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Fiche explicative de la leçon : Égalité, addition et soustraction de nombres complexes Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment égaliser, additionner et soustraire des nombres complexes.

Commençons par rappeler la définition d’un nombre complexe et quelques notations.

Définition : Nombre complexe

Un nombre complexe est un nombre de la forme 𝑎+𝑏𝑖, 𝑎 et 𝑏 sont des nombres réels et 𝑖 est la racine carrée de 1. L’ensemble de tous les nombres complexes est noté .

Pour un nombre complexe 𝑧=𝑎+𝑏𝑖, la partie réelle de 𝑧 est définie par 𝑎 et est notée Re(𝑧)=𝑎.

De même, la partie imaginaire de 𝑧 est définie par 𝑏 et est notée Im(𝑧)=𝑏.

Certains livres et articles utilisent les notations (𝑧) et (𝑧) pour faire référence aux parties réelles et imaginaires de 𝑧.

Avant de commencer à effectuer des opérations arithmétiques sur les nombres complexes, nous devons comprendre ce que signifie l’égalité de deux nombres complexes. L’égalité de nombres complexes est définie de la même manière que l’égalité d’expressions littérales impliquant des variables. Par exemple, si 𝑥 est une variable et 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑 sont des nombres réels, dire que les deux expressions 𝑎+𝑏𝑥 et 𝑐+𝑑𝑥 sont égales équivaut à dire que 𝑎=𝑐 et 𝑏=𝑑. L’égalité des nombres complexes est définie de manière similaire.

Définition : Égalité de nombres complexes

Deux nombres complexes 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 et 𝑧=𝑐+𝑑𝑖 sont dits égaux si 𝑎=𝑐 et 𝑏=𝑑. Réciproquement, si 𝑧=𝑧, alors 𝑎=𝑐 et 𝑏=𝑑. Cela signifie que deux nombres complexes 𝑧 et 𝑧 sont égaux si et seulement si ReRe(𝑧)=(𝑧) et ImIm(𝑧)=(𝑧).

Travailler avec la deuxième version de cette définition est souvent plus facile, comme nous le verrons dans certains des exemples suivants.

Commençons par un exemple où nous devons appliquer la définition de l’égalité de nombres complexes pour identifier des valeurs inconnues dans des expressions complexes.

Exemple 1: Égalité de nombres complexes

Sachant que les nombres complexes 7+𝑎𝑖 et 𝑏3𝑖 sont égaux, quelles sont les valeurs de 𝑎 et 𝑏?

Réponse

On rappelle que deux nombres complexes sont égaux si leurs parties réelles et imaginaires sont égales. En commençant par poser les parties réelles égales, on a 7=𝑏. De même, en posant l’égalité des parties imaginaires, on obtient 𝑎=3 (en faisant attention de bien conserver le signe négatif ici). Par conséquent, 𝑎=3 et 𝑏=7.

Dans l’exemple précédent, nous avons pu identifier deux constantes inconnues en utilisant l’égalité des nombres complexes. Comme l’égalité de deux nombres complexes suppose l’égalité des parties réelles et des parties imaginaires, une égalité de nombres complexes génère deux équations distinctes. Cela nous permet d’identifier deux inconnues différentes à partir d’une seule égalité de nombres complexes. Étudions un autre exemple où nous devons calculer deux inconnues à partir d’une équation impliquant des nombres complexes.

Exemple 2: Résoudre une équation simple impliquant des nombres complexes

Quels sont les nombres réels 𝑥 et 𝑦 vérifiant l’équation 5𝑥+2+(3𝑦5)𝑖=3+4𝑖?

Réponse

On rappelle que deux nombres complexes sont égaux si leurs parties réelles et imaginaires sont égales. En considérant séparément les parties réelles et imaginaires, nous pouvons former deux équations que nous pourrons ensuite résoudre pour déterminer 𝑥 et 𝑦. Comme 𝑥 et 𝑦 sont des nombres réels, on sait que 5𝑥+2 et 3𝑦5 sont les parties réelle et imaginaire respectives du nombre complexe sur le membre gauche de l’équation. En commençant par les parties réelles, on a 5𝑥+2=3.

En soustrayant 2 aux deux membres, on obtient 5𝑥=5.

Puis en divisant par 5, on a 𝑥=1.

En posant l’égalité des parties imaginaires de chaque membre, on a 3𝑦5=4.

