Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à calculer la vitesse instantanée d’un objet à l’aide d’une tangente pour déterminer le gradient en un point sur la courbe représentant le déplacement de l’objet en fonction du temps.
Rappelons que la vitesse mesure la rapidité avec laquelle un objet se déplace. Elle est obtenue en prenant la norme du vecteur-vitesse ou en divisant la distance qu’un objet parcourt sur une période donnée. Cela signifie que les unités de vitesse sont exprimées en longueur / temps, généralement mètres par seconde (m/s) :
Le graphique ci-dessous indique la distance en mètres (axe des ) en fonction du temps en secondes (axe des ) pour un objet qui se déplace à une vitesse constante. Comme la vitesse est constante, la courbe est une ligne droite.
À partir de cette droite rectiligne sur le graphique, nous pouvons déterminer la vitesse de cet objet en calculant la pente de la droite :
La pente d’une droite peut être calculée en prenant la différence verticale entre deux points sur la droite et en la divisant par la différence horizontale entre ces deux mêmes points :
Plus la pente de la droite est élevée, plus la vitesse de l’objet est également élevée. Calculons la vitesse de l’objet à la fin du graphique au point indiqué sur le graphique ci-dessous.
En ce point sur le graphique, l’objet a parcouru une distance de 20 mètres et s’est déplacé pendant 4 secondes. En prenant les différences verticale et horizontale, nous obtenons
Ainsi, nous trouvons que la vitesse vaut 5 m/s.
Cependant, tous les objets ne se déplacent pas toujours à une vitesse constante. Certaines courbes de distance en fonction du temps ressemblent au graphique ci-dessous.
Dans ce cas, la vitesse doit être calculée en utilisant une méthode différente : en utilisant soit la vitesse instantanée, soit la vitesse moyenne.
La vitesse instantanée est la vitesse d’un objet à un moment donné (par exemple en ).
La vitesse moyenne est la vitesse totale d’un objet sur une période de temps donnée (par exemple entre et ).
Avant de continuer, précisons que, entre distance et déplacement, cette fiche explicative se focalise sur la distance car celle-ci est une intensité. Cela est dû au fait que la vitesse instantanée est utilisée presque exclusivement par rapport au vecteur-vitesse instantané : lorsque l’on étudie un point particulier, on cherche une intensité, et non une direction.
Cela signifie que lorsqu’une pente est négative, on représente quand même la vitesse avec une valeur positive. Le graphique ci-dessous est un graphique du déplacement en fonction du temps (et non de la distance en fonction du temps) qui illustre deux droites ayant la même intensité mais des directions différentes.
La pente de la droite rouge est 1 : et la pente de la droite bleue est :
Si nous sommes intéresses uniquement à la vitesse - qui est une intensité, et non un vecteur ayant une direction - on prendra simplement la valeur absolue de la pente :
Tout d’abord, regardons comment calculer la vitesse moyenne. Elle est calculée de la même manière que la vitesse standard en prenant la distance et en la divisant par le temps, mais tout en sachant que la vitesse peut changer au fil du temps.
Le graphique ci-dessous montre trois zones distinctes où la pente est différente.
En mesurant de à , nous pouvons voir que la vitesse moyenne est la même que celle représentée par le graphique comportant une seule droite, car le point de départ et le point final sont les mêmes :
Lorsque la droite monte ou descend, comme entre et , la vitesse est positive. Lorsque la droite est plate, par exemple, entre et , la vitesse est égale à 0. Si on trouve les pentes sur ces zones, on peut alors calculer les vitesses exactes au cours de ces intervalles. Commençons par les zones de à ,
De à , la courbe est également une droite. Cela signifie que la vitesse de l’objet est constante entre ces deux instants. Nous pouvons calculer la vitesse de la même manière que précédemment :
De la même façon, de à , la courbe est une droite, ce qui signifie que la vitesse est constante entre ces deux instants, de sorte que l’on peut calculer la vitesse de la même manière :
Ainsi, bien que la vitesse moyenne de cet objet soit de 5 m/s, la vitesse réelle de l’objet change considérablement au cours de ces 4 secondes.
Étudions un autre exemple.
Exemple 1: Calculer la vitesse instantanée d’une personne à partir du graphique de son déplacement en fonction du temps constitué uniquement de droites
Un garçon se déplace le long d’une ligne droite. Sur le graphique, la ligne bleue indique le déplacement, , du garçon depuis sa position de départ au cours du temps, .
- Quelle est sa vitesse 2 secondes après avoir commencé à marcher ?
- Quelle est sa vitesse 6 secondes après avoir commencé à marcher ?
Réponse
Partie 1
Ce graphique illustre le déplacement, et non la distance, sur l’axe des . Cela signifie que pour obtenir la vitesse, il faut trouver la valeur de la pente.
