Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre Ă calculer la vitesse instantanĂ©e dâun objet Ă lâaide dâune tangente pour dĂ©terminer le gradient en un point sur la courbe reprĂ©sentant le dĂ©placement de lâobjet en fonction du temps.
Rappelons que la vitesse mesure la rapiditĂ© avec laquelle un objet se dĂ©place. Elle est obtenue en prenant la norme du vecteur-vitesse ou en divisant la distance quâun objet parcourt sur une pĂ©riode donnĂ©e. Cela signifie que les unitĂ©s de vitesse sont exprimĂ©es en longueur / temps, gĂ©nĂ©ralement mĂštres par seconde (m/s)â:â
Le graphique ci-dessous indique la distance en mÚtres (axe des ) en fonction du temps en secondes (axe des ) pour un objet qui se déplace à une vitesse constante. Comme la vitesse est constante, la courbe est une ligne droite.
Ă partir de cette droite rectiligne sur le graphique, nous pouvons dĂ©terminer la vitesse de cet objet en calculant la pente de la droiteâ:â
La pente dâune droite peut ĂȘtre calculĂ©e en prenant la diffĂ©rence verticale entre deux points sur la droite et en la divisant par la diffĂ©rence horizontale entre ces deux mĂȘmes pointsâ:â
Plus la pente de la droite est Ă©levĂ©e, plus la vitesse de lâobjet est Ă©galement Ă©levĂ©e. Calculons la vitesse de lâobjet Ă la fin du graphique au point indiquĂ© sur le graphique ci-dessous.
En ce point sur le graphique, lâobjet a parcouru une distance de 20 mĂštres et sâest dĂ©placĂ© pendant 4 secondes. En prenant les diffĂ©rences verticale et horizontale, nous obtenons
Ainsi, nous trouvons que la vitesse vaut 5 m/s.
Cependant, tous les objets ne se déplacent pas toujours à une vitesse constante. Certaines courbes de distance en fonction du temps ressemblent au graphique ci-dessous.
Dans ce cas, la vitesse doit ĂȘtre calculĂ©e en utilisant une mĂ©thode diffĂ©renteâ:âen utilisant soit la vitesse instantanĂ©e, soit la vitesse moyenne.
La vitesse instantanĂ©e est la vitesse dâun objet Ă un moment donnĂ© (par exemple en ).
La vitesse moyenne est la vitesse totale dâun objet sur une pĂ©riode de temps donnĂ©e (par exemple entre et ).
Avant de continuer, prĂ©cisons que, entre distance et dĂ©placement, cette fiche explicative se focalise sur la distance car celle-ci est une intensitĂ©. Cela est dĂ» au fait que la vitesse instantanĂ©e est utilisĂ©e presque exclusivement par rapport au vecteur-vitesse instantanĂ©â:âlorsque lâon Ă©tudie un point particulier, on cherche une intensitĂ©, et non une direction.
Cela signifie que lorsquâune pente est nĂ©gative, on reprĂ©sente quand mĂȘme la vitesse avec une valeur positive. Le graphique ci-dessous est un graphique du dĂ©placement en fonction du temps (et non de la distance en fonction du temps) qui illustre deux droites ayant la mĂȘme intensitĂ© mais des directions diffĂ©rentes.
La pente de la droite rouge est 1â:â et la pente de la droite bleue est â:â
Si nous sommes intĂ©resses uniquement Ă la vitesse - qui est une intensitĂ©, et non un vecteur ayant une direction - on prendra simplement la valeur absolue de la penteâ:â
Tout dâabord, regardons comment calculer la vitesse moyenne. Elle est calculĂ©e de la mĂȘme maniĂšre que la vitesse standard en prenant la distance et en la divisant par le temps, mais tout en sachant que la vitesse peut changer au fil du temps.
Le graphique ci-dessous montre trois zones distinctes oĂč la pente est diffĂ©rente.