Ajouter 5 aux deux membres donne 3𝑦=9; puis diviser par 3 donne 𝑦=3.

Par conséquent, 𝑥=1 et 𝑦=3.

De manière similaire à la définition de l’égalité des nombres complexes, les principes de base de l’addition et de la soustraction de nombres complexes sont analogues à leurs équivalents dans l’algèbre des polynômes. Pour additionner et soustraire des polynômes, on additionne et soustrait leurs coefficients correspondants.

Définition : Addition et soustraction de nombres complexes

Pour deux nombres complexes 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 et 𝑧=𝑐+𝑑𝑖, 𝑧+𝑧=(𝑎+𝑐)+(𝑏+𝑑)𝑖.

De même, 𝑧𝑧=(𝑎𝑐)+(𝑏𝑑)𝑖.

En d’autres termes, on additionne ou on soustrait des nombres complexes en additionnant ou en soustrayant séparément leurs parties réelles et leurs parties imaginaires.

On peut également additionner ou soustraire des nombres complexes en développant les parenthèses et en regroupant les termes réels et imaginaires. En utilisant cette méthode, 𝑧+𝑧=(𝑎+𝑏𝑖)+(𝑐+𝑑𝑖)=𝑎+𝑏𝑖+𝑐+𝑑𝑖=(𝑎+𝑐)+(𝑏+𝑑)𝑖.

Remarquez que cela donne la même expression que ci-dessus. Pour soustraire deux nombres complexes:𝑧𝑧=(𝑎+𝑏𝑖)(𝑐+𝑑𝑖), où il faut faire attention à distribuer le signe négatif:(𝑐+𝑑𝑖)=𝑐𝑑𝑖. Cela conduit à 𝑎+𝑏𝑖𝑐𝑑𝑖=(𝑎𝑐)+(𝑏𝑑)𝑖, qui est également le même résultat que ci-dessus.

Cette définition peut être généralisée pour inclure l’addition ou la soustraction de plus de deux nombres complexes. Dans ce cas, on additionne ou on soustrait séparément les parties réelles et les parties imaginaires de tous les nombres complexes. Dans le prochain exemple, nous allons ajouter et soustraire plusieurs nombres complexes.

Exemple 3: Ajouter et soustraire des nombres complexes

Calculez 9+(7+4𝑖)+(44𝑖)(1+3𝑖).

Réponse

Nous allons présenter deux méthodes différentes pour cet exemple.

Méthode 1:on rappelle que l’on peut additionner ou soustraire plusieurs nombres complexes en additionnant ou en soustrayant séparément les parties réelles et les parties imaginaires de chaque nombre complexe. En commençant par les parties réelles, on a 9+7+(4)1=7.

Donc la partie réelle du résultat est 7. De même, pour les parties imaginaires, on a 4+(4)3=3.

En combinant ces deux parties, le résultat est 73𝑖.

Méthode 2:on peut également additionner ou soustraire des nombres complexes en développant les parenthèses et en regroupant les termes réels et imaginaires. Il faut cependant être prudent pour le dernier terme car il y a un signe négatif devant la parenthèse. Nous savons que (1+3𝑖)=13𝑖. En utilisant cette méthode, on peut écrire 9+(7+4𝑖)+(44𝑖)(1+3𝑖)=9+7+4𝑖44𝑖13𝑖=(9+741)+(443)𝑖, ce qui se simplifie par 73𝑖.

Dans la pratique, on utilise plus fréquemment la méthode de regroupement des termes semblables. Il peut cependant parfois être utile de se rappeler qu’il existe une autre méthode, comme nous allons le voir dans l’exemple ci-dessous.

Exemple 4: Soustraire des nombres complexes

Pour 𝑟=5+2𝑖 et 𝑠=9𝑖, calculez Re(𝑟𝑠).

Réponse

Nous allons présenter deux méthodes différentes pour cet exemple mais vous verrez que la deuxième méthode est préférable car plus efficace.

Méthode 1:on commence par calculer 𝑟𝑠 en regroupant les termes semblables. En substituant les valeurs de 𝑟 et 𝑠, on a 𝑟𝑠=5+2𝑖(9𝑖).

Il faut ici à nouveau prêter attention aux signes négatifs. Multiplier chaque terme entre parenthèses par 1 donne 𝑟𝑠=5+2𝑖9+𝑖.

