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Fiche explicative de la leçon: Loi des cosinus Mathématiques • Deuxième secondaire

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer les longueurs de côtés et les mesures d'angles inconnues dans des triangles non rectangles en utilisant la loi des cosinus.

La loi des cosinus, également appelée la règle des cosinus, permet de lier les trois côtés d’un triangle à l’un de ses angles.

Définition : Loi des cosinus

Considérons un triangle 𝐴𝐵𝐶, dont les côtés correspondants sont de longueurs respectives 𝑎, 𝑏 et 𝑐. Dans ce triangle, chaque côté est nommé par la lettre de son sommet opposé, en minuscule.

La loi des cosinus consiste en l’égalité suivante:𝑎=𝑏+𝑐2𝑏𝑐𝐴.cos

On peut voir la loi des cosinus comme un théorème de Pythagore généralisé. Pour voir cela, considérons un triangle arbitraire avec un angle 𝐴=90.

En remplaçant cette valeur d’angle dans la loi des cosinus, nous pouvons voir que le terme le plus à droite devient 2𝑏𝑐90cos, ainsi:𝑎=𝑏+𝑐2𝑏𝑐90.cos

Puisque l’on a cos90=0, ce dernier terme disparaît de l’équation:𝑎=𝑏+𝑐2𝑏𝑐0𝑎=𝑏+𝑐.

Ici, nous pouvons voir que, dans le cas particulier d’un triangle rectangle, la loi des cosinus se réduit au théorème de Pythagore, lorsque l’on définit 𝑎 comme étant la longueur de l’hypoténuse.

La loi des cosinus peut être utilisée dans plusieurs cas différents. Le premier cas est celui du calcul d’une longueur de côté inconnue connaissant l’angle opposé ainsi que les longueurs des deux côtés adjacents. Cet angle est parfois appelé « l’angle compris » dans cette situation.

La compréhension de chacun des termes suivants va nous être utile pour utiliser la loi des cosinus correctement:𝐴,𝑎,𝑏,𝑐.langlecomprisentrelesdeuxcôtésdelongueursconnueslecôtéopposéàlanglecomprisundescôtésadjacentsàlangleundescôtésadjacentsàlangle

Dans ce cas, nous avons choisi d’observer la relation entre les longueurs des côtés par rapport à l’angle 𝐴. Il convient de noter que la loi des cosinus peut être appliquée à un triangle par rapport à n’importe quel angle de ses angles.

Nous pourrions plutôt écrire la relation entre les côtés relativement à chacun des deux angles restants (en bas à gauche et en bas à droite dans le dessin), en renommant simplement les angles et côtés de notre triangle pour être en accord avec les valeurs connues.

Étudions à présent quelques exemples où la loi des cosinus est utilisée pour calculer une longueur inconnue dans un triangle.

Exemple 1: Utiliser la loi des cosinus pour calculer une longueur inconnue dans un triangle

Soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle de côtés 𝐵𝐶=25cm, 𝐴𝐶=13cm et 𝑚𝐶=142. Déterminez la longueur du côté 𝐴𝐵 en donnant la réponse au millième près.

Réponse

Souvent, il peut être utile de tracer le triangle afin de visualiser le problème (la figure suivante n’est pas à l’échelle).

Sur le triangle, nous voyons que les deux côtés 𝐵𝐶 et 𝐴𝐶 sont connus, ainsi que l’angle compris entre eux, 𝐶. Dans cette situation, nous pouvons utiliser la loi des cosinus:𝑎=𝑏+𝑐2𝑏𝑐𝐴.cos

Nous pouvons définir les valeurs du triangle, afin d’être cohérent avec la loi des cosinus, en commençant par l’angle compris entre les côtés connus. Le terme final de notre équation contiendra donc l’élément suivant:coscos𝐴142.

