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Fiche explicative de la leçon : Énergie potentielle gravitationnelle Physique

Dans cette fiche explicative, nous apprendrons comment calculer les variations d’énergie d’un objet dans un champ gravitationnel en nous servant de la définition de l’énergie potentielle gravitationnelle, 𝐸=𝑚𝑔.

Il est tout à fait ordinaire d’observer qu’un objet libéré du repos en un point au-dessus de la surface de la Terre se déplace vers la Terre;ou en d’autres mots, qu’il tombe.

Pour qu’un objet relâché au-dessus de la Terre atteigne la surface de la Terre, l’objet doit se déplacer. Un objet qui est au repos lorsqu’il est relâché ne bouge pas. La vitesse d’un tel objet doit donc augmenter pour que l’objet tombe.

Lorsqu’un objet voit sa vitesse augmenter, il accélère. Un corps qui accélère doit avoir une force nette non nulle agissant sur lui. Dans le cas d’un objet qui tombe, cette force est son poids.

La figure suivante montre un objet en chute qui est uniformément accéléré par son poids, 𝑃. La distance que l’objet parcourt en une seconde augmente chaque seconde au cours de son accélération.

Un objet qui se déplace selon le sens d’une force est soumis à un travail par cette force. Le travail effectué sur un objet en chute par son poids augmente l’énergie cinétique de l’objet.

L’énergie est une grandeur qui se conserve. L’énergie totale d’un système ne change pas. Cela signifie qu’une augmentation de l’énergie cinétique ne peut se produire sans une diminution concomitante d’une autre énergie. Le travail effectué par le poids de l’objet nécessite le transfert d’énergie à partir d’une autre source d’énergie.

Cette autre énergie, à partir de laquelle l’énergie cinétique est obtenue lorsqu’un objet descend, est l’énergie potentielle gravitationnelle.

L’énergie passe de la forme potentielle gravitationnelle à la forme cinétique lorsqu’un objet descend. Le contraire se produit lorsqu’un objet monte.

Si le mouvement d’un objet en chute est inversé, de sorte qu’un objet à la surface de la Terre est projeté vers le haut en s’éloignant de la surface, alors l’objet subit une accélération uniforme vers la Terre par son poids. L’accélération est selon le sens opposé à la vitesse initiale de l’objet, donc la vitesse de l’objet diminuera. Finalement, l’objet viendra instantanément au repos puis commencera à retomber vers la surface de la Terre.

Lorsque l’objet projeté monte et ralentit, l’énergie cinétique diminue. Pour que l’énergie globale soit conservée, l’énergie potentielle gravitationnelle doit augmenter.

Le schéma suivant montre comment les énergies potentielle gravitationnelle et cinétique varient lorsqu’un objet est projeté verticalement vers le haut d’une hauteur de zéro à la plus grande hauteur qu’il atteint, où sa vitesse est nulle.

Il est important de noter que le graphique montre les variations d’énergie en fonction de la hauteur et non en fonction du temps.

Le schéma suivant illustre comment les énergies potentielle gravitationnelle et cinétique varient lorsqu’un objet initialement au repos tombe verticalement vers le bas jusqu’à une hauteur de zéro où sa vitesse est la plus grande.

Dans les deux cas, nous pouvons voir que la somme des énergies potentielle gravitationnelle et cinétique est constante, comme le montre le schéma suivant.

On pouvait s’y attendre compte tenu du fait que l’énergie est une grandeur qui se conserve.

Un objet qui augmente en hauteur doit subir un travail qui est transféré à l’énergie potentielle gravitationnelle. Le travail effectué 𝑊, par une force 𝐹, est donnée par la formule 𝑊=𝐹𝑑,𝑑 est la distance parcourue par l’objet selon le sens de la force.

Un objet qui se déplace verticalement vers le haut sur une distance de 1 mètre augmente sa hauteur, de 1 mètre. Le travail effectué sur un objet pour le déplacer de la surface de la Terre vers une hauteur est donnée par 𝑊=𝐹.

