكون جميع الحدود سالبة.

مثال ٤: إيجاد الحدِّ العام لمتتابعة هندسية مُعطاة

أوجد بدلالة 𞸍 الحدَّ العام للمتتابعة الهندسية ٦٧،٨٣،٩١،٩١٢،.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد صيغة الحدِّ العام لمتتابعة هندسية مُعطاة.

تذكَّر أن المتتابعة تكون هندسية إذا كان لها نسبة مُشترَكة بين أيِّ حدَّيْن متتاليين. الصيغة الصريحة للمتتابعة الهندسية التي لها القيمة الابتدائية 𞸇١، والنسبة المُشترَكة 𞸓 هي: 𞸇=𞸇𞸓.𞸍١𞸍١

الخطوة الأولى هي تحديد النسبة المُشترَكة 𞸓 للمتتابعة الهندسية، التي يُمكن إيجادها من النسبة بين أيِّ حدَّيْن متتاليين. يُمكننا استخدام النسبة بين الحدَّيْن الثاني والأوَّل في المتتابعة لنحصل على: 𞸓=𞸇𞸇=٨٣٦٧=١٢.٢١

ومن ثم، تكون الصيغة الصريحة للمتتابعة الهندسية المُعطاة التي لها القيمة الابتدائية 𞸇=٦٧١، والنسبة المُشترَكة 𞸓=١٢ هي: 𞸇=٦٧󰂔١٢󰂓.𞸍𞸍١

في المثال الآتي، سنُوجِد الحدَّ العام لمتتابعة هندسية تناقُصية ومُتقارِبة؛ حيث تكون جميع الحدود موجبة.

مثال ٥: إيجاد الحدِّ العام لمتتابعة مُعطاة

أوجد، بدلالة 𞸍، الحدَّ العام للمتتابعة 󰂔١،١٩،١١٨،١٩٢٧󰂓.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد صيغة الحدِّ العام لمتتابعة هندسية مُعطاة.

تذكَّر أن المتتابعة تكون هندسية إذا كان لها نسبة مُشترَكة بين أيِّ حدَّيْن متتاليين. الصيغة الصريحة لمتتابعة هندسية لها القيمة الابتدائية 𞸇١، والنسبة المُشترَكة 𞸓 هي: 𞸇=𞸇𞸓.𞸍١𞸍١

الخطوة الأولى هي تحديد النسبة المُشترَكة، 𞸓، للمتتابعة الهندسية، ويُمكننا إيجادها من النسبة بين أيِّ حدَّيْن متتاليين. يُمكننا استخدام النسبة بين الحدَّيْن الثاني والأوَّل في المتتابعة لنحصل على: 𞸓=𞸇𞸇=١=١٩.٢١١٩

ومن ثم، تكون الصيغة الصريحة للمتتابعة الهندسية المُعطاة التي لها القيمة الابتدائية 𞸇=١١، والنسبة المُشترَكة 𞸓=١٩ هي: 𞸇=󰂔١٩󰂓.𞸍𞸍١

وبوجهٍ عامٍّ، عند تطبيق العلاقة التكرارية مرَّات عديدة، يُمكننا إثبات أن: 𞸇=𞸓𞸇𞸍،𞸌١،𞸍𞸍𞸌𞸌 وهذا يُتِيح لنا تحديد قيمة الحدِّ ا في المتتابعة، 𞸇𞸍، بمعلومية حدٍّ آَ، 𞸇𞸌:

لنتناول الآن مثالًا علينا فيه إيجاد الحدود الثلاثة الأولى لمتتابعة هندسية بمعلومية النسبة المُشترَكة للمتتابعة وقيمة حدٍّ معيَّن في المتتابعة.

مثال ٦: إيجاد حدود متتابعة هندسية بمعلومية النسبة المُشترَكة لها وقيمة حدٍّ معيَّن

أوجد الحدود الثلاثة الأولى لمتتابعة هندسية، إذا كان 𞸇=٦١٦٣٦، وأساس المتتابعة ٢.