Le côté de longueur inconnue, 𝐴𝐵, est bien opposé à cet angle, comme cela est requis. On définit donc les longueurs des côtés comme suit:𝑎𝐴𝐵,𝑏25,𝑐13.cmcm

En substituant ces valeurs dans la loi du cosinus, nous trouvons l’équation suivante:𝐴𝐵=25+132(25)(13)142.cos

Enfin, nous pouvons simplifier cette expression, puis prendre la racine carrée des deux membres de l’équation. Nous pouvons aussi négliger la solution négative de la racine carrée puisque nous cherchons une longueur:𝐴𝐵=1306,2069=36,1414836,141.cm

Nous avons donné la réponse au millième près, comme cela était demandé par l’énoncé.

Exemple 2: Utiliser la loi des cosinus pour calculer une longueur inconnue dans un triangle

Soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle avec 𝑎=13cm, 𝑏=10cm et cos𝐶=0,2. Calculez la longueur 𝑐 en donnant la réponse au millième près.

Réponse

Pour résoudre ce type de problème, il peut être utile de tracer le triangle, comme indiqué ci-dessous (la figure n’est pas à l’échelle).

Sur ce triangle, nous pouvons voir que deux longueurs de côtés, 𝑎 et 𝑏 sont connues, ainsi que la valeur du cosinus de l’angle compris entre ces côtés, noté 𝐶. Dans cette situation, nous pouvons appliquer la loi du cosinus:𝑐=𝑎+𝑏2𝑎𝑏𝐶.cos

En substituant ces valeurs dans l’équation de la loi des cosinus, nous obtenons:𝑐=13+102(13)(10)0,2.

En simplifiant et en résolvant cette équation pour déterminer 𝑐, nous obtenons la longueur de côté suivante, que nous arrondissons au millième près:𝑐=217=14,7309114,731.cm

Considérons maintenant le second type de problème qui peut être traité en utilisant la loi des cosinus. Les questions que nous avons examinées jusqu’à présent consistaient à déterminer une longueur de côté inconnue, étant donnés son angle opposé et ainsi que les deux longueurs des côtés adjacents.

Considérons maintenant un nouveau cas où, étant donné un triangle dont les côtés ont pour longueurs 𝑎, 𝑏 et 𝑐 et on veut calculer l’angle inconnu 𝐴.

Comment : Réarranger la loi des cosinus

Pour nous aider à résoudre ce problème, nous pouvons réarranger notre équation pour obtenir une forme plus pratique. Pour commencer, on peut additionner 2𝑏𝑐𝐴cos aux deux membres de l’équation de la loi des cosinus:𝑎=𝑏+𝑐2𝑏𝑐𝐴𝑎+2𝑏𝑐𝐴=𝑏+𝑐.coscos

On peut maintenant soustraire 𝑎 des deux membres:2𝑏𝑐𝐴=𝑏+𝑐𝑎.cos

Enfin, on peut diviser les deux membres par 2𝑏𝑐, ce qui nous donne une expression du cosinus de l’angle 𝐴 en fonction des longueurs des côtés de notre triangle:cos𝐴=𝑏+𝑐𝑎2𝑏𝑐.

Dans cet exemple, nous avons choisi de nous concentrer sur l’angle 𝐴;cependant, la loi des cosinus, sous cette forme, peut être utilisée pour calculer n’importe quel angle des angles d’un triangle en observant les relations suivantes entre les variables en jeu 𝐴,𝑎,𝑏,𝑐.langleinconnuàdéterminerlecôtéopposéàlangleinconnuundescôtésadjacentsàlangleinconnuundescôtésadjacentsàlangleinconnu

Exemple 3: Utiliser la loi des cosinus pour calculer un angle dans un triangle

Soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle dont les longueurs des côtés sont 𝑎=12cm, 𝑏=20cm et 𝑐=26cm. Déterminez le plus petit angle du triangle 𝐴𝐵𝐶 et donnez sa valeur à la seconde près.

Réponse

Avec la plupart des problèmes de ce type, il peut être utile de tracer le triangle (figure pas à l’échelle) afin de mieux visualiser les données de l’exercice.