En mesurant de Ă , nous pouvons voir que la vitesse moyenne est la mĂȘme que celle reprĂ©sentĂ©e par le graphique comportant une seule droite, car le point de dĂ©part et le point final sont les mĂȘmesâ:â
Lorsque la droite monte ou descend, comme entre et , la vitesse est positive. Lorsque la droite est plate, par exemple, entre et , la vitesse est égale à 0. Si on trouve les pentes sur ces zones, on peut alors calculer les vitesses exactes au cours de ces intervalles. Commençons par les zones de à ,
De Ă , la courbe est Ă©galement une droite. Cela signifie que la vitesse de lâobjet est constante entre ces deux instants. Nous pouvons calculer la vitesse de la mĂȘme maniĂšre que prĂ©cĂ©demmentâ:â
De la mĂȘme façon, de Ă , la courbe est une droite, ce qui signifie que la vitesse est constante entre ces deux instants, de sorte que lâon peut calculer la vitesse de la mĂȘme maniĂšreâ:â
Ainsi, bien que la vitesse moyenne de cet objet soit de 5 m/s, la vitesse rĂ©elle de lâobjet change considĂ©rablement au cours de ces 4 secondes.
Ătudions un autre exemple.
Exemple 1: Calculer la vitesse instantanĂ©e dâune personne Ă partir du graphique de son dĂ©placement en fonction du temps constituĂ© uniquement de droites
Un garçon se dĂ©place le long dâune ligne droite. Sur le graphique, la ligne bleue indique le dĂ©placement, , du garçon depuis sa position de dĂ©part au cours du temps, .
- Quelle est sa vitesse 2 secondes aprĂšs avoir commencĂ© Ă marcherâ?â
- Quelle est sa vitesse 6 secondes aprĂšs avoir commencĂ© Ă marcherâ?â
RĂ©ponse
Partie 1
Ce graphique illustre le dĂ©placement, et non la distance, sur lâaxe des . Cela signifie que pour obtenir la vitesse, il faut trouver la valeur de la pente.
Calculons la pente de la droite 2 secondes aprĂšs que le garçon commence Ă marcher. Ătant donnĂ© que la courbe est une droite (ce qui signifie quâelle a la mĂȘme pente) sur tout lâintervalle de jusquâĂ , nous pouvons choisir que lâextrĂ©mitĂ© soit nâimporte oĂč le long de la droite. La formule pour la pente dâune droite est donc, pour trouver la pente 2 secondes aprĂšs que le garçon commence Ă marcher, la diffĂ©rence verticale, ou dĂ©placement, varie de 0 m Ă 4 m, et le dĂ©placement horizontal, ou temps, varie de Ă â:â
Nous considérons la valeur absolue pour obtenir une valeur de
AprÚs 2 secondes de marche, le garçon se déplace avec une vitesse de 1 m/s.
Partie 2
La vitesse du garçon 6 secondes aprĂšs avoir commencĂ© Ă marcher peut ĂȘtre calculĂ©e avec la mĂȘme mĂ©thode. Encore une fois, tant que la courbe est une droite, cela signifie que la pente est constante. Pour cette raison, nous pouvons choisir deux points quelconques le long de cette droite, Ă condition quâils soient sur le mĂȘme segment de droite.
Il est plus pratique de choisir de fixer, par exemple, le dĂ©but de la droite en et le point final en â:â puis nous considĂ©rons la valeur absolue pour obtenir la vitesse,
Ainsi, aprÚs 6 secondes de marche, le garçon se déplace avec une vitesse de 0,25 m/s.
Cette mĂ©thode qui consiste Ă mesurer entre le point de dĂ©part et le point final ne fonctionne que lorsque les courbes sur ces graphiques sont des droites. Le graphique ci-dessous illustre la hauteur dâune balle au-dessus du sol lorsquâelle est lancĂ©e en lâair et retombe.
La pente de cette courbe change beaucoup trop vite pour pouvoir calculer la vitesse moyenneâ;âil va donc falloir calculer la vitesse instantanĂ©e - la vitesse en un point donnĂ© - Ă lâaide de tangentes.
Les tangentes sont des droites qui touchent Ă peine une ligne courbe, de sorte que les deux lignes ont la mĂȘme exacte pente au point oĂč elles se rencontrent. Le diagramme ci-dessous montre une tangente en pointillĂ©s rouges Ă la courbe bleue.
Voyons un exemple.
Exemple 2: Identifier les tangentes Ă une courbe
Un objet se dĂ©place le long dâune ligne droite. Sur le graphique, la courbe bleue indique le dĂ©placement, , de lâobjet Ă partir de sa position de dĂ©part dans le temps, .