Calculons la pente de la droite 2 secondes après que le garçon commence à marcher. Étant donné que la courbe est une droite (ce qui signifie qu’elle a la même pente) sur tout l’intervalle de jusqu’à , nous pouvons choisir que l’extrémité soit n’importe où le long de la droite. La formule pour la pente d’une droite est donc, pour trouver la pente 2 secondes après que le garçon commence à marcher, la différence verticale, ou déplacement, varie de 0 m à 4 m, et le déplacement horizontal, ou temps, varie de à :
Nous considérons la valeur absolue pour obtenir une valeur de
Après 2 secondes de marche, le garçon se déplace avec une vitesse de 1 m/s.
Partie 2
La vitesse du garçon 6 secondes après avoir commencé à marcher peut être calculée avec la même méthode. Encore une fois, tant que la courbe est une droite, cela signifie que la pente est constante. Pour cette raison, nous pouvons choisir deux points quelconques le long de cette droite, à condition qu’ils soient sur le même segment de droite.
Il est plus pratique de choisir de fixer, par exemple, le début de la droite en et le point final en : puis nous considérons la valeur absolue pour obtenir la vitesse,
Ainsi, après 6 secondes de marche, le garçon se déplace avec une vitesse de 0,25 m/s.
Cette méthode qui consiste à mesurer entre le point de départ et le point final ne fonctionne que lorsque les courbes sur ces graphiques sont des droites. Le graphique ci-dessous illustre la hauteur d’une balle au-dessus du sol lorsqu’elle est lancée en l’air et retombe.
La pente de cette courbe change beaucoup trop vite pour pouvoir calculer la vitesse moyenne ; il va donc falloir calculer la vitesse instantanée - la vitesse en un point donné - à l’aide de tangentes.
Les tangentes sont des droites qui touchent à peine une ligne courbe, de sorte que les deux lignes ont la même exacte pente au point où elles se rencontrent. Le diagramme ci-dessous montre une tangente en pointillés rouges à la courbe bleue.
Voyons un exemple.
Exemple 2: Identifier les tangentes à une courbe
Un objet se déplace le long d’une ligne droite. Sur le graphique, la courbe bleue indique le déplacement, , de l’objet à partir de sa position de départ dans le temps, .
Laquelle des trois lignes pointillées est tangente à la courbe bleue en ?
- La ligne orange
- La ligne rouge
- La ligne violette
Réponse
Lorsque l’on regarde la courbe bleue, à chaque instant , le déplacement est différent. Le seul moment où ceci ne serait pas vérifié serait lorsque la droite est plate, indiquant que le déplacement de l’objet ne change pas, mais on observe que cela ne se produit pas sur cette courbe.
La tangente à cette courbe passera exactement par un point ayant des valeurs uniques de et . Dans ce cas, pour .
La ligne orange coupe la ligne bleue, mais sa pente ne correspond pas tout à fait à la pente de la courbe bleue. La pente de la ligne orange est plus élevée, donc elle n’est pas tangente à la courbe bleue.
La pente de la ligne rouge est beaucoup trop petite là où elle rencontre la ligne bleue. Ce n’est pas une tangente.
La pente de la ligne violette correspond plus étroitement à la pente de la courbe bleue que les autres lignes, au point où elle rencontre la ligne bleue, ainsi la bonne réponse est la réponse C.
Toutefois, le fait de toucher la courbe n’est pas suffisant pour être considéré comme une tangente. Les courbes doivent à peine se toucher. Pour ce faire, on trace une infime partie de la droite en ce point, puis on la prolonge en une droite rectiligne vers l’extérieur. Ceci est illustré par le diagramme ci-dessous.
Les droites tangentes touchent la courbe en exactement un seul point, pour un unique couple de valeurs de et .
Voyons un exemple.
Exemple 3: Identifier les tangentes à une courbe
Un objet se déplace le long d’une ligne droite. Sur le graphique, la courbe bleue indique le déplacement, , de l’objet à partir de sa position de départ dans le temps, .
- Laquelle des trois lignes pointillées est tangente à la courbe bleue en ?
- la ligne rouge
- la ligne violette
- la ligne orange
- Laquelle des trois lignes pointillées est tangente à la courbe bleue en ?
- la ligne rouge
- la ligne violette
- la ligne orange
- Laquelle des trois lignes pointillées est tangente à la courbe bleue en ?
- la ligne violette
- la ligne orange
- la ligne rouge
Réponse
Partie 1
En , on remarque qu’une seule ligne touche la courbe bleue en ce point : la ligne violette. Aucune autre ligne n’est près de la courbe, donc la bonne réponse est la réponse B.
Partie 2
En , la ligne orange est la seule à toucher la courbe bleue. De toutes les lignes, la ligne orange a la pente la plus élevée, ce qui signifie qu’elle a la plus grande vitesse en ce point. La bonne réponse est la réponse C.