La force agissant verticalement vers le bas sur l’objet lors de son ascension est le poids de l’objet. Le poids d’un objet peut être exprimé comme le produit de la masse de l’objet et de l’intensité du champ gravitationnel à la position de l’objet. Une force égale au poids d’un objet peut donc être écrite comme 𝐹=𝑚𝑔,𝑚 est la masse et 𝑔 est l’intensité du champ gravitationnel.

Un objet qui se déplace vers le haut à une vitesse constante doit avoir des forces agissant sur lui qui sont équilibrées. Si la force ascendante ou descendante était plus grande que l’autre, l’objet accélérerait vers le haut ou vers le bas plutôt que de se déplacer à vitesse constante. L’accélération de l’objet entraînerait une augmentation de l’énergie cinétique.

On voit alors que la force exercée sur un objet pour augmenter sa hauteur sans augmenter son énergie cinétique doit être égale à 𝑚𝑔.

Le travail effectué pour déplacer un objet de la surface de la Terre vers une hauteur sans augmentation de l’énergie cinétique est donc donnée par 𝑊=𝑚𝑔.

Cette valeur du travail est l’énergie potentielle gravitationnelle transférée pour augmenter la hauteur de l’objet.

Définition : énergie potentielle gravitationnelle

L’énergie potentielle gravitationnelle, EPG, transférée pour augmenter la hauteur d’un objet de est donnée par EPG=𝑚𝑔,𝑚 est la masse de l’objet et 𝑔 est l’intensité du champ gravitationnel à la position de l’objet.

Si 𝑚 est mesurée en kilogrammes, en mètres, et 𝑔 en newtons par kilogramme (N/kg) ou mètres par seconde carrée (m/s2), alors l’EPG est mesurée en joules.

Sur Terre, la valeur de 𝑔 est approximativement 9,8 N/kg ou 9,8 m/s2.

Il est utile de préciser ce que l’on entend par « sur » Terre. Cela ne signifie pas uniquement à la surface de la Terre;cela comprend aussi des hauteurs au-dessus de la surface de la Terre.

Le schéma suivant présente une bonne partie de la Terre et une petite région carrée, dont un côté est à la surface de la Terre.

Le schéma suivant représente une petite partie de la surface de la Terre et la région carrée décrite précédemment, ainsi qu’une plus petite région carrée à l’intérieur de celle-ci.

L’intensité du champ gravitationnel diminue en fonction de l’altitude, mais cette diminution est très progressive. La façon dont l’intensité du champ gravitationnel varie en fonction de l’altitude peut être comparée à la mesure dans laquelle la surface de la Terre est sensiblement incurvée plutôt que plane.

Les coins de la base du carré violet ne touchent pas complètement la surface de la Terre. Cela signifie qu’à hauteur égale au sommet du carré violet, l’intensité du champ gravitationnel ne serait pas exactement égale à 9,8 N/kg.

Pour le carré noir, il doit y avoir un très petit espace entre les coins de la base et la surface de la Terre, car la base est droite et la surface de la Terre est courbe. Cependant, l’écart est trop faible pour être remarqué, ce qui signifie que l’écart entre l’intensité de la force du champ gravitationnel à hauteur du sommet du carré noir et la valeur 9,8 N/kg est également insignifiant. Sauf indication contraire, dans les questions concernant l’énergie potentielle gravitationnelle, on considèrera être suffisamment près de la Terre, de manière comparable à l’espace à l’intérieur du carré noir, dans lequel toute variation de 𝑔 est trop petite pour être remarquée.

Il est important de comprendre que la courbe qui serait comparée à la base du carré est celle la Terre entière, et non une petite partie de celle-ci.

Considérez le schéma suivant qui montre une partie de la surface de la Terre qui ne se courbe pas uniformément en raison d’une distorsion locale de la forme de la Terre, telle qu’une chaîne de montagnes.

La base du carré noir est clairement désalignée avec la surface de la Terre autour de la distorsion, mais la surface de la Terre entière doit être désalignée avec la base du carré noir pour qu’il y ait une différence remarquable dans la valeur de 𝑔 à partir de 9,8 N/kg à l’intérieur du carré. Cela signifie que 𝑔 ne change pas de manière perceptible de par la présence de caractéristiques locales, même celles de la taille des montagnes.