الحل

في هذا المثال، نريد تحديد الحدود الثلاثة الأولى لمتتابعة هندسية بمعلومية قيمة حدٍّ معيَّن والنسبة المُشترَكة لها.

تذكَّر أن المتتابعة تكون هندسية إذا كان لها نسبة مُشترَكة، 𞸓، بين أيِّ حدَّيْن متتاليين: 𞸓=𞸇𞸇𞸍١.𞸍+١𞸍

يُمكننا أيضًا إعادة ترتيب هذه الصيغة التكرارية للمتتابعة الهندسية لتصبح: 𞸇=𞸓𞸇𞸍١.𞸍+١𞸍

بتطبيق هذه الصيغة مرَّات عديدة، يُمكننا إثبات أن: 𞸇=𞸓𞸇𞸍،𞸌١.𞸍𞸍𞸌𞸌

وهذا يُتيح لنا تحديد قيمة الحدِّ ا في المتتابعة، 𞸇𞸍، بمعلومية قيمة حدٍّ آَ، 𞸇𞸌.

باستخدام هذه الصيغة؛ حيث 𞸍=٦، 𞸌=١، وبالتعويض بالقيمة المُعطاة والنسبة المُشترَكة، نحصل على ما يأتي: 𞸇=𞸓𞸇٦١٦٣=(٢)𞸇𞸇=٦١٦٣(٢)=٦١٦٣٢٣=٣١١.٦٦١١٥١١٥

يُمكن إيجاد الحدَّيْن الآخَرين بضرب هذا الحدِّ في النسبة المُشترَكة 𞸓=٢: 𞸇=𞸓𞸇=٢×٣١١=٦٢٢،𞸇=𞸓𞸇=٢×٦٢٢=٢٥٤.٢١٣٢

نلاحِظ أنه يُمكننا أيضًا الحصول على هذا الناتج بقسمة الحدِّ السادس 𞸇٦ على النسبة المُشترَكة مرَّات عديدة لإيجاد الحدود السابقة من 𞸇٥ إلى 𞸇١، على الرغم من أننا نهتمُّ فقط بالحدود الثلاثة الأولى 𞸇١، 𞸇٢، 𞸇٣.

وبذلك، تكون الحدود الثلاثة الأولى للمتتابعة الهندسية بمعلومية قيمة مُعطاة، 𞸇٦، والنسبة المُشترَكة للمتتابعة هي: ٣١١،٦٢٢،٢٥٤.

في المثال الآتي، سنحدِّد ثلاثة أعداد متتالية في متتابعة هندسية بمعلومية مجموع هذه الأعداد وحاصل ضربها.

مثال ٧: إيجاد حدود متتابعة هندسية بمعلومية مجموعها وحاصل ضربها

أوجد الأعداد الثلاثة المتتالية في متتابعة هندسية، علمًا بأن مجموع الحدود ٤١، وحاصل ضربها ٢١٦.

الحل

في هذا المثال، نريد إيجاد ثلاثة أعداد متتالية في متتابعة هندسية تحقِّق علاقة محدَّدة لمجموع الحدود وحاصل ضربها.

تذكَّر أن المتتابعة تكون هندسية إذا كان لها نسبة مُشترَكة، 𞸓، بين أيِّ حدَّيْن متتاليين: 𞸓=𞸇𞸇𞸍١.𞸍+١𞸍

يُمكننا أيضًا إعادة ترتيب هذه الصيغة التكرارية للمتتابعة الهندسية لتصبح: 𞸇=𞸓𞸇𞸍١.𞸍+١𞸍

نريد تحديد الحدود 𞸇𞸌، 𞸇𞸌+١، 𞸇𞸌+٢، في متتابعة هندسية تحقِّق الشرطين: 𞸇+𞸇+𞸇=٤١،𞸇𞸇𞸇=٦١٢.𞸌𞸌+١𞸌+٢𞸌𞸌+١𞸌+٢

باستخدام الصيغة التكرارية، يُمكننا إعادة كتابة هذين الشرطين، علمًا بأن 𞸇=𞸓𞸇𞸌+١𞸌، 𞸇=𞸓𞸇=𞸓𞸇𞸌+٢𞸌+١٢𞸌؛ بعبارة أخرى: إذا كان العدد الأول هو 𞸇𞸌، فإن العددين الآخَرين هما 𞸓𞸇𞸌، 𞸓𞸇٢𞸌.

