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Fiche explicative de la leçon : Résoudre des équations exponentielles en utilisant les propriétés des puissances Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à résoudre des équations exponentielles en utilisant les propriétés de l’exponentiation.

Commençons par introduire quelques exemples de fonctions exponentielles. Un exemple d’équation exponentielle est 10=100, un autre est 3=9, et un troisième est 36=6||. Remarquez que la variable 𝑥 est en exposant dans le membre de gauche de la première équation, que la variable 𝑎 est en exposant dans les deux membres de la deuxième équation, et que la variable 𝑦 est en exposant dans le membre de droite de la troisième équation. Ces trois exemples d’équations exponentielles nous amènent à la définition suivante.

Définition : Equation exponentielle

Une équation exponentielle est une équation dans laquelle une variable est utilisée dans un exposant ou plus.

Pour déterminer l’ensemble des solutions d’une équation exponentielle, il est souvent utile de la réécrire de sorte que chaque membre ait la même base élevée à une certaine puissance. Pour ce faire, nous devons rappeler certaines des règles d’exponentiation ci-dessous.

Propriétés : Règles d’exponentiation

RègleduproduitRègledelexposantnulRègleduquotientRègledelexposantnégatifRègledelapuissanceRègledelexposantfractionnaire𝑎×𝑎=𝑎𝑎=1𝑎𝑎=𝑎𝑎=1𝑎(𝑎)=𝑎𝑎=𝑎

Notez que les règles dans la colonne de gauche concernent toutes des opérations avec deux exposants.

  • La règle du produit stipule que lorsque l’on multiplie des expressions exponentielles de même base, on garde cette base que l’on élève à la puissance qui est la somme des exposants. Nous utiliserons la règle du produit pour calculer 2×2=2=2.
  • De même, la règle du quotient stipule que lorsque l’on divise des expressions exponentielles avec la même base, on conserve la base et on l’élève à la puissance qui est la différence des deux exposants. Nous utiliserons la règle du quotient pour montrer que 55=5=5.
  • La règle de la puissance stipule que lorsque nous élevons une puissance d’une base à une autre puissance, nous gardons la base et l’élevons à la puissance qui est le produit des exposant. Nous utiliserons la règle de la puissance pour déterminer que 7=7=7×.

Les règles de la colonne de droite nous permettent de simplifier ou de réécrire une expression impliquant une base élevée à une puissance particulière.

  • La règle de l’exposant nul stipule que toute base élevée à la puissance 0 est égale à 1. On utilisera la règle de l’exposant nul pour calculer 3=1.
  • La règle de l’exposant négatif stipule que toute base élevée à une puissance négative est égale à 1 sur la base élevée à la puissance de l’opposé de l’exposant. Nous utiliserons la règle de l’exposant négatif pour calculer 6=16.
  • Enfin, la règle des exposants fractionnaires stipule que toute base élevée à une puissance fractionnaire avec un numérateur égal à 1 est égale à une racine de cette base. Le degré de la racine est le dénominateur de l’exposant.
    Nous utiliserons la règle de l’exposant fractionnaire pour montrer que 2=2.

Maintenant, regardons quelques exemples d’utilisation de ces règles lors de la résolution d’équations exponentielles.

Exemple 1: Résolution d’équations exponentielles

Résolvez l’équation 2=32 en 𝑥.

Réponse

Afin de résoudre cette équation en 𝑥, on commence par réécrire l’équation de sorte que chacun de ses membres s’écrivent sous la forme d’une même base élevée à une certaine puissance. Le côté gauche de l’équation est déjà une base élevée à une certaine puissance - la base 2 est élevée à la puissance 𝑥. Ainsi, nous devons déterminer si le membre de droite de l’équation peut aussi s’écrire comme une puissance de 2. Si tel était le cas, nous n’aurons pas à réécrire le membre de gauche de l’équation. Nous n’aurons qu’à réécrire le membre de droite.

Écrivons les cinq premières puissances entières strictement positives de 2:2=22=2×2=42=2×2×2=82=2×2×2×2=162=2×2×2×2×2=32

On peut voir que 32 peut être écrit comme la base 2 élevée à la puissance 5. Cela signifie que nous pouvons laisser le membre de gauche de l’équation 2=32 inchangé et réécrire l’équation comme suit:2=2.

En analysant cette équation, nous pouvons maintenant déterminer la valeur de 𝑥, car les exposants des deux côtés de l’équation doivent être identiques. Ainsi, la solution en 𝑥 est égale à 5.