Dans tout triangle, le plus petit angle est celui qui est opposé au côté le moins long.

En inspectant les longueurs des côtés, on voit que 𝑎<𝑏<𝑐. On peut donc conclure que l’angle 𝐴 est le plus petit, car il est opposé au côté 𝑎.

Afin de calculer l’angle 𝐴, on peut utiliser l’expression de la loi des cosinus suivante:cos𝐴=𝑏+𝑐𝑎2𝑏𝑐. Les longueurs des côtés ont les valeurs suivantes:𝑎12,𝑏20,𝑐26.cmcmcm

En substituant ces valeurs dans la loi des cosinus, nous obtenons l’équation suivante:cos𝐴=20+2612(2)(20)(26). On peut alors multiplier chacun des termes puis simplifier le membre de droite de l’équation:cos𝐴=400+6761441040=233260.

Enfin, on résout l’équation pour déterminer l’angle 𝐴:𝐴=233260=26,342975.cos

Nous avons maintenant trouvé 𝐴 en degrés;cependant, l’énoncé nous demande d’exprimer la solution à la seconde près. Pour ce faire, nous rappelons les relations entre degrés ( ), minutes ( ) et secondes ( ). 1=60,1=60.

Nous avons trouvé que 𝐴=26 avec une partie décimale égale à 0,342975. Nous pouvons multiplier cette partie décimale par 60 pour trouver le nombre de minutes dans notre solution:60×0,342975=20,578532.

En utilisant la même méthode, nous voyons que cela est égal à 20 avec une partie décimale égale à 0,578532. En la multipliant à nouveau par 60, on peut calculer le nombre de secondes:60×0,578532=34,71195935.

Nous pouvons maintenant écrire notre solution à la seconde près:𝐴=262035.

Pour résoudre certaines questions, il sera peut-être nécessaire d’utiliser les deux formes de la loi des cosinus. Nous allons maintenant examiner des exemples où les deux formes de la loi des cosinus sont utilisées l’une après l’autre.

Exemple 4: Utiliser la loi des cosinus pour déterminer les angles et les longueurs inconnus d’un triangle

Soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle tel que 𝑎=28cm, 𝑏=17cm et 𝑚𝐶=60. Déterminez la longueur manquante, arrondie au millième près et les angles manquants, au degré près.

Réponse

Commençons par dessiner le triangle de l’énoncé.

En inspectant, nous voyons que l’angle de mesure connue est compris entre les deux côtés de longueur connues:𝐶,𝑐,𝑎,𝑏.langlecomprisentrelesdeuxcôtésdelongueursconnueslecôtéopposéàlanglecomprisundescôtésadjacentsàlangleundescôtésadjacentsàlangle

Dans cette situation, on peut utiliser la première forme de la loi des cosinus. En utilisant cette forme de l’équation, nous pouvons écrire une relation entre l’angle 𝐶 et les trois côtés de notre triangle:𝑐=𝑎+𝑏2𝑎𝑏𝐶.cos

En substituant dans l’équation les termes connus par les données de l’énoncé, on obtient:𝑐=28+172(28)(17)60.cos

Ensuite, on calcule et simplifie les termes du membre droit de l’équation. Ce faisant, nous utilisons le fait que cos60 est l’une des valeurs exactes que peut prendre le cosinus:𝑐=784+28995212=597.

Nous pouvons maintenant prendre la racine carrée des deux membres de notre équation, en négligeant la solution négative car nous sommes en train de résoudre pour trouver la longueur, 𝑐. Nous arrondissons notre réponse au millième près, comme indiqué dans l’énoncé:𝑐=597=24,43358324,434.

Redessinons maintenant le triangle en y ajoutant les informations que nous venons de trouver.

Nous connaissons maintenant les longueurs des trois côtés du triangle, ainsi qu’un de ses angles. Afin de calculer l’un des deux angles restants, nous pouvons utiliser la seconde forme de la loi des cosinus. Déterminons l’angle 𝐴 en utilisant l’équation suivante:cos𝐴=𝑏+𝑐𝑎2𝑏𝑐.