باستخدام ذلك، تصبح المعادلة الأولى: 𞸇+𞸓𞸇+𞸓𞸇=٤١،𞸇󰁓𞸓+𞸓+١󰁒=٤١،𞸌𞸌٢𞸌𞸌٢ وتصبح المعادلة الثانية: 𞸓𞸇=٦١٢،𞸓𞸇=٦.٣٣𞸌𞸌

ومن ثم، فإن الحدَّ الثاني في المتتابعة هو 𞸇=𞸓𞸇=٦𞸌+١𞸌. لإيجاد الحدَّيْن الآخَرين، علينا تحديد النسبة المُشترَكة 𞸓 من المعادلة الأولى. يُمكن بعد ذلك إيجاد الحدَّيْن الأوَّل والثالث من: 𞸇=٦𞸓،𞸇=٦𞸓.𞸌𞸌+٢

إذا ضربنا المعادلة الأولى في 𞸓، وعوَّضنا بالمعادلة الثانية، نحصل على: 𞸓𞸇󰁓𞸓+𞸓+١󰁒=٤١𞸓٦󰁓𞸓+𞸓+١󰁒=٤١𞸓٦𞸓+٦𞸓+٤١𞸓+٦=٠٦𞸓+٠٢𞸓+٦=٠٢(𞸓+٣)(٣𞸓+١)=٠.𞸌٢٢٢٢

إذن النسبة المُشترَكة هي 𞸓=٣، أو 𞸓=١٣. إذا كانت 𞸓=٣، يكون الحدَّان الأوَّل والثالث: 𞸇=٦٣=٢،𞸇=٦×٣=٨١،𞸌𞸌+٢ وإذا كانت 𞸓=١٣، يكون الحدَّان الأوَّل والثالث: 𞸇=٦=٨١،𞸇=٦×١٣=٢.𞸌١٣𞸌+٢

ومن ثم، ففي كلتا الحالتين، الأعداد الثلاثة المتتالية للمتتابعة الهندسية هي: ٢،٦،٨١.

كما رأينا حتى الآن، لتحديد قيمة محدَّدة للحدِّ ا في متتابعة هندسية، علينا أن نعوِّض بالقيمة المُعطاة لـ 𞸍 في الصيغة الصريحة (على سبيل المثال، لإيجاد الحدِّ الخامس، نعوِّض بـ 𞸍=٥).

لكن ماذا إذا أردنا فعل العكس؟ نريد تحديد قيمة 𞸍، لحدٍّ معيَّن في متتابعة، وتُعرَف برُتبة الحدِّ، وهو الموضع الذي تَظهَر فيه القيمة في التتابع؛ بحيث تُعطِي الصيغة الصريحة لـ 𞸇𞸍 هذه القيمة.

إذا كانت 𞸓>٠، يُمكننا فعل ذلك باستخدام الصيغة الصريحة بجعل 𞸍 المتغيِّر التابع: 𞸓=𞸇𞸇.𞸍١𞸍

بأخْذ لوغاريتم الأساس 𞸓 لطرفي المعادلة، نحصل على: 𞸍١=󰃁𞸇𞸇󰃀،𞸍=󰃁𞸇𞸇󰃀+١.𞸓𞸍𞸓𞸍

يُمكننا فعل ذلك إذا كانت جميع حدود المتتابعة الهندسية موجبة؛ حيث 𞸇>٠، أو جميعها سالبة؛ حيث 𞸇<٠؛ لأن النسبة التالية تكون موجبة دائمًا في الحالتين: 𞸇𞸇>٠.𞸍

على سبيل المثال، انظر المتتابعة الهندسية: {١،٣،٩،٧٢،١٨،٣٤٢،}.