Partie 3
En , seule la ligne rouge touche la courbe bleue en ce point. On note également que la ligne rouge continue apparemment à toucher la courbe à mesure que le temps continue. En effet, la pente de la ligne bleue correspond presque exactement à la pente de la ligne rouge. La bonne réponse est C.
Maintenant que nous avons vu comment les droites tangentes sont tracées, nous pouvons calculer la vitesse instantanée. Comme la vitesse correspond à la pente d’une droite, en trouvant la droite en un point, nous pouvons en calculer la pente à partir de cette droite.
Les exemples ci-dessous illustrent comment faire.
Exemple 4: Trouver la vitesse d’un objet à partir d’une tangente à une courbe sur un graphique de déplacement en fonction du temps
Une balle est lancée en l’air et retombe au sol. La hauteur, , de la balle au-dessus du sol au cours du temps, , est représentée sur le graphique par la courbe bleue. La ligne rouge est une tangente à la courbe bleue en . Quelle est la vitesse de la balle en ?
Réponse
La vitesse à l’instant peut être trouvée en calculant la pente à cet instant. Pour trouver la pente, il faut avoir une droite.
On nous donne la tangente en . Comme cette tangente est une droite, nous pouvons calculer sa pente en utilisant les différences de et prises aux extrémités de la ligne. Nous pouvons voir que, pour la tangente, varie de 0 s à 3 s, et varie de 5 m à 20 m. Rappelons l’équation de la pente d’une droite : Ainsi, en substituant avec les valeurs relevées, nous avons
La hauteur est un déplacement, il faut donc prendre sa valeur absolue pour calculer la vitesse, qui est une intensité :
La vitesse instantanée de la balle en est de 5 m/s.
Exemple 5: Trouver la vitesse instantanée d’un objet à partir d’un graphique de déplacement en fonction du temps
Une balle est lancée en l’air et retombe au sol. La hauteur, , de la balle au-dessus du sol au cours du temps, , est représentée sur le graphique par la courbe bleue. Quelle est la vitesse de la balle en ?
Réponse
Dans ce problème, on ne nous donne pas de ligne tangente, mais on nous dit seulement de trouver la vitesse de la balle à l’instant . Il faut alors commencer par établir la tangente à cet instant. Pour ce faire, on prend une petite partie de la pente en ce point et on la prolonge sur tout le graphique.
Cette tangente est cependant complètement plate. Elle ne présente pas de variation selon l’axe des :
Lorsque la balle est en , sa vitesse est de 0 m/s. Rappelons que la valeur de la pente détermine la vitesse d’un objet, donc, quand il n’y a pas de pente, la vitesse est égale à 0.
Regardons de plus près un cas où la pente est élevée.
Exemple 6: Identifier la vitesse instantanée d’un objet en un point d’une courbe de déplacement en fonction du temps
Le graphique ci-après illustre le déplacement d’une moto lors d’une course se déroulant sur une piste rectiligne. En quel point indiqué sur le graphique la moto a-t-elle la plus grande vitesse ?
- le point A
- le point B
- le point D
- le point E
- le point C
Réponse
Ceci est un graphique de déplacement en fonction du temps, et non pas un graphique de distance en fonction du temps, mais puisque la pente en chaque point annoté de la courbe semble être positive, il n’est pas nécessaire de prendre la valeur absolue pour la transformer en une valeur positive.
Nous devons trouver l’endroit correspondant à la plus grande vitesse en un point spécifique, c’est-à-dire la vitesse instantanée. Pour trouver cette vitesse instantanée, il nous faut tout d’abord avoir une pente, et avant d’avoir une pente, il nous faut tracer des droites tangentes pour chaque point. Ces droites sont représentées sur le diagramme ci-dessous.
Nous pouvons mesurer individuellement les droites pour déterminer leurs pentes et donc les vitesses instantanées en ces points, mais nul besoin d’en connaître les valeurs exactes. Nous devons rechercher simplement le point ayant la plus grande vitesse.
Une pente plus élevée correspond à une vitesse plus rapide, il suffit donc de chercher la pente la plus élevée. La pente au point A est sans aucun doute la pente la moins élevée, et la pente la plus élevée est celle de la tangente au point E. La pente la plus élevée, et donc le point où nous avons la plus grande vitesse, est le point E, soit la réponse D.
Résumons ce que nous avons appris dans cette fiche explicative.
Points clés
- La vitesse peut être trouvée à partir du graphique représentant la distance en fonction du temps en mesurant la pente de la droite. S’il s’agit d’un graphique représentant le déplacement en fonction du temps, la vitesse peut être trouvée en prenant la valeur absolue de la pente de la droite.
- La tangente peut être tracée en un point en prenant une petite partie de la pente en ce point et en la prolongeant en une droite rectiligne.
- La vitesse instantanée peut être trouvée en un point en traçant une tangente en ce point et en calculant sa pente.
- Plus la pente d’une droite est élevée, plus la vitesse correspondante est grande.
- Si la pente est plate, la vitesse est nulle.
