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Fiche explicative de la leçon : Représenter les valeurs extrêmes de grandeurs physiques Physique

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à utiliser la notation scientifique et les préfixes d’unités pour multiplier et diviser les valeurs de grandeurs physiques par diverses puissances de dix.

Nous rencontrons souvent de très grands nombres quand on étudie l’univers - par exemple, il est estimé qu’il y a environ 10‎ ‎000‎ ‎000‎ ‎000‎ ‎000‎ ‎000‎ ‎000 insectes vivants sur Terre. Dans la communauté scientifique, alors que nous enregistrons, effectuons des calculs avec et partageons nos découvertes, un nombre avec autant de zéros (ici, 19) n’est pas idéal à utiliser, de par sa taille, le fait qu’il est long à écrire et parce qu’on peut facilement faire une erreur en le recopiant. La valeur ci-dessus est exprimée en notation décimale, qui est basée sur la représentation d’une grandeur en assignant une valeur à chaque puissance de dix dans le système décimal. Chaque puissance de dix est représentée par un « rang », et chaque rang pour un nombre reçoit une valeur comprise entre zéro et neuf.

Examinons une autre valeur écrite en notation décimale, comme par exemple 1‎ ‎234,56. Ce nombre présente six rangs différents qui correspondent à différentes positions dans le système décimal (ou puissances de dix, que nous verrons plus tard). Pour calculer ce que la valeur de chaque rend apporte à un nombre, nous multiplions la valeur assignée au rang (qui doit être un seul chiffre, entre zéro et neuf) par la valeur décimale, ou la puissance de dix, correspondant au rang considéré. Cette information est représentée dans le tableau ci-dessous.

On peut maintenant voir comment ces rangs et leurs valeurs sont combinés pour créer une seule valeur. En additionnant leurs contributions, nous avons 1000+200+30+4+0,5+0,06=1234,56. Telle est l’idée principale de la notation décimale:chaque rang, avec la valeur décimale qui lui est assignée, contribue à une certaine partie du nombre dans son ensemble.

Chaque rang en notation décimale représente une puissance de dix différente. Par exemple, rappelons que le rang des dizaines multiplie la valeur correspondante par 10 et que la place des centaines multiplie la valeur correspondante par 100. Chaque valeur de rang - 1 000, 100, 10, 1, 0,1, 0,01 et au-delà - peut être exprimée par 10 à une certaine puissance. Par exemple, 1000=10, 100=10, et 10=10. Les plus petites décimales peuvent également être exprimées de cette manière. Rappelez-vous que tout nombre à la puissance 0 est égal à 1, donc nous pouvons exprimer le rang des unités sous la forme 10=1. De plus, les nombres décimaux peuvent être exprimés par des puissances négatives de dix. Par exemple, on sait que 10=110 et 10=1100.

Il est peut-être déjà évident que toute grande puissance de dix, qui commence avec un 1 comme premier chiffre et suivi d’un certain nombre de zéros, peut être exprimée comme un 10 élevé à une puissance positive, et donc toute quantité 10 peut être écrit comme un 1 suivi de 𝑏 zéros, à condition que 𝑏 soit un entier positif. Par exemple, 10 élevé à la puissance 4 se transforme en notation décimale comme un 1 suivi de quatre zéros:10=10000. De même, nous savons qu’un milliard (1‎ ‎000‎ ‎000‎ ‎000) est un 1 suivi de neuf zéros, donc nous pouvons l’exprimer sous la forme 10.

Exprimer un nombre avec une puissance de 10 de cette façon est beaucoup plus compact et efficace que de compter et d’écrire de nombreux zéros. Par exemple, considérons les deux grands nombres 10‎ ‎000‎ ‎000‎ ‎000‎ ‎000 et 100‎ ‎000‎ ‎000‎ ‎000‎ ‎000. À première vue, ces nombres peuvent (faussement) sembler équivalents, et afin de comparer leurs ordres de grandeurs, nous devrions prendre le temps de compter avec soin et noter le nombre de zéros de chaque nombre. Mais si nous voyons les deux mêmes nombres exprimés sous la forme d’un 10 élevé à une certaine puissance, nous obtenons respectivement 10 et 10, et sous cette forme, il est immédiatement clair que les deux nombres ne sont pas équivalents, et il n’est pas nécessaire de deviner ou de perdre beaucoup de temps à compter pour connaître et comparer leurs ordres de grandeurs.