Laquelle des trois lignes pointillĂ©es est tangente Ă la courbe bleue en â?â
- La ligne orange
- La ligne rouge
- La ligne violette
RĂ©ponse
Lorsque lâon regarde la courbe bleue, Ă chaque instant , le dĂ©placement est diffĂ©rent. Le seul moment oĂč ceci ne serait pas vĂ©rifiĂ© serait lorsque la droite est plate, indiquant que le dĂ©placement de lâobjet ne change pas, mais on observe que cela ne se produit pas sur cette courbe.
La tangente Ă cette courbe passera exactement par un point ayant des valeurs uniques de et . Dans ce cas, pour .
La ligne orange coupe la ligne bleue, mais sa pente ne correspond pas tout Ă fait Ă la pente de la courbe bleue. La pente de la ligne orange est plus Ă©levĂ©e, donc elle nâest pas tangente Ă la courbe bleue.
La pente de la ligne rouge est beaucoup trop petite lĂ oĂč elle rencontre la ligne bleue. Ce nâest pas une tangente.
La pente de la ligne violette correspond plus Ă©troitement Ă la pente de la courbe bleue que les autres lignes, au point oĂč elle rencontre la ligne bleue, ainsi la bonne rĂ©ponse est la rĂ©ponse C.
Toutefois, le fait de toucher la courbe nâest pas suffisant pour ĂȘtre considĂ©rĂ© comme une tangente. Les courbes doivent Ă peine se toucher. Pour ce faire, on trace une infime partie de la droite en ce point, puis on la prolonge en une droite rectiligne vers lâextĂ©rieur. Ceci est illustrĂ© par le diagramme ci-dessous.
Les droites tangentes touchent la courbe en exactement un seul point, pour un unique couple de valeurs de et .
Voyons un exemple.
Exemple 3: Identifier les tangentes Ă une courbe
Un objet se dĂ©place le long dâune ligne droite. Sur le graphique, la courbe bleue indique le dĂ©placement, , de lâobjet Ă partir de sa position de dĂ©part dans le temps, .
- Laquelle des trois lignes pointillĂ©es est tangente Ă la courbe bleue en â?â
- la ligne rouge
- la ligne violette
- la ligne orange
- Laquelle des trois lignes pointillĂ©es est tangente Ă la courbe bleue en â?â
- la ligne rouge
- la ligne violette
- la ligne orange
- Laquelle des trois lignes pointillĂ©es est tangente Ă la courbe bleue en â?â
- la ligne violette
- la ligne orange
- la ligne rouge
RĂ©ponse
Partie 1
En , on remarque quâune seule ligne touche la courbe bleue en ce pointâ:âla ligne violette. Aucune autre ligne nâest prĂšs de la courbe, donc la bonne rĂ©ponse est la rĂ©ponse B.
Partie 2
En , la ligne orange est la seule Ă toucher la courbe bleue. De toutes les lignes, la ligne orange a la pente la plus Ă©levĂ©e, ce qui signifie quâelle a la plus grande vitesse en ce point. La bonne rĂ©ponse est la rĂ©ponse C.
Partie 3
En , seule la ligne rouge touche la courbe bleue en ce point. On note également que la ligne rouge continue apparemment à toucher la courbe à mesure que le temps continue. En effet, la pente de la ligne bleue correspond presque exactement à la pente de la ligne rouge. La bonne réponse est C.
Maintenant que nous avons vu comment les droites tangentes sont tracĂ©es, nous pouvons calculer la vitesse instantanĂ©e. Comme la vitesse correspond Ă la pente dâune droite, en trouvant la droite en un point, nous pouvons en calculer la pente Ă partir de cette droite.
Les exemples ci-dessous illustrent comment faire.
Exemple 4: Trouver la vitesse dâun objet Ă partir dâune tangente Ă une courbe sur un graphique de dĂ©placement en fonction du temps
Une balle est lancĂ©e en lâair et retombe au sol. La hauteur, , de la balle au-dessus du sol au cours du temps, , est reprĂ©sentĂ©e sur le graphique par la courbe bleue. La ligne rouge est une tangente Ă la courbe bleue en . Quelle est la vitesse de la balle en â?â
RĂ©ponse
La vitesse Ă lâinstant peut ĂȘtre trouvĂ©e en calculant la pente Ă cet instant. Pour trouver la pente, il faut avoir une droite.
