Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à résoudre des équations exponentielles en utilisant les propriétés de l’exponentiation.
Commençons par introduire quelques exemples de fonctions exponentielles. Un exemple d’équation exponentielle est , un autre est , et un troisième est . Remarquez que la variable est en exposant dans le membre de gauche de la première équation, que la variable est en exposant dans les deux membres de la deuxième équation, et que la variable est en exposant dans le membre de droite de la troisième équation. Ces trois exemples d’équations exponentielles nous amènent à la définition suivante.
Définition : Equation exponentielle
Une équation exponentielle est une équation dans laquelle une variable est utilisée dans un exposant ou plus.
Pour déterminer l’ensemble des solutions d’une équation exponentielle, il est souvent utile de la réécrire de sorte que chaque membre ait la même base élevée à une certaine puissance. Pour ce faire, nous devons rappeler certaines des règles d’exponentiation ci-dessous.
Propriétés : Règles d’exponentiation
Notez que les règles dans la colonne de gauche concernent toutes des opérations avec deux exposants.
- La règle du produit stipule que lorsque l’on multiplie des expressions exponentielles de même base, on garde cette base que l’on élève à la puissance qui est la somme des exposants. Nous utiliserons la règle du produit pour calculer .
- De même, la règle du quotient stipule que lorsque l’on divise des expressions exponentielles avec la même base, on conserve la base et on l’élève à la puissance qui est la différence des deux exposants. Nous utiliserons la règle du quotient pour montrer que .
- La règle de la puissance stipule que lorsque nous élevons une puissance d’une base à une autre puissance, nous gardons la base et l’élevons à la puissance qui est le produit des exposant. Nous utiliserons la règle de la puissance pour déterminer que .
Les règles de la colonne de droite nous permettent de simplifier ou de réécrire une expression impliquant une base élevée à une puissance particulière.
- La règle de l’exposant nul stipule que toute base élevée à la puissance 0 est égale à 1. On utilisera la règle de l’exposant nul pour calculer .
- La règle de l’exposant négatif stipule que toute base élevée à une puissance négative est égale à 1 sur la base élevée à la puissance de l’opposé de l’exposant. Nous utiliserons la règle de l’exposant négatif pour calculer .
- Enfin, la règle des exposants fractionnaires stipule que toute base élevée à une puissance fractionnaire avec un numérateur égal à 1 est égale à une racine de cette base. Le degré de la racine est le dénominateur de l’exposant.
Nous utiliserons la règle de l’exposant fractionnaire pour montrer que .
Maintenant, regardons quelques exemples d’utilisation de ces règles lors de la résolution d’équations exponentielles.
Exemple 1: Résolution d’équations exponentielles
Résolvez l’équation en .
Réponse
Afin de résoudre cette équation en , on commence par réécrire l’équation de sorte que chacun de ses membres s’écrivent sous la forme d’une même base élevée à une certaine puissance. Le côté gauche de l’équation est déjà une base élevée à une certaine puissance - la base 2 est élevée à la puissance . Ainsi, nous devons déterminer si le membre de droite de l’équation peut aussi s’écrire comme une puissance de 2. Si tel était le cas, nous n’aurons pas à réécrire le membre de gauche de l’équation. Nous n’aurons qu’à réécrire le membre de droite.
Écrivons les cinq premières puissances entières strictement positives de 2 :
On peut voir que 32 peut être écrit comme la base 2 élevée à la puissance 5. Cela signifie que nous pouvons laisser le membre de gauche de l’équation inchangé et réécrire l’équation comme suit :
En analysant cette équation, nous pouvons maintenant déterminer la valeur de , car les exposants des deux côtés de l’équation doivent être identiques. Ainsi, la solution en est égale à 5.
Vérification :
Nous pouvons vérifier notre réponse en substituant 5 à dans l’équation originale. On obtient alors , que l’on peut réécrire en , et notre réponse doit donc être correcte.
Notez que nous pouvons également trouver la valeur de en prenant la racine cinquième des deux côtés de l’équation d’origine, bien que cette méthode ne soit pas aussi directe et nécessite d’utiliser deux règles d’exponentiation. D’abord, on obtient , que l’on peut réécrire comme
La règle de l’exposant fractionnaire nous permet de réécrire en , de sorte que l’équation précédente devient et la règle de la puissance nous permet de réécrire en , de sorte que l’équation devient alors
En réécrivant 2 comme , on obtient que . L’identification des exposants nous donne , et en multipliant des deux côtés de par 5, on obtient , qui est bien la même réponse que précédemment.