هذه متتابعة هندسية تناقُصية لها النسبة المُشترَكة: 𞸓=𞸇𞸇=٣١=٣٢١، والقيمة الابتدائية 𞸇=١. والصيغة الدقيقة لهذه المتتابعة هي: 𞸇=١×٣=٣.𞸍𞸍١𞸍١

لتحديد رُتبة القيمة ٩٢٧، علينا إيجاد قيمة 𞸍؛ بحيث يكون 𞸇=٩٢٧𞸍، أو: ٣=٩٢٧.𞸍١

وبذلك، باستخدام النتيجة السابقة، نحصل على: 𞸍=󰂔٩٢٧١󰂓+١𞸍=󰂔٩٢٧١󰂓+١=٦+١=٧.٣٣

وبذلك تكون رُتبة هذه القيمة هي ٧ (أيْ 𞸇=٩٢٧٧)، وهذا يُمكننا التحقُّق منه أيضًا بالتعويض بـ 𞸍=٧ في الصيغة الدقيقة: 𞸇=٣=٣=٩٢٧.٧٧١٦

لنتناول الآن مثاًلا علينا فيه تحديد رُتبة حدٍّ لقيمة مُعطاة في متتابعة هندسية مُعرَّفة بدلالة صيغة صريحة.

مثال ٨: تعيين رُتبة حدٍّ في متتابعة هندسية بمعلومية قيمته والحدِّ العام

عيِّن رُتبة الحدِّ الذي قيمته ٤‎ ‎٣٧٤ في المتتابعة الهندسية 𞸇=٢٣(٣)𞸍𞸍.

الحل

في هذا المثال، نريد تعيين رُتبة حدٍّ معيَّن في متتابعة هندسية مُعرَّفة بصيغة دقيقة.

تذكَّر أن المتتابعة تكون هندسية إذا كان لها نسبة مُشترَكة بين أيِّ حدَّيْن متتاليين. رُتبة القيمة في المتتابعة الهندسية هي الموضع أو قيمة 𞸍؛ حيث تظهر القيمة المحدَّدة.

نريد تحديد قيمة 𞸍؛ بحيث 𞸇=٤٧٣٤𞸍، أو: ٢٣(٣)=٤٧٣٤.𞸍

يُمكننا إعادة ترتيب هذه الصيغة والحلُّ لإيجاد قيمة 𞸍، لنحصل على: ٣=٣٢×٤٧٣٤=١٦٥٦𞸍=١٦٥٦=٨.𞸍٣

وبذلك نَجِد أن رُتبة الحدِّ الذي قيمته ٤‎ ‎٣٧٤ هي 𞸍=٨ (أيْ 𞸇=٤٧٣٤٨).

عدد الحدود في المتتابعة الهندسية {𞸇،𞸇،،𞸇}١٢𞸌 يُكافئ رُتبة الحدِّ الأخير 𞸇𞸌 في المتتابعة، وهي 𞸌.

في المثال الآتي، سنحدِّد عدد الحدود في متتابعة هندسية مُعطاة في صورة تتابع من الأعداد. سنفعل ذلك عن طريق إيجاد الحدِّ العام للمتتابعة أوَّلًا، ثم تحديد رُتبة الحدِّ الأخير لنحصل على إجمالي عدد الحدود.

مثال ٩: إيجاد عدد الحدود في متتابعة هندسية مُعطاة

أوجد عدد حدود المتتابعة الهندسية 󰂔٢١١،٦٥،٨٢،،٧٤󰂓.

الحل

في هذا المثال، نريد تحديد عدد الحدود في متتابعة هندسية مُعطاة.

تذكَّر أن المتتابعة تكون هندسية إذا كان لها نسبة مُشترَكة بين أيِّ حدَّيْن متتاليين. رُتبة قيمة ما في متتابعة هندسية هو موضعها أو قيمة 𞸍؛ حيث تَظهَر القيمة المحدَّدة.