Vérification :

Nous pouvons vérifier notre réponse en substituant 5 à 𝑥 dans l’équation originale. On obtient alors 2=32, que l’on peut réécrire en 32=32, et notre réponse doit donc être correcte.

Notez que nous pouvons également trouver la valeur de 𝑥 en prenant la racine cinquième des deux côtés de l’équation d’origine, bien que cette méthode ne soit pas aussi directe et nécessite d’utiliser deux règles d’exponentiation. D’abord, on obtient 2=32, que l’on peut réécrire comme 2=2,2=2.ou

La règle de l’exposant fractionnaire nous permet de réécrire 2 en (2), de sorte que l’équation précédente devient (2)=2, et la règle de la puissance nous permet de réécrire (2) en 2, de sorte que l’équation devient alors 2=2.

En réécrivant 2 comme 2, on obtient que 2=2. L’identification des exposants nous donne 𝑥5=1, et en multipliant des deux côtés de 𝑥5=1 par 5, on obtient 𝑥=5, qui est bien la même réponse que précédemment.

Dans l’exemple suivant, nous allons évaluer une expression exponentielle après avoir résolu un couple d’équations exponentielles.

Exemple 2: Évaluation d’expressions exponentielles après la résolution d’équations exponentielles

Sachant que 8=4=64, calculez la valeur de 𝑦+𝑧.

Réponse

Pour déterminer la valeur de 𝑦+𝑧, on commence par réécrire 8=4=64 sous la forme de deux équations distinctes:8=648=4.et

Penchons-nous d’abord sur l’équation 8=64. Nous pouvons commencer à la résoudre en la réécrivant de sorte que les deux côtés consistent en la même base élevée à une certaine puissance. Le membre de gauche est déjà une base élevée à une certaine puissance - la base 8 est élevée à la puissance 𝑦. Ainsi, nous devons déterminer si le membre de droite peut aussi s’écrire comme une puissance de 8. Si cela est possible, nous n’aurons qu’à réécrire ce membre, sans toucher au membre de gauche.

Puisque 8=8×8=64, on peut laisser le membre de gauche de l’équation 8=64 inchangé et réécrire l’équation comme suit:8=8.

Par identification des exposants, nous pouvons conclure que 𝑦=2.

Résolvons à présent l’équation 8=4. Encore une fois, nous devons la réécrire de sorte que l’on ait la même base élevée à une certaine puissance des deux côtés. Étant donné que 2=2×2=4 et 2=2×2×2=8, on peut réécrire l’équation comme suit:2=2, où chaque membre a pour base 2. La règle de la puissance des exposants nous permet de réécrire 2 en 2 et 2 en 2, de sorte que l’équation devient 2=2.

Comme les exposants des deux côtés de l’équation doivent être identiques, l’équation 3𝑦=2𝑧 doit être vérifiée.

Rappelons que 𝑦=2 est solution de l’équation 8=64. La valeur de 𝑦 étant connue, on peut la substituer dans l’équation 3𝑦=2𝑧 pour obtenir 3(2)=2𝑧, ou bien encore 6=2𝑧. En divisant par 2 des deux côtés 6=2𝑧, on obtient 𝑧=3.

Remarquons qu’il est aussi possible de trouver la valeur de 𝑧 en réécrivant 8=4=64 sous la forme des deux équations 8=644=64.et

Pour résoudre l’équation 4=64, on peut laisser le membre de gauche inchangé et utiliser le fait que 4=4×4×4=64 afin de réécrire l’équation comme suit 4=4.

En identifiant les exposants, on conclut que 𝑧=3. Il s’agit bien de la même solution en 𝑧 que celle trouvée par la méthode précédente.

Puisque nous connaissons maintenant les valeurs de 𝑦 et de 𝑧, on peut les utiliser dans l’expression 𝑦+𝑧 et, par un simple calcul, obtenir 2+3=5. La somme 𝑦+𝑧 est donc égale à 5.

Maintenant, considérons un problème impliquant des exposants binomiaux.

Exemple 3: Résolution d’une équation exponentielle avec exposants binomiaux

Déterminez la valeur de 𝑥 satisfaisant l’équation 81=13.

Réponse

On doit déterminer la valeur de 𝑥 satisfaisant l’équation 81=13. Dans le membre de gauche de cette équation, la base 81 est élevée à la puissance 𝑥+5. Puisque 𝑥+5 est une somme de deux monômes, c’est un exposant binomial.