La figure suivante montre le niveau de la mer et les hauteurs de divers objets au-dessus de lui. Les distances sont à l’échelle.

La valeur de 𝑔 au sommet de la tour Burj Khalifa est de 9,8 m/s2 à deux décimales près.

La valeur de 𝑔 au sommet du mont Everest est de 9,78 m/s2 à deux décimales près.

La valeur de 𝑔 dans un avion de ligne à son altitude de croisière est de 9,77 m/s2 à deux décimales près.

A une décimale près, la valeur de 𝑔 est de 9,8 m/s2 au niveau de la mer, au sommet du Burj Khalifa, au sommet du mont Everest, et dans un avion de ligne à son altitude de croisière. Toutes ces positions peuvent être considérées comme étant près de la surface de la Terre.

La valeur de 𝑔 sur la station spatiale internationale est de 8,86 m/s2 à deux décimales près.

Ce n’est qu’à de très grandes hauteurs, comme celle de la Station spatiale internationale, que 𝑔 est fortement inférieure à 9,8 m/s2. Seuls les points situés à de telles hauteurs seraient correctement décrits comme n’étant pas près de la surface de la Terre.

On voit alors que, dans tous les cas ordinaires, il est raisonnable de supposer qu’une valeur de 9,8 m/s2 peut être employée pour 𝑔.

L’énergie potentielle gravitationnelle peut être considérée comme nulle à la surface de la Terre. Cela signifie que l’énergie potentielle gravitationnelle d’un objet peut être considérée comme proportionnelle à sa hauteur au-dessus de la surface de la Terre. Cela peut être plus simplement exprimé par son altitude.

Regardons maintenant un exemple de détermination de l’énergie potentielle gravitationnelle.

Exemple 1: Déterminer l’énergie potentielle gravitationnelle

Un objet avec une masse de 15 kg est situé à un point à 10 m au-dessus du sol. Quelle est l’énergie potentielle gravitationnelle de l’objet?

Réponse

On peut définir l’énergie potentielle gravitationnelle de l’objet comme l’énergie qui lui est transférée pour changer sa position entre le sol et un point à 10 mètres au-dessus du sol. Cette énergie peut être trouvée en utilisant la formule EPG=𝑚𝑔,𝑚 est la masse de l’objet, est la hauteur de l’objet au-dessus du sol, et 𝑔 est l’intensité du champ gravitationnel dans la région à travers laquelle l’objet s’est déplacé, du sol jusqu’à 10 mètres au-dessus du sol.

On utilise 9,8 N/kg ou 9,8 m/s2 pour 𝑔. Nous obtenons:EPGjoules=15×9,8×10=1470.

On peut imaginer une situation dans laquelle on connaît l’énergie transférée à un objet pour augmenter sa hauteur, et à partir de là on peut déterminer la variation de hauteur de l’objet. Regardons un tel exemple.

Exemple 2: Déterminer une variation de hauteur à partir d’une variation de l’énergie potentielle gravitationnelle

Un objet maintenu en un point au-dessus du sol possède une énergie potentielle gravitationnelle de 2‎ ‎352 J. La masse de l’objet est de 20 kg. À quelle distance se trouve l’objet au-dessus du sol?

Réponse

On peut définir l’énergie potentielle gravitationnelle de l’objet comme l’énergie transférée à l’objet pour changer sa position entre le sol et un point à une certaine hauteur au-dessus du sol. Cette énergie peut être trouvée en utilisant la formule EPG=𝑚𝑔,𝑚 est la masse de l’objet, est la hauteur de l’objet au-dessus du sol, et 𝑔 est l’intensité du champ gravitationnel dans la région où l’objet s’est déplacé, dans ce cas depuis le sol jusqu’à une certaine hauteur au-dessus du sol.

On utilise 9,8 N/kg ou 9,8 m/s2 pour 𝑔.

