Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment égaliser, additionner et soustraire des nombres complexes.
Commençons par rappeler la définition d’un nombre complexe et quelques notations.
Définition : Nombre complexe
Un nombre complexe est un nombre de la forme , où et sont des nombres réels et est la racine carrée de . L’ensemble de tous les nombres complexes est noté .
Pour un nombre complexe , la partie réelle de est définie par et est notée
De même, la partie imaginaire de est définie par et est notée
Certains livres et articles utilisent les notations et pour faire référence aux parties réelles et imaginaires de .
Avant de commencer à effectuer des opérations arithmétiques sur les nombres complexes, nous devons comprendre ce que signifie l’égalité de deux nombres complexes. L’égalité de nombres complexes est définie de la même manière que l’égalité d’expressions littérales impliquant des variables. Par exemple, si est une variable et , , et sont des nombres réels, dire que les deux expressions et sont égales équivaut à dire que et . L’égalité des nombres complexes est définie de manière similaire.
Définition : Égalité de nombres complexes
Deux nombres complexes et sont dits égaux si et . Réciproquement, si , alors et . Cela signifie que deux nombres complexes et sont égaux si et seulement si et .
Travailler avec la deuxième version de cette définition est souvent plus facile, comme nous le verrons dans certains des exemples suivants.
Commençons par un exemple où nous devons appliquer la définition de l’égalité de nombres complexes pour identifier des valeurs inconnues dans des expressions complexes.
Exemple 1: Égalité de nombres complexes
Sachant que les nombres complexes et sont égaux, quelles sont les valeurs de et ?
Réponse
On rappelle que deux nombres complexes sont égaux si leurs parties réelles et imaginaires sont égales. En commençant par poser les parties réelles égales, on a . De même, en posant l’égalité des parties imaginaires, on obtient (en faisant attention de bien conserver le signe négatif ici). Par conséquent, et .
Dans l’exemple précédent, nous avons pu identifier deux constantes inconnues en utilisant l’égalité des nombres complexes. Comme l’égalité de deux nombres complexes suppose l’égalité des parties réelles et des parties imaginaires, une égalité de nombres complexes génère deux équations distinctes. Cela nous permet d’identifier deux inconnues différentes à partir d’une seule égalité de nombres complexes. Étudions un autre exemple où nous devons calculer deux inconnues à partir d’une équation impliquant des nombres complexes.
Exemple 2: Résoudre une équation simple impliquant des nombres complexes
Quels sont les nombres réels et vérifiant l’équation ?
Réponse
On rappelle que deux nombres complexes sont égaux si leurs parties réelles et imaginaires sont égales. En considérant séparément les parties réelles et imaginaires, nous pouvons former deux équations que nous pourrons ensuite résoudre pour déterminer et . Comme et sont des nombres réels, on sait que et sont les parties réelle et imaginaire respectives du nombre complexe sur le membre gauche de l’équation. En commençant par les parties réelles, on a
En soustrayant 2 aux deux membres, on obtient
Puis en divisant par 5, on a
En posant l’égalité des parties imaginaires de chaque membre, on a
Ajouter 5 aux deux membres donne puis diviser par 3 donne
Par conséquent, et .
De manière similaire à la définition de l’égalité des nombres complexes, les principes de base de l’addition et de la soustraction de nombres complexes sont analogues à leurs équivalents dans l’algèbre des polynômes. Pour additionner et soustraire des polynômes, on additionne et soustrait leurs coefficients correspondants.
Définition : Addition et soustraction de nombres complexes
Pour deux nombres complexes et ,
De même,
En d’autres termes, on additionne ou on soustrait des nombres complexes en additionnant ou en soustrayant séparément leurs parties réelles et leurs parties imaginaires.
On peut également additionner ou soustraire des nombres complexes en développant les parenthèses et en regroupant les termes réels et imaginaires. En utilisant cette méthode,
Remarquez que cela donne la même expression que ci-dessus. Pour soustraire deux nombres complexes : où il faut faire attention à distribuer le signe négatif : . Cela conduit à qui est également le même résultat que ci-dessus.