Dans l’exemple suivant, nous allons évaluer une expression exponentielle après avoir résolu un couple d’équations exponentielles.
Exemple 2: Évaluation d’expressions exponentielles après la résolution d’équations exponentielles
Sachant que , calculez la valeur de .
Réponse
Pour déterminer la valeur de , on commence par réécrire sous la forme de deux équations distinctes :
Penchons-nous d’abord sur l’équation . Nous pouvons commencer à la résoudre en la réécrivant de sorte que les deux côtés consistent en la même base élevée à une certaine puissance. Le membre de gauche est déjà une base élevée à une certaine puissance - la base 8 est élevée à la puissance . Ainsi, nous devons déterminer si le membre de droite peut aussi s’écrire comme une puissance de 8. Si cela est possible, nous n’aurons qu’à réécrire ce membre, sans toucher au membre de gauche.
Puisque , on peut laisser le membre de gauche de l’équation inchangé et réécrire l’équation comme suit :
Par identification des exposants, nous pouvons conclure que .
Résolvons à présent l’équation . Encore une fois, nous devons la réécrire de sorte que l’on ait la même base élevée à une certaine puissance des deux côtés. Étant donné que et , on peut réécrire l’équation comme suit : où chaque membre a pour base 2. La règle de la puissance des exposants nous permet de réécrire en et en , de sorte que l’équation devient
Comme les exposants des deux côtés de l’équation doivent être identiques, l’équation doit être vérifiée.
Rappelons que est solution de l’équation . La valeur de étant connue, on peut la substituer dans l’équation pour obtenir , ou bien encore . En divisant par 2 des deux côtés , on obtient .
Remarquons qu’il est aussi possible de trouver la valeur de en réécrivant sous la forme des deux équations
Pour résoudre l’équation , on peut laisser le membre de gauche inchangé et utiliser le fait que afin de réécrire l’équation comme suit
En identifiant les exposants, on conclut que . Il s’agit bien de la même solution en que celle trouvée par la méthode précédente.
Puisque nous connaissons maintenant les valeurs de et de , on peut les utiliser dans l’expression et, par un simple calcul, obtenir . La somme est donc égale à 5.
Maintenant, considérons un problème impliquant des exposants binomiaux.
Exemple 3: Résolution d’une équation exponentielle avec exposants binomiaux
Déterminez la valeur de satisfaisant l’équation .
Réponse
On doit déterminer la valeur de satisfaisant l’équation . Dans le membre de gauche de cette équation, la base 81 est élevée à la puissance . Puisque est une somme de deux monômes, c’est un exposant binomial.
Dans le membre de droite, la base est élevé à la puissance . Étant donné que 81 et sont tous deux des puissances de 3, l’approche la plus simple consiste à réécrire l’équation de sorte que les deux membres aient pour même base 3.
Ce faisant, nous obtenons
On peut alors utiliser la règle de la puissance pour réécrire l’équation de la sorte : puis, par distribution dans l’exposant du membre de gauche, on obtient
En identifiant les exposants, on obtient l’équation que nous pouvons résoudre pour trouver . On soustrait 20 des deux côtés pour obtenir puis on ajoute des deux côtés pour obtenir
Enfin, en divisant par 5 des deux côtés, on trouve la valeur de pour laquelle . La valeur de est égale à .
Le problème suivant est similaire à celui que nous venons de traiter, mais l’équation que nous allons résoudre contient deux exposants binomiaux au lieu d’un.
Exemple 4: Résolution d’une équation exponentielle avec exposants binomiaux
Déterminez la valeur de satisfaisant l’équation . Exprimez la réponse au dixième près.
Réponse
On peut déterminer la valeur de pour laquelle en réécrivant d’abord l’équation de sorte que chaque membre s’écrit sous la forme d’une même base élevée à une certaine puissance. Dans ce cas, la puissance de chacun des membres sera un terme binomial.
Puisque , on peut réécrire l’équation comme suit :
Les deux membres de l’équation ayant pour même base 2, il n’est pas nécessaire de réécrire le membre de droite.
Ensuite, nous pouvons utiliser la règle de la puissancepour réécrire en , nous donnant ainsi l’équation et on peut alors distribuer le 3 dans l’exposant du membre de gauche pour obtenir
L’identification des deux exposants binomiaux nous donne l’équation dont la résolution nous permet de déterminer . D’abord, en soustrayant des deux côtés, on obtient
Ensuite, en soustrayant 6 des deux côtés, on obtient
Enfin, en divisant par 2 des deux côtés, nous pouvons déterminer la valeur de pour laquelle . Cette valeur de est .