Nous substituons maintenant la longueur de nos côtés dans l’équation. Ici, nous utilisons la longueur exacte du côté 𝑐=597, au lieu de la réponse approchée, afin d’éviter les erreurs d’arrondi, pour maintenir la précision, cos𝐴=17+59728(2)(17)597.

On peut alors multiplier chacun des termes et simplifier le membre de droite de l’équation:cos𝐴=289+597784830,741=102830,741.

Nous résolvons maintenant l’équation pour déterminer 𝐴 et donnons la mesure de l’angle arrondie au degré près, comme indiqué dans l’énoncé:𝐴==82,94783.cos

Enfin, rappelons que la somme des angles d’un triangle est égale à 180. Puisque deux des angles du triangle sont à présent connus, nous sommes en mesure de déterminer le troisième en substituant les mesures des angles dans l’équation:𝐴+𝐵+𝐶=18082,947+𝐵+60=180.

En résolvant cette équation pour déterminer 𝐵, nous complétons les informations pour le triangle en donnant notre réponse finale au degré près:𝐵=18082,94760=37,05337.

Dans certaines situations, il se peut que nous ne puissions pas utiliser la loi des cosinus immédiatement. Dans de tels cas, il peut être nécessaire d’utiliser d’abord d’autres méthodes géométriques pour déterminer un angle ou une longueur de côté. Cela nous permettra de procéder en utilisant l’une des méthodes décrites ci-dessus dans cette fiche explicative.

Nous en donnons un exemple, où l’on utilise l’aire d’un triangle et des techniques de trigonométrie standard.

Exemple 5: Utiliser la trigonométrie et de la loi des cosinus pour déterminer des longueurs et des angles dans un triangle

Soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle tel que 𝐵𝐶=38cm, 𝑚𝐴𝐶𝐵=60, et d’aire égale à 3993cm. Déterminez les autres longueurs et angles en donnant les longueurs au dixième près et les angles au degré près.

Réponse

Ici, nous traçons le triangle à l’aide des informations connues.

Il apparait que nous connaissons un angle et un de ses côtés adjacents. Malheureusement, cette information n’est pas suffisante pour utiliser la loi des cosinus, quelle que soit sa forme!Pour continuer, nous devrons utiliser une variété de techniques:

  1. utiliser l’aire pour calculer la hauteur du triangle;
  2. utiliser la hauteur et les propriétés trigonométriques pour calculer la longueur du côté (𝑏);
  3. utiliser la loi des cosinus pour déterminer les longueurs et angles encore inconnus.

1. Utiliser l’aire pour calculer la hauteur du triangle

En plus d’un angle et de la longueur d’un des côtés, l’énoncé fournit l’aire du triangle. Rappelons la formule de l’aire d’un triangle:airebasehauteur=×2. En prenant le côté 𝐵𝐶 comme base, redessinons le triangle. Un nouveau point, noté 𝐷, a été marqué sur la base du triangle juste en dessous du point 𝐴. Le segment 𝐴𝐷 est donc la hauteur () du triangle.

En utilisant la formule de l’aire d’un triangle et en substituant les termes par leurs valeurs connues, on obtient:3993=38×2. Nous pouvons maintenant résoudre cette équation pour déterminer en multipliant les deux membres de l’équation par 2 et en divisant par 38:=(2)399338=213.cm

2.Utiliser la hauteur et les propriétés trigonométriques pour calculer la longueur du côté 𝑏

Maintenant que nous avons calculé la hauteur du triangle, observons le triangle 𝐴𝐶𝐷. On peut constater qu’il s’agit d’un triangle rectangle avec un côté connu (𝑏) et un angle connu (𝐶).