La formule EPG=𝑚𝑔 peut être réarrangée pour isoler en divisant 𝑚𝑔:EPG𝑚𝑔=𝑚𝑔𝑚𝑔=.

En substituant les valeurs connues, on obtient 235220×9,8==12.m

La valeur de 𝑔 n’est pas la même sur toutes les planètes. Regardons maintenant un exemple où une valeur de 𝑔 différente de sa valeur sur Terre est utilisée.

Exemple 3: Déterminer l’intensité du champ gravitationnel à partir d’une variation de l’énergie potentielle gravitationnelle

Un objet avec une masse de 10 kg se situe à 15 m au-dessus du sol sur une planète inconnue. L’objet possède une énergie potentielle gravitationnelle de 1‎ ‎800 J. Quelle est l’accélération gravitationnelle à la surface de la planète?

Réponse

On peut définir l’énergie potentielle gravitationnelle de l’objet comme l’énergie transférée à l’objet pour changer sa position du sol jusqu’à un point à une certaine hauteur au-dessus du sol. Cette énergie peut être déterminée en utilisant la formule EPG=𝑚𝑔,𝑚 est la masse de l’objet, est la hauteur de l’objet au-dessus du sol, et 𝑔 est l’accélération gravitationnelle dans la région où l’objet se déplace, en l’occurrence du sol jusqu’à 15 mètres au-dessus du sol. Cette accélération en mètres par seconde carrée (m/s2) est égale à l’intensité du champ gravitationnel en newtons par kilogramme (N/kg).

La formule EPG=𝑚𝑔, peut être réarrangée pour isoler 𝑔 en divisant par 𝑚:EPG𝑚=𝑚𝑔𝑚=𝑔.

En substituant les valeurs connues, on obtient 180010×15=𝑔=12/.ms

C’est la valeur de l’accélération gravitationnelle à la surface de la planète et à des hauteurs proches de la surface.

Regardons maintenant un exemple dans lequel le poids d’un objet est donné plutôt que sa masse.

Exemple 4: Déterminer une variation de hauteur à partir d’une variation de l’énergie potentielle gravitationnelle

Un oiseau qui survole la mer a un poids de 15 N et a une énergie potentielle gravitationelle constante de 765 J. À quelle distance au-dessus de la mer l’oiseau vole-t-il?

Réponse

On peut définir l’énergie potentielle gravitationnelle de l’objet comme l’énergie transférée à l’objet pour changer sa position du sol jusqu’à un point à une certaine hauteur au-dessus du sol. Cette énergie peut être trouvée en utilisant la formule EPG=𝑚𝑔,𝑚 est la masse de l’objet, est la hauteur de l’objet au-dessus du sol, et 𝑔 est l’intensité du champ gravitationnel dans la région où l’objet s’est déplacé, dans ce cas depuis le sol jusqu’à une certaine hauteur au-dessus du sol.

La question n’indique pas la masse de l’oiseau, mais son poids. Le poids d’un objet est lié à sa masse par la formule 𝐹=𝑚𝑔,𝐹 est la force, le poids de l’oiseau, 𝑚 est la masse de l’oiseau, et 𝑔 est l’intensité du champ gravitationnel dans la région traversée par l’oiseau, dans ce cas depuis le sol jusqu’à une certaine hauteur au-dessus du sol.

On voit que la formule EPG=𝑚𝑔 est donc équivalente à la formule EPG=𝐹,𝐹 est le poids de l’oiseau.

Cette formule peut être réarrangée pour isoler en divisant par 𝐹:EPG𝐹=𝐹𝐹=.

En substituant les valeurs connues, on obtient 76515==51.m

Jusqu’à présent dans cette fiche explicative, l’énergie potentielle gravitationnelle à une certaine hauteur a été comparée à l’énergie potentielle gravitationnelle au sol, qui a été définie comme étant nulle.

En définissant l’énergie potentielle gravitationnelle au sol comme étant nulle, nous avons dit que les objets au sol ne peuvent transformer aucune énergie potentielle gravitationnelle en énergie cinétique car ils ne peuvent pas se déplacer verticalement vers le bas. Si un objet peut voir sa hauteur diminuer, alors il a une énergie potentielle gravitationnelle non nulle par rapport au point où il pourrait tomber.