Vérification :
Maintenant, vérifions notre réponse. En substituant à dans l’équation, on obtient , et, après simplification de l’exposant binomial de chaque côté, on trouve . Puisque et que , on peut réécrire l’équation comme . Ainsi, notre valeur de est correcte.
Parfois, on sera amenés à résoudre des équations exponentielles comportant des valeurs absolues. Nous allons étudier une telle équation dans l’exemple suivant.
Exemple 5: Résolution d’équations exponentielles comportant des valeurs absolues grâces aux règles d’exponentiation
Déterminez l’ensemble des solutions de l’équation .
Réponse
Commençons par réécrire l’équation de sorte que les deux membres de l’équation aient la même base. On peut remarquer que et réécrire l’équation de la sorte :
Maintenant que chaque membre a la même base 2, on peut utiliser la règle de la puissance pour remplacer par , ce qui nous donne l’équation puis, après distribution du facteur 3 dans l’exposant du membre de droite, on obtient
Puisque les exposants doivent être égaux entre eux, l’équation doit être satisfaite.
L’équation contient des valeurs absolues, nous devons donc considérer deux cas différents : le cas où l’expression est positive et le cas où elle est négative. Dans le cas où l’expression est positive, on a l’équation , et dans le cas où elle est négative, on a l’équation . Chacune de ces équations peut être résolue en comme indiqué ci-dessous :
La résolution de ces équations implique que pourrait être égal à 0 ou à . Cependant, par souci de vérification, nous devons substituer ces valeurs dans l’équation puis la simplifier comme suit :
Puisque est faux et que est vrai, cela implique que seule , et non pas 0, est dans l’ensemble de solutions de l’équation . Par conséquent, l’ensemble de solutions de l’équation est .
Enfin, étudions un autre exemple d’équation exponentielle avec des exposants binomiaux.
Exemple 6: Résolution d’une équation exponentielle avec des exposants binomiaux
Déterminez l’ensemble des solutions de l’équation .
Réponse
Notez que les deux membres de l’équation ont pour même exposant . Par conséquent, une des solutions de cette équation est le nombre 6. En effet, si est égal à 6, alors les deux membres de cette équation auront la même base élevée à la même puissance. En remplaçant par 6, on obtient dont la simplification partielle nous donne
Supposons toutefois que nous ayons, à la place, substitué à . Une simplification partielle nous donne
Puisque est pair, les nombres et 6 élevés à cette puissance sont égaux. Ainsi, est également dans l’ensemble de solutions de cette équation.
Rappelons également que la règle de l’exposant nul stipule que toute base élevée à la puissance 0 est égale à 1. Ainsi, toute valeur de qui annule l’exposant est également solution de l’équation . La valeur de la base du membre de gauche n’aurait alors pas d’importance. On peut résoudre l’équation de la façon suivante afin de déterminer ces éléments supplémentaires de l’ensemble des solutions :
Ainsi, 8 et sont également solutions de l’équation, et nous connaissons donc à présent la totalité de l’ensemble de solutions de l’équation . L’ensemble des solutions est .
Vérification :
En substituant 8 et à dans l’équation , on vérifie simplement que celle-ci est satisfaite et que ces nombres sont donc bien solutions. En substituant 8 à , on obtient que l’on peut simplifier en
En substituant à , on obtient que l’on peut simplifier en En utilisant la règle de l’exposant nul, les deux équations et peuvent être simplifiées, et on obtient , ce qui est vrai. Ainsi, 8 et sont effectivement des éléments de l’ensemble solution.
Maintenant, terminons par récapituler quelques points clés.
Points Clés
- Une équation exponentielle est une équation dans laquelle une variable est utilisée dans un exposant ou plus.
- Pour déterminer l’ensemble des solutions d’une équation exponentielle, il est souvent utile de la réécrire de sorte que chaque membre ait la même base élevée à une certaine puissance.
- Pour réécrire une équation exponentielle de sorte que chaque membre ait la même base élevée à une certaine puissance il est parfois nécessaire d’utiliser une ou plusieurs règles de l’exponentiation.
- Une des règles de l’exponentiation couramment utilisée pour résoudre des équations exponentielles est la règle de la puissance, c’est-à-dire . Cette règle stipule que lorsque l’on élève la puissance d’une base à une autre puissance, le résultat est la base élevée à la puissance du produit des exposants.
- D’autres règles de l’exponentiation incluent la règle du produit, la règle du quotient, la règle de l’exposant nul, la règle de l’exposant négatif et la règle de l’exposant fractionnaire.
- On doit vérifier la solution d’une équation exponentielle en évaluant l’équation originale en cette solution.