On nous donne la tangente en . Comme cette tangente est une droite, nous pouvons calculer sa pente en utilisant les diffĂ©rences de et prises aux extrĂ©mitĂ©s de la ligne. Nous pouvons voir que, pour la tangente, varie de 0 s Ă 3 s, et varie de 5 m Ă 20 m. Rappelons lâĂ©quation de la pente dâune droiteâ:â Ainsi, en substituant avec les valeurs relevĂ©es, nous avons
La hauteur est un dĂ©placement, il faut donc prendre sa valeur absolue pour calculer la vitesse, qui est une intensitĂ©â:â
La vitesse instantanée de la balle en est de 5 m/s.
Exemple 5: Trouver la vitesse instantanĂ©e dâun objet Ă partir dâun graphique de dĂ©placement en fonction du temps
Une balle est lancĂ©e en lâair et retombe au sol. La hauteur, , de la balle au-dessus du sol au cours du temps, , est reprĂ©sentĂ©e sur le graphique par la courbe bleue. Quelle est la vitesse de la balle en â?â
RĂ©ponse
Dans ce problĂšme, on ne nous donne pas de ligne tangente, mais on nous dit seulement de trouver la vitesse de la balle Ă lâinstant . Il faut alors commencer par Ă©tablir la tangente Ă cet instant. Pour ce faire, on prend une petite partie de la pente en ce point et on la prolonge sur tout le graphique.
Cette tangente est cependant complĂštement plate. Elle ne prĂ©sente pas de variation selon lâaxe des â:â
Lorsque la balle est en , sa vitesse est de 0 m/s. Rappelons que la valeur de la pente dĂ©termine la vitesse dâun objet, donc, quand il nây a pas de pente, la vitesse est Ă©gale Ă 0.
Regardons de plus prĂšs un cas oĂč la pente est Ă©levĂ©e.
Exemple 6: Identifier la vitesse instantanĂ©e dâun objet en un point dâune courbe de dĂ©placement en fonction du temps
Le graphique ci-aprĂšs illustre le dĂ©placement dâune moto lors dâune course se dĂ©roulant sur une piste rectiligne. En quel point indiquĂ© sur le graphique la moto a-t-elle la plus grande vitesseâ?â
- le point A
- le point B
- le point D
- le point E
- le point C
RĂ©ponse
Ceci est un graphique de dĂ©placement en fonction du temps, et non pas un graphique de distance en fonction du temps, mais puisque la pente en chaque point annotĂ© de la courbe semble ĂȘtre positive, il nâest pas nĂ©cessaire de prendre la valeur absolue pour la transformer en une valeur positive.
Nous devons trouver lâendroit correspondant Ă la plus grande vitesse en un point spĂ©cifique, câest-Ă -dire la vitesse instantanĂ©e. Pour trouver cette vitesse instantanĂ©e, il nous faut tout dâabord avoir une pente, et avant dâavoir une pente, il nous faut tracer des droites tangentes pour chaque point. Ces droites sont reprĂ©sentĂ©es sur le diagramme ci-dessous.
Nous pouvons mesurer individuellement les droites pour dĂ©terminer leurs pentes et donc les vitesses instantanĂ©es en ces points, mais nul besoin dâen connaĂźtre les valeurs exactes. Nous devons rechercher simplement le point ayant la plus grande vitesse.
Une pente plus Ă©levĂ©e correspond Ă une vitesse plus rapide, il suffit donc de chercher la pente la plus Ă©levĂ©e. La pente au point A est sans aucun doute la pente la moins Ă©levĂ©e, et la pente la plus Ă©levĂ©e est celle de la tangente au point E. La pente la plus Ă©levĂ©e, et donc le point oĂč nous avons la plus grande vitesse, est le point E, soit la rĂ©ponse D.
RĂ©sumons ce que nous avons appris dans cette fiche explicative.
Points clés
- La vitesse peut ĂȘtre trouvĂ©e Ă partir du graphique reprĂ©sentant la distance en fonction du temps en mesurant la pente de la droite. Sâil sâagit dâun graphique reprĂ©sentant le dĂ©placement en fonction du temps, la vitesse peut ĂȘtre trouvĂ©e en prenant la valeur absolue de la pente de la droite.
- La tangente peut ĂȘtre tracĂ©e en un point en prenant une petite partie de la pente en ce point et en la prolongeant en une droite rectiligne.
- La vitesse instantanĂ©e peut ĂȘtre trouvĂ©e en un point en traçant une tangente en ce point et en calculant sa pente.
- Plus la pente dâune droite est Ă©levĂ©e, plus la vitesse correspondante est grande.
- Si la pente est plate, la vitesse est nulle.