Alors que la notation décimale est très courante et convient généralement pour représenter des nombres plus petits et plus faciles à manipuler comme 13 ou 1‎ ‎989, souvent lorsque nous traitons un très grand nombre, comme le nombre d’insectes sur Terre ou d’étoiles dans une galaxie, la notation décimale n’est pas la meilleure représentation. Heureusement, nous pouvons nous servir du concept de valeurs de rang comme puissances de 10, comme nous l’avons expliqué ci-dessus, pour représenter efficacement de grandes valeurs de grandeurs physiques en notation scientifique.

La notation scientifique peut représenter toute grandeur comme une valeur comprise entre 1 et 10 multipliée par une puissance de 10. La valeur entre 1 et 10 provient du simple déplacement de la virgule de la grandeur en question juste derrière son premier chiffre (non nul), et ce changement de position de la virgule est compensé en multipliant la nouvelle valeur décimale par une puissance de dix. Appliquons ce concept à un exemple.

Exemple 1: Convertir une grande valeur de la notation décimale à la notation scientifique

Il y a 225‎ ‎000 atomes dans un nuage de poussière spatial. Quel est le nombre d’atomes dans le nuage de poussière, exprimé en notation scientifique au centième près?

Réponse

Pour qu’une grandeur soit exprimée en notation scientifique, elle doit prendre la forme d’une valeur comprise entre 1 et 10 multipliée par une puissance entière de 10. La virgule doit être juste derrière le premier chiffre non nul, donc nous devons la déplacer depuis sa position d’origine, comme illustré ci-dessous.

La virgule doit se déplacer de cinq rangs vers la gauche pour se placer juste derrière le premier chiffre non nul du nombre. Suite au déplacement de la virgule, la valeur est de 2,25‎ ‎000 ou encore 2,25.

Pour ne pas modifier la valeur globale de la grandeur, nous devons représenter tous les rangs que nous avons sautés avec une certaine puissance de dix. Étant donné que chaque rang représente une puissance différente de dix, et que nous avons sauté cinq rangs, nous pouvons représenter cela par 10. Nous avons maintenant une puissance de dix (10) et une valeur entre 1 et 10 (2,25) à multiplier.

Ainsi, le nombre d’atomes dans le nuage de poussière peut être exprimé en notation scientifique comme étant 2,25×10.

Pour vérifier notre résultat, nous pouvons redévelopper cette grandeur en notation décimale, en utilisant le fait que 10=100000:2,25×10=2,25×100000=225000.

Cet exemple montre comment on peut déplacer la virgule dans un nombre, à condition de compenser le décalage de la virgule en multipliant par la puissance entière de dix correspondante. Définissons formellement ce type de notation.

Définition : Notation scientifique

Un nombre est exprimé en notation scientifique s’il est sous la forme 𝑎×10, telle que 𝑎 est un nombre supérieur ou égal à 1 et inférieur à 10 tandis que 𝑏 est un entier.

La notation scientifique est couramment utilisée dans la communauté scientifique pour exprimer des valeurs très grandes ou très petites. Il est important de savoir repérer les grandeurs écrites dans cette notation, et il est également utile de savoir comment convertir une notation scientifique en notation décimale. Ce processus applique les mêmes règles que nous avons apprises jusqu’à présent - nous devons simplement savoir dans quel sens déplacer la virgule et ne pas oublier de la déplacer du nombre de rangs correspondant à la puissance de 10. Par conséquent, si on nous donne une grandeur en notation scientifique qui a 10 élevé à une valeur positive, nous savons que, pour écrire la quantité en notation décimale, nous déplaçons la virgule vers la droite, créant ainsi une valeur décimale plus grande et éliminant le terme « puissance de dix ».

Exemple 2: Convertir une grande valeur de la notation scientifique à la notation décimale

On réchauffe un bloc de glace avec une énergie de 3,25×10J. Combien de joules sont fournies, exprimés en notation scientifique?

Réponse

Cette quantité d’énergie est exprimée par une valeur comprise entre 1 et 10 qui est multipliée par une puissance entière de 10, alors nous savons qu’elle est actuellement écrite en notation scientifique. Au cours de la conversion, nous nous concentrerons sur le nombre associé à la grandeur, mais nous ne devons pas oublier qu’elle a également une unité. La virgule est actuellement située derrière le premier chiffre du nombre (ici, 3), et le terme 10 nous indique qu’elle doit être décalée de six rangs vers la droite pour obtenir la notation décimale.