Dans le membre de droite, la base 13 est élevé à la puissance 𝑥. Étant donné que 81 et 13 sont tous deux des puissances de 3, l’approche la plus simple consiste à réécrire l’équation de sorte que les deux membres aient pour même base 3.

Ce faisant, nous obtenons 3=3.

On peut alors utiliser la règle de la puissance pour réécrire l’équation de la sorte:3=3()puis, par distribution dans l’exposant du membre de gauche, on obtient 3=3.

En identifiant les exposants, on obtient l’équation 4𝑥+20=𝑥 que nous pouvons résoudre pour trouver 𝑥. On soustrait 20 des deux côtés pour obtenir 4𝑥=𝑥20 puis on ajoute 𝑥 des deux côtés pour obtenir 5𝑥=20.

Enfin, en divisant par 5 des deux côtés, on trouve la valeur de 𝑥 pour laquelle 81=13. La valeur de 𝑥 est égale à 4.

Le problème suivant est similaire à celui que nous venons de traiter, mais l’équation que nous allons résoudre contient deux exposants binomiaux au lieu d’un.

Exemple 4: Résolution d’une équation exponentielle avec exposants binomiaux

Déterminez la valeur de 𝑥 satisfaisant l’équation 8=2. Exprimez la réponse au dixième près.

Réponse

On peut déterminer la valeur de 𝑥 pour laquelle 8=2 en réécrivant d’abord l’équation de sorte que chaque membre s’écrit sous la forme d’une même base élevée à une certaine puissance. Dans ce cas, la puissance de chacun des membres sera un terme binomial.

Puisque 2=2×2×2=8, on peut réécrire l’équation comme suit:2=2.

Les deux membres de l’équation ayant pour même base 2, il n’est pas nécessaire de réécrire le membre de droite.

Ensuite, nous pouvons utiliser la règle de la puissancepour réécrire 2 en 2(), nous donnant ainsi l’équation 2=2,() et on peut alors distribuer le 3 dans l’exposant du membre de gauche pour obtenir 2=2.

L’identification des deux exposants binomiaux nous donne l’équation 3𝑥+6=𝑥+4, dont la résolution nous permet de déterminer 𝑥. D’abord, en soustrayant 𝑥 des deux côtés, on obtient 2𝑥+6=4.

Ensuite, en soustrayant 6 des deux côtés, on obtient 2𝑥=2.

Enfin, en divisant par 2 des deux côtés, nous pouvons déterminer la valeur de 𝑥 pour laquelle 8=2. Cette valeur de 𝑥 est 1.

Vérification :

Maintenant, vérifions notre réponse. En substituant 1 à 𝑥 dans l’équation, on obtient 8=2, et, après simplification de l’exposant binomial de chaque côté, on trouve 8=2. Puisque 8=8 et que 2=2×2×2=8, on peut réécrire l’équation comme 8=8. Ainsi, notre valeur de 𝑥est correcte.

Parfois, on sera amenés à résoudre des équations exponentielles comportant des valeurs absolues. Nous allons étudier une telle équation dans l’exemple suivant.

Exemple 5: Résolution d’équations exponentielles comportant des valeurs absolues grâces aux règles d’exponentiation

Déterminez l’ensemble des solutions de l’équation 2=8||.

Réponse

Commençons par réécrire l’équation 2=8|| de sorte que les deux membres de l’équation aient la même base. On peut remarquer que 2=2×2×2=8 et réécrire l’équation de la sorte:2=2.||

Maintenant que chaque membre a la même base 2, on peut utiliser la règle de la puissance pour remplacer 2 par 2(), ce qui nous donne l’équation 2=2,||() puis, après distribution du facteur 3 dans l’exposant du membre de droite, on obtient 2=2.||

Puisque les exposants doivent être égaux entre eux, l’équation |8𝑥12|=12𝑥12 doit être satisfaite.