On peut donc utiliser des fonctions trigonométriques pour déterminer la longueur du côté 𝑏:sinopposéhypoténuse𝜃=. Le côté opposé à l’angle 𝐶 est le côté et 𝑏 est l’hypoténuse (du triangle 𝐴𝐶𝐷):sin𝐶=𝑏. On peut substituer les termes connus de notre équation par leurs valeurs, puis réarranger l’équation pour trouver 𝑏:sinsinsin60=213𝑏𝑏(60)=213𝑏=21360. Puisque sin60 est une valeur exacte connue du sinus, on a:𝑏=213=(2)2133=(2)(21)=42.cm L’énoncé demandant de donner la réponse au dixième près, on écrit 𝑏=42,0cm.

Dessinons de nouveau le triangle, muni des nouvelles informations.

3. Utiliser la loi des cosinus pour déterminer les longueurs et angles encore inconnus

Maintenant que 𝑏 est connu, nous nous retrouvons dans une situation familière avec le triangle 𝐴𝐵𝐶 dont on connait un des angles et les longueurs de ses deux côtés adjacents:𝐶,𝑐,𝑎,𝑏.langlecomprisentrelesdeuxcôtésdelongueursconnueslecôtéopposéàlanglecomprisundescôtésadjacentsàlangleundescôtésadjacentsàlangle En utilisant la première forme de la loi des cosinus, nous formulons une relation entre l’angle 𝐶 et les trois côtés du triangle:𝑐=𝑎+𝑏2𝑎𝑏𝐶.cos Dans cette équation, en substituant les termes connus par leurs valeurs, on obtient:𝑐=38+422(38)(42)60.cos Puis, on calcule le membre de droite de l’équation, en remarquant que cos60 est une valeur exacte connue du cosinus, et on a donc:𝑐=1444+1764319212=1612.

Nous pouvons maintenant prendre la racine carrée des deux côtés de l’équation, en négligeant la solution négative car nous sommes en train de résoudre pour trouver la longueur, 𝑐. Comme indiqué dans l’énoncé, on arrondit la solution au dixième près:𝑐=1612=40,149.

Puisqu'on nous a demandé de donner notre réponse au centimètre près, nous écrivons 𝑏=40cm.

La deuxième forme de la loi des cosinus peut être utilisée pour déterminer l’un des angles restants, mais choisissons l’angle 𝐵 et exprimons-le en fonction des longueurs des côtés, avec l’expression suivante:cos𝐵=𝑎+𝑐𝑏2𝑎𝑐. En substituant les termes du membre de droite par les longueurs des côtés, on obtient:cos𝐵=38+161242(2)(38)1612. Nous pouvons maintenant résoudre cette équation pour déterminer 𝐵 en simplifiant puis en appliquant l’inverse du cosinus des deux membres de l’équation. On arrondit notre réponse au dixième près, comme demandé par l’énoncé:𝐵=12923051,378=64,949.cos

Puisqu'on nous a demandé de donner notre réponse à la minute près, nous écrivons 𝐵=553.

Maintenant que deux des trois angles sont connus, on utilise le fait que la somme des angles d’un triangle vaut 180 à résoudre pour 𝐴, g, en donnant notre réponse au degré près:𝐴=18064,94960=55,051.

Puisqu'on nous a demandé de donner notre réponse à la minute près, nous écrivons 𝐴=6457.

Points clés

  • La loi des cosinus nous permet de relier les trois côtés d’un triangle avec l’un de ses angles.
  • La loi des cosinus peut être vue comme une forme généralisée du théorème de Pythagore et est vraie pour tout triangle.
  • Pour trouver la longueur d’un des côtés d’un triangle, étant donnés les deux autres et l’angle opposé à ce côté, on utilisera la loi des cosinus sous la forme suivante:𝑎=𝑏+𝑐2𝑏𝑐𝐴.cos
  • Pour trouver un angle inconnu dans un triangle, étant donnés les trois côtés de ce triangle, on utilisera la loi des cosinus sous la forme réarrangée suivante:cos𝐴=𝑏+𝑐𝑎2𝑏𝑐.

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