En regroupant les termes semblables, cela se simplifie par 𝑟𝑠=(59)+(2+1)𝑖=4+3𝑖.

On isole enfin sa partie réelle:Re(𝑟𝑠)=4.

Bien que cette méthode aboutisse à une solution correcte, elle nécessite plus de calculs que nécessaire. Plus précisément, nous avons inutilement calculé la partie imaginaire de 𝑟𝑠.

Méthode 2:on rappelle que la partie réelle de la différence de deux nombres complexes est égale à la différence de leurs parties réelles:ReReRe(𝑟𝑠)=(𝑟)(𝑠).

On simplifie ensuite les calculs:ReReRe(𝑟𝑠)=(5+2𝑖)(9𝑖)=59=4.

Nous allons terminer par un exemple légèrement plus difficile.

Exemple 5: Résoudre des équations impliquant des nombres complexes

Soient 𝑧=4𝑥+2𝑦𝑖 et 𝑧=4𝑦+𝑥𝑖, 𝑥, 𝑦. Sachant que 𝑧𝑧=5+2𝑖, calculez 𝑧 et 𝑧.

Réponse

On peut soustraire deux nombres complexes en soustrayant séparément leurs parties réelles et séparément leurs parties imaginaires. On rappelle de plus que l’égalité de deux nombres complexes implique à la fois l’égalité de leurs parties réelles et l’égalité de leurs parties imaginaires. En considérant séparément les parties réelles et imaginaires, nous pouvons écrire deux équations que nous pourrons ensuite résoudre pour déterminer 𝑥 et 𝑦. En commençant par la partie réelle, on a ReReRe(𝑧)(𝑧)=(5+2𝑖).

Comme 𝑥 et 𝑦 sont des nombres réels, on sait que 4𝑥 et 4𝑦 sont les parties réelles respectives de 𝑧 et 𝑧. On en déduit que ReRe(𝑧)(𝑧)=4𝑥4𝑦. En substituant cette expression dans l’équation ci-dessus, on obtient

4𝑥4𝑦=5.(1)

De même, en considérant les parties imaginaires, on a ImImIm(𝑧)(𝑧)=(5+2𝑖).

Comme 2𝑦 et 𝑥 sont les parties imaginaires respectives de 𝑧 et 𝑧, on a ImIm(𝑧)(𝑧)=2𝑦𝑥. En substituant cette expression dans l’équation ci-dessus, on obtient 2𝑦𝑥=2.

En isolant 𝑥, on obtient

𝑥=2𝑦2.(2)

En le substituant dans (1), on trouve 4(2𝑦2)4𝑦=5.

On pourrait alors distribuer le 4 devant les parenthèses. Il est cependant plus efficace de diviser les deux membres de l’équation par 4:2𝑦2𝑦=54.

Ajouter 2 aux deux membres et simplifier donne 𝑦=134. En le substituant dans (2), on obtient 𝑥=21342.=92.

Maintenant que nous avons trouvé 𝑥 et 𝑦, nous pourrions être tentés de nous arrêter là. La question nous demande toutefois de calculer 𝑧 et 𝑧. Nous devons donc substituer ces valeurs dans les équations de 𝑧 et 𝑧 pour terminer la question. Pour 𝑧, on a 𝑧=492+2134𝑖=18+132𝑖.

De même, 𝑧=4134+92𝑖=13+92𝑖.

Il est toujours recommandé de vérifier sa réponse. On soustrait 𝑧 à 𝑧 et on obtient 5+2𝑖 comme attendu.

Résumons quelques concepts importants de cette fiche explicative.

Points clés

  • L’addition, la soustraction et l’égalité des nombres complexes sont définies de manière analogue à l’addition, la soustraction et l’égalité des polynômes.
  • En appliquant les règles habituelles de l’algèbre, nous pouvons commencer à travailler efficacement avec des nombres complexes.
  • Pour les nombres complexes 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 et 𝑧=𝑐+𝑑𝑖,
    • 𝑧 = 𝑧 équivaut à dire que leurs parties réelles et imaginaires sont égales, c’est-à-dire que 𝑎=𝑐 et 𝑏=𝑑;
    • 𝑧±𝑧=(𝑎±𝑐)+(𝑏±𝑑)𝑖;
    • ReReRe(𝑧±𝑧)=(𝑧)±(𝑧);
    • ImImIm(𝑧±𝑧)=(𝑧)±(𝑧).

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