عدد الحدود يُكافئ رُتبة الحدِّ الأخير في المتتابعة، وهذا يُمكن تحديده باستخدام الصيغة الصريحة. الصيغة الصريحة للمتتابعة الهندسية التي قيمتها الابتدائية 𞸇١، والنسبة المُشترَكة لها 𞸓 هي: 𞸇=𞸇𞸓.𞸍١𞸍١

الخطوة الأولى هي تحديد النسبة المُشترَكة، 𞸓، لهذه المتتابعة الهندسية، ويُمكننا إيجادها من النسبة بين أيِّ حدَّيْن متتاليين. يُمكننا استخدام النسبة بين الحدَّيْن الثاني والأوَّل في المتتابعة للحصول على: 𞸓=𞸇𞸇=٦٥٢١١=١٢.٢١

ومن ثم، تكون الصيغة الصريحة للمتتابعة الهندسية المُعطاة التي قيمتها الابتدائية 𞸇=٢١١١، والنسبة المُشترَكة لها 𞸓=١٢ هي: 𞸇=٢١١󰂔١٢󰂓.𞸍𞸍١

لإيجاد عدد الحدود، علينا إيجاد قيمة 𞸍؛ حيث 𞸇=٧٤𞸍، أو: ٢١١󰂔١٢󰂓=٧٤٢=٢١١٢=١٤٦.𞸍١𞸍+١٧٤𞸍+١

والآن نأخذ ٢ لكلا الطرفين: 𞸍+١=١٤٦𞸍=٤٦١𞸍=٤٦+١=٦+١=٧.٢٢٢

وهكذا يكون عدد الحدود في المتتابعة الهندسية المُعطاة هو 𞸍=٧.

إذا كانت 𞸓<٠، علينا أن ننتبه أكثر؛ لأن اللوغاريتم لا يُمكن أن يكون له أساس سالب. في هذه الحالة، سيكون لكلِّ حدَّيْن متتاليين في المتتابعة الهندسية إشارتان مختلفتان. إذا كان 𞸇>٠، فإن جميع الحدود التي رُتبتها فردية ستكون إشارتها موجبة، وجميع الحدود التي رُتبتها زوجية ستكون إشارتها سالبة، في حين يكون العكس صحيحًا إذا كان 𞸇<٠. إذن، لتحديد رُتبة قيمة مُعطاة، علينا أيضًا أن ننتبه إلى إشارتي القيمة الابتدائية والقيمة المُعطاة.

وفي كلتا الحالتين، إذا كانت 𞸓<٠، نحصل على 𞸓=|𞸓|؛ حيث |𞸓|>٠ هي القيمة المطلقة لـ 𞸓. إذا عوَّضنا بذلك في الصيغة الصريحة، نحصل على: 𞸓=𞸇𞸇(|𞸓|)=𞸇𞸇(١)|𞸓|=𞸇𞸇|𞸓|=(١)𞸇𞸇.𞸍١𞸍𞸍١𞸍𞸍١𞸍١𞸍𞸍١𞸍١𞸍

وإذا كانت القيمة الابتدائية والقيمة المُعطاة لهما الإشارة نفسها، نحصل على: 𞸇𞸇>٠،𞸍 ويكون 𞸍 عددًا فرديًّا؛ ومن ثم، (١)=١𞸍١، ونحصل على: |𞸓|=𞸇𞸇>٠.𞸍١𞸍

وإذا كانت القيمة الابتدائية والقيمة المُعطاة لهما إشاراتان مختلفتان، فإن: 𞸇𞸇<٠،𞸍 ويكون 𞸍 عددًا زوجيًّا، ومن ثم، (١)=١𞸍١، ونحصل على: |𞸓|=𞸇𞸇>٠.𞸍١𞸍

في كلتا الحالتين، يُمكننا التعويض عن الطرف الأيسر بمقياس النسبة: |𞸓|=󰍾𞸇𞸇󰍾.𞸍١𞸍

يُمكننا جعل 𞸍 المتغيِّر التابع عن طريق أخْذ لوغاريتم الأساس |𞸓| لطرفي المعادلة: 𞸍١=󰃁󰍾𞸇𞸇󰍾󰃀𞸍=󰃁󰍾𞸇𞸇󰍾󰃀+١.|𞸓|𞸍|𞸓|𞸍

في الواقع، تنطبق هذه الصيغة لأيِّ نسبة مُشترَكة 𞸓، وقيمة ابتدائية 𞸇.