Les six sauts de décimales, ou puissances de dix, ont été représentés, alors nous pouvons maintenant écrire la virgule à sa nouvelle place, et nous avons atteint la notation décimale.

Ainsi, la valeur 3,25×10J peut être exprimée en notation décimale par 3‎ ‎250‎ ‎000 J.

En parcourant l’exemple ci-dessus, pour éviter toute confusion quant au sens dans lequel se déplace la virgule, souvenez-vous que 10=1000000. Cela signifie que la valeur décimale d’origine, 3,25, est multipliée par un grand nombre, ce qui explique pourquoi la virgule doit être déplacée vers la droite plutôt que vers la gauche. Cela vaut la peine d’être rappelé lors des conversions entre notation décimale et notation scientifique.

Le déplacement d’une virgule vers la droite crée une valeur décimale d’ordre de grandeur plus élevé. Le déplacement d’une virgule vers la gauche crée une valeur décimale d’ordre de grandeur moins élevé.

Exemple 3: Convertir une grandeur en notation décimale

Une route a une longueur de 0,75×10m. Lequel des choix suivants correspond à la longueur de la route?

  1. 75 m
  2. 750 m
  3. 7‎ ‎500 m
  4. 75‎ ‎000 m
  5. 750‎ ‎000 m

Réponse

La notation de 0,75×10 peut sembler familière, mais la grandeur n’est pas techniquement exprimée en notation scientifique car la valeur 0,75 n’est pas comprise entre 1 et 10. Néanmoins, la méthode de multiplication d’une valeur décimale par des puissances de 10 est toujours la même, et nous pouvons donc développer cette valeur sous forme décimale de la même manière que nous le ferions pour un nombre en notation scientifique.

Nous allons commencer avec la valeur décimale 0,75 et compter un déplacement de la virgule de quatre rangs vers la droite parce que nous multiplions notre valeur décimale par 10, un grand nombre. Rappelons que le fait de déplacer la virgule vers la droite donne une valeur décimale plus grande, alors que la déplacer vers la gauche donne une valeur décimale plus petite, ce qui serait une erreur dans ce cas. Cette étape est illustrée ci-dessous.

Nous avons compté un déplacement de la virgule de quatre rangs vers la droite, afin de pouvoir la placer à sa nouvelle position. Ainsi, nous avons la valeur exprimée sous forme décimale, comme indiqué ci-dessous.

Par conséquent, une longueur de 0,75×10m peut être exprimée de manière équivalente par 7‎ ‎500 m.

Maintenant que nous savons comment exprimer de manière quantitative, une grandeur en notation scientifique ou avec des puissances de 10, considérons une autre façon d’utiliser les mêmes concepts en utilisant des lettres. Pour commencer, consultez l’image ci-dessous où une distance le long d’une route est donnée en kilomètres (km).

Panneau jaune avec des kilomètres

Le panneau de signalisation pourrait tout aussi bien utiliser une autre unité de longueur que nous connaissons, comme le centimètres ou le mètres, mais il est beaucoup plus pratique d’écrire et de lire « 2 km » que « 200‎ ‎000 cm » ou « 2‎ ‎000 m ». Toutes ces mesures sont acceptables car elles correspondent à des grandeurs équivalentes, cependant, certaines sont plus évidentes à utiliser que d’autres, car il est généralement plus facile de suivre et d’effectuer des calculs avec des nombres ayant des valeurs décimales réduites. Ce concept devrait nous sembler familier:nous pouvons réécrire une grandeur élevée pour avoir une valeur décimale plus facile à manipuler, à condition de compenser ce changement en modifiant l’unité de base.

L’association d’une unité à une puissance de 10 peut être exprimée avec un « préfixe » d’unité, qui est la partie du mot qui précède et modifie l’unité. Dans ce cas, « mètres » est notre unité de base, et nous avons vu les préfixes « kilo- » et « centi- », qui correspondent respectivement à l’association de 10 et 10. Différentes puissances de 10 sont représentées par des préfixes et des symboles spécifiques, comme indiqué dans les tableaux ci-dessous.