L’équation |8𝑥12|=12𝑥12 contient des valeurs absolues, nous devons donc considérer deux cas différents:le cas où l’expression 8𝑥12 est positive et le cas où elle est négative. Dans le cas où l’expression est positive, on a l’équation 8𝑥12=12𝑥12, et dans le cas où elle est négative, on a l’équation (8𝑥12)=12𝑥12. Chacune de ces équations peut être résolue en 𝑥 comme indiqué ci-dessous:8𝑥12=12𝑥128𝑥12+12=12𝑥12+128𝑥=12𝑥8𝑥8𝑥=12𝑥8𝑥0=4𝑥04=4𝑥40=𝑥(8𝑥12)=12𝑥128𝑥+12=12𝑥128𝑥+1212=12𝑥12128𝑥=12𝑥248𝑥12𝑥=12𝑥2412𝑥20𝑥=2420𝑥20=2420𝑥=65

La résolution de ces équations implique que 𝑥 pourrait être égal à 0 ou à 65. Cependant, par souci de vérification, nous devons substituer ces valeurs dans l’équation |8𝑥12|=12𝑥12 puis la simplifier comme suit:|8(0)12|=12(0)12|012|=012|12|=1212=12|||86512|||=126512|||93512|||=142512|||225|||=225225=225

Puisque 12=12 est faux et que 225=225 est vrai, cela implique que seule 65, et non pas 0, est dans l’ensemble de solutions de l’équation 2=8||. Par conséquent, l’ensemble de solutions de l’équation est 65.

Enfin, étudions un autre exemple d’équation exponentielle avec des exposants binomiaux.

Exemple 6: Résolution d’une équation exponentielle avec des exposants binomiaux

Déterminez l’ensemble des solutions de l’équation 𝑥=6.

Réponse

Notez que les deux membres de l’équation 𝑥=6 ont pour même exposant 𝑥64. Par conséquent, une des solutions de cette équation est le nombre 6. En effet, si 𝑥 est égal à 6, alors les deux membres de cette équation auront la même base élevée à la même puissance. En remplaçant 𝑥 par 6, on obtient 6=6, dont la simplification partielle nous donne 6=6,6=6.ou

Supposons toutefois que nous ayons, à la place, substitué 6 à 𝑥. Une simplification partielle nous donne (6)=6.

Puisque 28 est pair, les nombres 6 et 6 élevés à cette puissance sont égaux. Ainsi, 6 est également dans l’ensemble de solutions de cette équation.

Rappelons également que la règle de l’exposant nul stipule que toute base élevée à la puissance 0 est égale à 1. Ainsi, toute valeur de 𝑥 qui annule l’exposant 𝑥64 est également solution de l’équation 𝑥=6. La valeur de la base du membre de gauche n’aurait alors pas d’importance. On peut résoudre l’équation 𝑥64=0 de la façon suivante afin de déterminer ces éléments supplémentaires de l’ensemble des solutions:𝑥64=0𝑥64+64=0+64𝑥=64𝑥=±64𝑥=±8.

Ainsi, 8 et 8 sont également solutions de l’équation, et nous connaissons donc à présent la totalité de l’ensemble de solutions de l’équation 𝑥=6. L’ensemble des solutions est {6,6;8,8}.

Vérification :

En substituant 8 et 8 à 𝑥 dans l’équation 𝑥=6, on vérifie simplement que celle-ci est satisfaite et que ces nombres sont donc bien solutions. En substituant 8 à 𝑥, on obtient 8=6, que l’on peut simplifier en 8=6,8=6.ou

En substituant 8 à 𝑥, on obtient (8)=6,()() que l’on peut simplifier en (8)=6,(8)=6.ou En utilisant la règle de l’exposant nul, les deux équations 8=6 et (8)=6 peuvent être simplifiées, et on obtient 1=1, ce qui est vrai. Ainsi, 8 et 8 sont effectivement des éléments de l’ensemble solution.

Maintenant, terminons par récapituler quelques points clés.

Points Clés

  • Une équation exponentielle est une équation dans laquelle une variable est utilisée dans un exposant ou plus.
  • Pour déterminer l’ensemble des solutions d’une équation exponentielle, il est souvent utile de la réécrire de sorte que chaque membre ait la même base élevée à une certaine puissance.
  • Pour réécrire une équation exponentielle de sorte que chaque membre ait la même base élevée à une certaine puissance il est parfois nécessaire d’utiliser une ou plusieurs règles de l’exponentiation.
  • Une des règles de l’exponentiation couramment utilisée pour résoudre des équations exponentielles est la règle de la puissance, c’est-à-dire (𝑎)=𝑎. Cette règle stipule que lorsque l’on élève la puissance d’une base à une autre puissance, le résultat est la base élevée à la puissance du produit des exposants.
  • D’autres règles de l’exponentiation incluent la règle du produit, la règle du quotient, la règle de l’exposant nul, la règle de l’exposant négatif et la règle de l’exposant fractionnaire.
  • On doit vérifier la solution d’une équation exponentielle en évaluant l’équation originale en cette solution.

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