On peut considérer des exemples où les positions vers lesquelles les objets peuvent tomber ne sont pas nécessairement les mêmes. Dans ces cas, nous pouvons déterminer les variations dans l’énergie potentielle gravitationnelle sans définir un seul point fixe pour lequel l’énergie potentielle gravitationnelle est nulle.

Regardons maintenant un tel exemple.

Exemple 5: Déterminer des variations de hauteur à partir de variations d’énergie potentielle gravitationnelle

Une pièce contient un livre, une chaise, une étagère et une trappe qui mène à un sous-sol, comme indiqué sur le schéma. Le livre a un poids de 7,5 N. Le siège de la chaise est à 0,45 m au-dessus du sol de la pièce, l’étagère est a 1,5 m au-dessus du sol de la pièce, et le sol du sous-sol est a 2,2 m sous le plancher de la chambre. Le livre est placé à diverses positions et son énergie potentielle gravitationnelle varie en fonction de sa position.

  1. Quelle sera la diminution d’énergie potentielle gravitationnelle observée si le livre est relâché d’un point au sol à gauche de la trappe?
  2. Quelle sera la diminution d’énergie potentielle gravitationnelle observée si le livre est relâché d’un point au sol à droite de la trappe?
  3. Quelle sera la diminution d’énergie potentielle gravitationnelle observée si le livre est relâché d’un point à la hauteur du siège de la chaise?
  4. Quelle sera la diminution d’énergie potentielle gravitationnelle observée si le livre est relâché d’un point à la hauteur de l’étagère?
  5. La trappe est ouverte et la chaise est déplacée juste à côté. Un lecteur s’assied sur la chaise et tient le livre à la hauteur du siège de la chaise, mais au-dessus de la trappe ouverte. Quelle diminution de l’énergie potentielle gravitationnelle du livre peut être observée s’il est relâché de ce point?
  6. On déplace la chaise de sorte qu’elle repose sur le sol du sous-sol. Le lecteur est assis sur la chaise et tient le livre à la hauteur du siège. Quelle diminution de l’énergie potentielle gravitationnelle du livre peut être observée s’il est relâché de ce point?
  7. On ouvre la trappe, et le livre est déplacé verticalement depuis le sol du sous-sol jusqu’à un point qui se trouve à la même hauteur que l’étagère. Quelle est l’augmentation de l’énergie potentielle gravitationnelle du livre que cela produit?

Réponse

Partie 1

On détermine la diminution de l’énergie potentielle gravitationnelle en utilisant la formule Δ=𝐹Δ,EPG𝐹 est le poids du livre, qui est de 7,5 N, et Δ est la distance sur laquelle le livre peut tomber avant d’être soutenu par une surface qui l’empêche de tomber davantage. La valeur de Δ peut être déterminée à partir du schéma ci-dessous.

Si le livre est sur le sol à gauche de la trappe, il ne peut pas tomber donc l’EPG ne diminuera pas. La réponse est 0 joule.

Partie 2

On détermine la diminution de l’énergie potentielle gravitationnelle en utilisant la formule Δ=𝐹Δ,EPG𝐹 est le poids du livre, qui est de 7,5 N, et Δ est la distance sur laquelle le livre peut tomber avant d’être soutenu par une surface qui l’empêche de tomber davantage. La valeur de Δ peut être déterminée à partir du schéma ci-dessous.

Si le livre est sur le sol à droite de la trappe, il ne peut pas tomber donc l’EPG ne diminuera pas. La réponse est 0 joule.

Partie 3

On détermine la diminution de l’énergie potentielle gravitationnelle en utilisant la formule Δ=𝐹Δ,EPG𝐹 est le poids du livre, qui est de 7,5 N, et Δ est la distance sur laquelle le livre peut tomber avant d’être soutenu par une surface qui l’empêche de tomber davantage. La valeur de Δ peut être déterminée à partir du schéma dans la question, illustré ci-dessous.