Cette définition peut être généralisée pour inclure l’addition ou la soustraction de plus de deux nombres complexes. Dans ce cas, on additionne ou on soustrait séparément les parties réelles et les parties imaginaires de tous les nombres complexes. Dans le prochain exemple, nous allons ajouter et soustraire plusieurs nombres complexes.
Exemple 3: Ajouter et soustraire des nombres complexes
Calculez .
Réponse
Nous allons présenter deux méthodes différentes pour cet exemple.
Méthode 1 : on rappelle que l’on peut additionner ou soustraire plusieurs nombres complexes en additionnant ou en soustrayant séparément les parties réelles et les parties imaginaires de chaque nombre complexe. En commençant par les parties réelles, on a
Donc la partie réelle du résultat est . De même, pour les parties imaginaires, on a
En combinant ces deux parties, le résultat est .
Méthode 2 : on peut également additionner ou soustraire des nombres complexes en développant les parenthèses et en regroupant les termes réels et imaginaires. Il faut cependant être prudent pour le dernier terme car il y a un signe négatif devant la parenthèse. Nous savons que . En utilisant cette méthode, on peut écrire ce qui se simplifie par .
Dans la pratique, on utilise plus fréquemment la méthode de regroupement des termes semblables. Il peut cependant parfois être utile de se rappeler qu’il existe une autre méthode, comme nous allons le voir dans l’exemple ci-dessous.
Exemple 4: Soustraire des nombres complexes
Pour et , calculez .
Réponse
Nous allons présenter deux méthodes différentes pour cet exemple mais vous verrez que la deuxième méthode est préférable car plus efficace.
Méthode 1 : on commence par calculer en regroupant les termes semblables. En substituant les valeurs de et , on a
Il faut ici à nouveau prêter attention aux signes négatifs. Multiplier chaque terme entre parenthèses par donne
En regroupant les termes semblables, cela se simplifie par
On isole enfin sa partie réelle :
Bien que cette méthode aboutisse à une solution correcte, elle nécessite plus de calculs que nécessaire. Plus précisément, nous avons inutilement calculé la partie imaginaire de .
Méthode 2 : on rappelle que la partie réelle de la différence de deux nombres complexes est égale à la différence de leurs parties réelles :
On simplifie ensuite les calculs :
Nous allons terminer par un exemple légèrement plus difficile.
Exemple 5: Résoudre des équations impliquant des nombres complexes
Soient et , où , . Sachant que , calculez et .
Réponse
On peut soustraire deux nombres complexes en soustrayant séparément leurs parties réelles et séparément leurs parties imaginaires. On rappelle de plus que l’égalité de deux nombres complexes implique à la fois l’égalité de leurs parties réelles et l’égalité de leurs parties imaginaires. En considérant séparément les parties réelles et imaginaires, nous pouvons écrire deux équations que nous pourrons ensuite résoudre pour déterminer et . En commençant par la partie réelle, on a
Comme et sont des nombres réels, on sait que et sont les parties réelles respectives de et . On en déduit que . En substituant cette expression dans l’équation ci-dessus, on obtient
De même, en considérant les parties imaginaires, on a
Comme et sont les parties imaginaires respectives de et , on a . En substituant cette expression dans l’équation ci-dessus, on obtient
En isolant , on obtient
En le substituant dans (1), on trouve
On pourrait alors distribuer le 4 devant les parenthèses. Il est cependant plus efficace de diviser les deux membres de l’équation par 4 :
Ajouter 2 aux deux membres et simplifier donne . En le substituant dans (2), on obtient
Maintenant que nous avons trouvé et , nous pourrions être tentés de nous arrêter là. La question nous demande toutefois de calculer et . Nous devons donc substituer ces valeurs dans les équations de et pour terminer la question. Pour , on a
De même,
Il est toujours recommandé de vérifier sa réponse. On soustrait à et on obtient comme attendu.
Résumons quelques concepts importants de cette fiche explicative.
Points clés
- L’addition, la soustraction et l’égalité des nombres complexes sont définies de manière analogue à l’addition, la soustraction et l’égalité des polynômes.
- En appliquant les règles habituelles de l’algèbre, nous pouvons commencer à travailler efficacement avec des nombres complexes.
- Pour les nombres complexes et ,
- = équivaut à dire que leurs parties réelles et imaginaires sont égales, c’est-à-dire que et ;
- ;
- ;
- .