Nous pouvons utiliser n’importe quel préfixe, cependant il est généralement préférable de choisir un préfixe qui imitera la notation scientifique de sorte que la valeur décimale d’une grandeur soit comprise entre 1 et 10. Le tableau de gauche indique les préfixes qui servent à décrire de très petites grandeur, tel que « nano- », qui regroupe une valeur avec des milliardièmes, ou 10, mais pour l’instant nous allons considérer de grandes valeurs de grandeurs physiques.

Pour utiliser un préfixe dans une unité, nous devons diviser la valeur de la grandeur exprimée dans l’unité de base par la puissance de 10 correspondante et attacher le symbole du préfixe à l’abréviation de l’unité. Par exemple, si nous voulons écrire 4‎ ‎500‎ ‎000 W en utilisant le préfixe « mega- », il faudra diviser la quantité 4‎ ‎500‎ ‎000 par 10 et attacher le symbole M à l’abréviation de l’unité. Ainsi, nous savons que 4500000=4,5WMW, ce qui est plus rapide et plus facile à écrire et à retenir.

Notez que nous nous servons des préfixes uniquement en combinaison avec des unités. Les préfixes ne peuvent pas modifier un nombre à aux seuls - si nous disons que nous avons un « milli » de quelque chose, on ne sait pas du tout de quelle grandeur il s’agit, et nous devons donc inclure l’unité de ce que nous mesurons pour obtenir un millimètre ou un milligramme, par exemple.

Appliquons ce concept à quelques exemples.

Exemple 4: Exprimer des puissances de 10 en utilisant un préfixe

Lequel des nombres suivants correspond au nombre de hertz dans un gigahertz (GHz)?

  1. 10Hz
  2. 10Hz
  3. 10Hz
  4. 10Hz
  5. 10Hz

Réponse

Le préfixe « giga- », symbolisé par G, signifie que nous multiplions nos unités, hertz, par 10, ou un 1 suivi de neuf zéros. Par conséquent, nous savons qu’il y a 10hertz dans un gigahertz.

Exemple 5: Exprimer des puissances de 10 en utilisant un préfixe

Lequel des nombres suivants correspond au nombre de watts dans un térawatt (TW)?

  1. 10W
  2. 10W
  3. 10W
  4. 10W
  5. 10W

Réponse

Le préfixe « tera- », symbolisé par T, signifie que nous multiplions nos unités, watts, par 10, ou un 1 suivi de douze zéros. Par conséquent, nous savons qu’il y a 10watts dans un térawatt.

Exemple 6: Exprimer des puissances de 10 en utilisant un préfixe

Lequel des nombres suivants correspond au nombre de picojoules (pJ) dans un joule?

  1. 10pJ
  2. 10pJ
  3. 10pJ
  4. 10pJ
  5. 10pJ

Réponse

Le préfixe « pico- », symbolisé par p, signifie que nous multiplions nos unités, joules, par 10. Par conséquent, un picojoule est égal à 10joule. Cette relation peut être exprimée mathématiquement:1=10×1.pJJ

Nous voulons savoir combien de picojoules contient un joule, donc nous pouvons diviser les deux côtés de l’équation par 10 pour résoudre en fonction de 1J:1=110.JpJ

Cela peut être réécrit comme suit:1=10×1.JpJ

Ainsi, il y a 10picojoules dans un joule.

Pour terminer, résumons quelques concepts importants.

Points clés

  • La notation scientifique est utile pour représenter des valeurs extrêmes, par opposition à la notation décimale, qui assigne une valeur à chaque rang dans une grandeur, et qui comprend souvent de nombreux zéros rendant son utilisation complexe.
  • Un nombre est exprimé en notation scientifique s’il est sous la forme 𝑎×10, telle que 𝑎 est un nombre supérieur ou égal à 1 et inférieur à 10, et 𝑏 est un entier. Pour convertir une grandeur très grande de la notation décimale à la notation scientifique, nous déplaçons la virgule derrière le premier chiffre non nul, et la valeur décimale résultante est 𝑎. Nous représentons ensuite la variation de la position du point décimal par un 10 élevé à la puissance du nombre de rangs du déplacement de la virgule, 𝑏.
  • Nous pouvons utiliser un préfixe pour indiquer que nous groupons une unité selon une certaine puissance de 10, ce qui peut rendre une grandeur extrême plus facile à manipuler. Pour utiliser un préfixe, nous divisons la valeur dans l’unité de base par la puissance de 10 associée au préfixe et attachons le symbole du préfixe à l’abréviation de l’unité.

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