Si le livre est relâché depuis la hauteur du siège de la chaise, il tombera de 0,45 m pour atteindre le sol, de sorte que son énergie potentielle gravitationnelle diminuera de Δ=7,5×0,45=3,375.EPGjoules

Partie 4

On détermine la diminution de l’énergie potentielle gravitationnelle en utilisant la formule Δ=𝐹Δ,EPG𝐹 est le poids du livre, qui est de 7,5 N, et Δ est la distance sur laquelle le livre peut tomber avant d’être soutenu par une surface qui l’empêche de tomber davantage. La valeur de peut être déterminée à partir du schéma dans la question, illustré ci-dessous.

Si le livre est relâché depuis la hauteur de l’étagère, il tombera de 1,5 m pour atteindre le sol, de sorte que son énergie potentielle gravitationnelle diminuera de Δ=7,5×1,5=11,25.EPGjoules

Partie 5

On détermine la diminution de l’énergie potentielle gravitationnelle en utilisant la formule Δ=𝐹Δ,EPG𝐹 est le poids du livre, qui est de 7,5 N, et Δ est la distance sur laquelle le livre peut tomber avant d’être soutenu par une surface qui l’empêche de tomber davantage. La valeur de Δ peut être déterminée à partir du schéma dans la question, illustré ci-dessous.

Si le livre est relâché de la hauteur du siège de la chaise mais au-dessus de la trappe ouverte, il tombera de 0,45 m pour atteindre la trappe et encore de 2,2 m pour atteindre le sol du sous-sol, de sorte que son énergie potentielle gravitationnelle diminuera de Δ=7,5×(0,45+2,2)Δ=7,5×(2,65)=19,875.EPGEPGjoules

Partie 6

On détermine la diminution de l’énergie potentielle gravitationnelle en utilisant la formule Δ=𝐹Δ,EPG𝐹 est le poids du livre, qui est de 7,5 N, et Δ est la distance sur laquelle le livre peut tomber avant d’être soutenu par une surface qui l’empêche de tomber davantage. La valeur de Δ peut être déterminée à partir du schéma dans la question, illustré ci-dessous.

Si le livre est relâché depuis la hauteur du siège de la chaise lorsque la chaise est au sous-sol, le livre tombera de 0,45 m pour atteindre le sol du sous-sol, de sorte que son énergie potentielle gravitationnelle diminuera de Δ=7,5×0,45=3,375.EPGjoules

Partie 7

On détermine l’augmentation de l’énergie potentielle gravitationnelle en utilisant la formule Δ=𝐹Δ,EPG𝐹 est le poids du livre, qui est de 7,5 N, et Δ est la distance sur laquelle le livre peut tomber avant d’être soutenu par une surface qui l’empêche de tomber davantage. La valeur de Δ peut être déterminée à partir du schéma dans la question, illustré ci-dessous.

Si le livre est initialement sur le sol du sous-sol et est amené au hauteur de l’étagère, la hauteur du livre augmentera de la hauteur du plafond du sous-sol par rapport au sol, qui est de 2,2 m, puis de la hauteur de l’étagère depuis le sol de la pièce, qui est de 1,5 m. L’énergie potentielle gravitationnelle du livre augmentera de Δ=7,5×(2,2+1,5)Δ=7,5×(3,7)=27,75.EPGEPGjoules

Résumons maintenant ce qui a été appris dans cette fiche explicative.

Points clés

  • L’énergie potentielle gravitationnelle, EPG, transférée pour augmenter la hauteur d’un objet de est donnée par EPG=𝑚𝑔,𝑚 est la masse de l’objet et 𝑔 est l’intensité du champ gravitationnel à la position de l’objet.
    Si 𝑚 est mesurée en kilogrammes, en mètres, et 𝑔 en newtons par kilogramme (N/kg) ou mètres par seconde carrée (m/s2), alors l’EPG est mesurée en joules.
  • La valeur de 𝑔 est quasi constante près de la surface de la Terre, avec une valeur de 9,8 N/kg ou 9,8 m/s2.

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