على سبيل المثال، انظر المتتابعة الهندسية: {١،٢،٤،٨،٦١،٢٣،}.

هذه متتابعة هندسية مُتناوِبة النسبة المُشترَكة لها 𞸓=٢، وقيمتها الابتدائية 𞸇=١. والصيغة الصريحة لهذه المتتابعة هي: 𞸇=١×(٢)=(٢)=(١)٢.𞸍𞸍١𞸍١𞸍١𞸍١

في هذه المتتابعة الهندسية، جميع الحدود التي رُتبتها فردية موجبة، أمَّا جميع الحدود التي رُتبتها زوجية فسالبة. افترض أننا نريد تحديد الرُّتبة 𞸍 للحد 𞸇=٢١٥𞸍 في هذه المتتابعة (أيْ نريد حلَّ المعادلة (١)٢=٢١٥𞸍١𞸍١).

وبما أن قيمة الحدِّ سالبة، وقيمة الحدِّ الأوَّل موجبة، فإننا نتوقَّع أن تكون رتبة الحد، 𞸍، عددًا زوجيًّا، ومن ثم، لدينا (١)=١𞸍١، وتصبح المعادلة: ٢=٢١٥.𞸍١

يُمكننا الآن إعادة ترتيب هذه الصيغة وجعل 𞸍 المتغيِّر التابع، كما فعلنا من قبل لنحصل على الرُّتبة: 𞸍١=٢١٥𞸍=٢١٥+١=٩+١=٠١.٢٢

في المثال الأخير، سنحدِّد رُتبة الحدِّ بمعلومية قيمة مُعطاة في متتابعة هندسية مُتناوِبة مُعرَّفة في صورة تتابع من الأعداد. سنفعل ذلك عن طريق إيجاد الحدِّ العامِّ للمتتابعة أوَّلًا، ثم تحديد الرُّتبة.

مثال ١٠: إيجاد رُتبة حدٍّ في متتابعة هندسية مُعطاة بمعلومية قيمته

أوجد رُتبة الحدِّ ٦١٩٣ في المتتابعة الهندسية ١٦٥١،١٨٧،١٩٣،.

الحل

في هذا المثال، نريد تحديد رُتبة حدٍّ في متتابعة هندسية مُعطاة.

تذكَّر أن المتتابعة تكون هندسية إذا كان لها نسبة مُشترَكة بين أيِّ حدَّيْن متتاليين. تمثِّل رُتبة القيمة في المتتابعة الهندسية موضعها أو قيمة 𞸍؛ حيث نحصل على القيمة المحدَّدة، ويُمكننا تحديدها باستخدام الصيغة الصريحة.

الصيغة الصريحة لمتتابعة هندسية لها القيمة الابتدائية 𞸇١، والنسبة المُشترَكة 𞸓 هي: 𞸇=𞸇𞸓.𞸍١𞸍١

الخطوة الأولى هي تحديد النسبة المُشترَكة، 𞸓، لهذه المتتابعة الهندسية، ويُمكننا إيجادها من النسبة بين أيِّ حدَّيْن متتاليين. يُمكننا استخدام النسبة بين الحدَّيْن الثاني والأوَّل في المتتابعة للحصول على: 𞸓=𞸇𞸇==٢.٢١١٨٧١٦٥١

ومن ثم، تكون الصيغة الصريحة لمتتابعة هندسية مُعطاة لها القيمة الابتدائية 𞸇=١٦٥١١، والنسبة المُشترَكة 𞸓=٢ هي: 𞸇=١٦٥١(٢)=١٦٥١(١)٢.𞸍𞸍١𞸍١𞸍١

نريد إيجاد قيمة 𞸍؛ حيث 𞸇=٦١٩٣𞸍، أو: ١٦٥١(١)٢=٦١٩٣.𞸍١𞸍١

وبما أن الحدَّ الأوَّل والحدَّ المُعطى لهما إشارتان موجبتان، فإننا نتوقَّع أن تكون الرُّتبة، 𞸍، عددًا فرديًّا، ومن ثم، نحصل على (١)=١𞸍١، وتصبح المعادلة: ٢١٦٥١=٦١٩٣.𞸍١

يُمكننا إعادة ترتيب هذه الصيغة والحلُّ لإيجاد قيمة 𞸍 للحصول على الرُّتبة: ٢=٦٥١×٦١٩٣=٤٦.𞸍١

بأخْذ لوغاريتم الأساس ٢ لطرفي المعادلة، نحصل على: 𞸍١=٤٦𞸍=٤٦+١=٦+١=٧.٢٢

إذن رُتبة الحدِّ المُعطى في المتتابعة الهندسية هي 𞸍=٧، أو 𞸇=٦١٩٣٧.

لنلخِّص النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الشارح.

النقاط الرئيسية

  • المتتابعة الهندسية تتابعٌ من الأعداد التي لا تساوي صفرًا، ومُعرَّفة بنسبة مُشترَكة لا تساوي صفرًا، 𞸓١، بين أيِّ حدَّيْن متتاليين: 𞸓=𞸇𞸇.𞸍+١𞸍
  • يُمكن أيضًا استخدام هذه الصيغة لإيجاد الحدود التالية في متتابعة هندسية بمعلومية النسبة المُشترَكة للمتتابعة باستخدام العلاقة التكرارية: 𞸇=𞸓𞸇𞸍١.𞸍+١𞸍 (أيْ يُمكن إيجاد كلِّ حدٍّ في متتابعة هندسية عن طريق ضرب الحدِّ السابق في النسبة المُشترَكة).
  • بوجهٍ عامٍّ، عند تطبيق العلاقة التكرارية مرَّات عديدة، يُمكننا إثبات أن: 𞸇=𞸓𞸇𞸍،𞸌١،𞸍𞸍𞸌𞸌 ويُتِيح لنا هذا تحديد قيمة الحدِّ ا في المتتابعة، 𞸇𞸍، بمعلومية قيمة حدٍّ آَ.
  • إذا أشرنا إلى القيمة الابتدائية بأنها 𞸇=𞸇١ للتبسيط، فإن الصورة العامة للمتتابعة الهندسية هي: {𞸇،𞸇𞸓،𞸇𞸓،𞸇𞸓،}.٢٣ من هذه الصورة العامة، لدينا أيضًا صيغة صريحة لأيِّ حدٍّ في المتتابعة: 𞸇=𞸇𞸓𞸍١.𞸍𞸍١ يُمكننا تحديد الصيغة الصريحة للمتتابعة الهندسية عن طريق تحديد الحدِّ الأوَّل والنسبة المُشترَكة.
  • قد تكون المتتابعة الهندسية المُعطاة مُعرَّفة بدلالة مجموعة من الأعداد {𞸇،𞸇،𞸇،}١٢٣، أو في صورة الصيغة التكرارية بمعلومية الحدِّ الأوَّل، أو في صورة صيغة صريحة.
  • لأي قيمة مُعطاة في متتابعة، 𞸇𞸍، لتحديد قيمة 𞸍، أيْ موضع الحدِّ في المتتابعة الذي يُعرَف بأنه رُتبة الحدِّ، نَستخدِم الصيغة العامة: 𞸍=󰃁󰍾𞸇𞸇󰍾󰃀+١.|𞸓|𞸍

Télécharger l’application Nagwa Classes

Assistez à des séances, chattez avec votre enseignant ainsi que votre classe et accédez à des questions spécifiques à la classe. Téléchargez l’application Nagwa Classes dès aujourd’hui !

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site web. Apprenez-en plus à propos de notre Politique de confidentialité