Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer l’inductance propre d’une boucle de conducteur et l’inductance mutuelle d’une paire de bobines conductrices.
Les fils dans lesquels circule un courant électrique créent des champs magnétiques autour d’eux. Si le courant dans un fil varie avec le temps, le champ magnétique qu’il produit varie aussi.
Lorsqu’une boucle conductrice est exposée à un champ magnétique variable, une différence de potentiel est induite dans la boucle. Ce processus est connu sous le nom d’induction électromagnétique, ou simplement d’induction.
Définition : Inductance
L’inductance est la capacité d’un conducteur à subir une variation de courant due à une variation du champ magnétique. Plus cette capacité est grande, plus le conducteur est dit inductif.
Considérons un solénoïde qui transporte du courant.
Lorsque le courant est constant, un champ magnétique constant est créé à l’intérieur des boucles du solénoïde, comme indiqué ci-dessous.
Imaginez alors que nous augmentons la différence de potentiel à travers le solénoïde d’une certaine quantité fixe.
Cela créera les evolutions suivantes dans le solénoïde.
L’augmentation de la différence de potentiel aux bornes de du solénoïde augmentera l’intensité du courant dans le solénoïde. Cette variation d’intensité augmentera l’intensité du champ magnétique autour du solénoïde.
Le champ magnétique croissant induit un courant dans le sens opposé au courant d’origine dans le solénoïde. Ce courant opposé est moins intense que le courant d’origine.
Le petit courant opposé modifie le champ magnétique autour du solénoïde, ce qui réduit le taux d’augmentation du champ magnétique croissant.
Le champ magnétique continue de changer à la vitesse réduite, cependant. Le champ magnétique toujours en évolution continue à induire un courant. Le courant induit est maintenant d’une intensité plus faible que le courant induit auparavant.
Le plus petit courant génère un champ magnétique qui est plus petit que le champ magnétique qui l’a induit. L’effet de ce champ magnétique est de continuer à réduire le taux d’augmentation du champ magnétique.
Ce processus se poursuit, chaque intensité de courant induit à la suite ayant une intensité inférieure à la valeur précédente. Après des répétitions suffisantes du processus, la variation de courant devient négligeable, et l’augmentation de l’intensité du champ magnétique devient négligeable.
À ce moment, la variation de courant et la variation de l’intensité du champ magnétique sont pratiquement nulles. On peut alors considérer qu’il y a une nouvelle valeur constante du courant dans le solénoïde et une nouvelle valeur constante de l’intensité maximale du champ magnétique pour le solénoïde.
Une chose importante à comprendre à propos de cette suite de changements est qu’elle réduit le taux de variation du courant et de l’intensité du champ magnétique à zéro mais ne les rend pas négatifs. Cela signifie que l’augmentation de la différence de potentiel à travers un solénoïde
- n’entraîne pas une augmentation illimitée du courant dans le solénoïde,
- n’entraîne pas une diminution du courant dans le solénoïde en-dessous de valeur initiale,
- n’entraîne pas une oscillation du courant autour du solénoïde.
Au contraire, le courant dans le solénoïde augmente à un rythme continuellement décroissant jusqu’à ce qu’il cesse finalement d’augmenter. Cette variation du courant se produit sur un intervalle de temps. Ceci est également vrai pour l’intensité du champ magnétique autour du solénoïde.
Ce phénomène est connu sous le nom inductance propre - la variation du courant dans un conducteur due à un champ magnétique variant au cours du temps créé par un courant variable déjà présent dans le conducteur.
Équation : Inductance
Si est la différence de potentiel induite dans un conducteur, est la vitesse à laquelle le courant dans le conducteur varie au cours du temps, et est l’inductance du conducteur, alors
Mathématiquement, l’inductance d’un conducteur est la constante de proportionnalité entre la différence de potentiel induite dans le conducteur et la vitesse à laquelle le courant dans le conducteur varie au cours du temps.
Le signe moins dans l’équation indique la polarité de la différence de potentiel induite. Cette tension tend à générer un courant qui s’oppose à la variation du courant au cours du temps, .
Exemple 1: Utiliser l’inductance propre pour déterminer le temps nécessaire pour une variation définie du courant
Un courant variable dans une boucle de fil induit une différence de potentiel de 1,2 V à travers la boucle. La boucle a une inductance propre de 125 mH. Combien de temps faut-il à la boucle pour augmenter le courant la traversant de 0,25 A ? Donnez votre réponse arrondie à deux décimales près.
Réponse
Nous relions la différence de potentiel à travers la boucle, son inductance propre, et la variation du courant au cours du temps en utilisant la relation suivante :
Nous voulons calculer la variation de temps, . En rearrangent l’équation,
Etant donné que ne sera pas négatif, nous pouvons supposer que la différence de potentiel a une polarité négative, ce qui la rend égale à .
Sachant que l’inductance propre de la boucle, , est de 125 mH et la variation du courant, , est de 0,25 A,
En arrondissant ce résultat à deux décimales près, le temps nécessaire pour augmenter le courant dans la boucle de 0,25 A est de 0,03 s.
Nous pouvons combiner l’équation pour l’inductance avec la loi de Faraday, qui stipule que la tension induite dans un conducteur est proportionnelle à la variation du flux magnétique au cours du temps subie par le conducteur. Plus précisément, où est le nombre de spires dans le conducteur et est la variation du flux magnétique à travers le conducteur sur une période de temps .
En égalisant la loi de Faraday à l’expression précédente pour l’inductance propre,
Par conséquent,
Ou, de manière équivalente,
Ce résultat indique que l’inductance est égale au nombre de spires dans un conducteur multiplié par la variation du flux magnétique qu’il subit, divisé par la variation du courant dans le conducteur.
Exemple 2: Calcul de l’inductance propre à l’aide des variations du courant et du flux magnétique
On augmente dans une boucle de fil le courant qu’elle transporte de 180 mA. La variation du flux magnétique produite par la variation du courant est de 0,77 Wb. Quelle est l’inductance propre de la boucle ? Donnez votre réponse arrondie à une décimale près.
Réponse
L’inductance propre de la boucle est donnée par où est le nombre de spires dans la boucle, est la variation du flux magnétique à travers la boucle, et est la variation du courant dans la boucle.
Ici, notre boucle se compose d’un seul tour de fil, donc vaut un.
Le flux et le courant magnétiques sont donnés en webers (Wb) et en milliampères (mA) respectivement.
Le weber est l’unité SI du flux magnétique. Afin d’utiliser des unités de courant électrique en accord avec les weber, nous devons convertir nos unités actuelles en ampères.
1 000 milliampères font un ampère, donc si est un nombre d’ milliampères, alors
Ainsi, 180 milliampères font 0,180 ampère.
En substituant cette valeur pour le courant et le flux magnétique donné dans l’équation de nous obtenons
En arrondissant la réponse à une décimale près, l’inductance propre de la boucle est égale à 4,3 henrys.
Un conducteur produisant un champ magnétique variable peut induire un courant en lui-même, et il peut également induire un courant dans un autre conducteur. Lorsque deux conducteurs interagissent de cette manière, ils présentent ce qu’on appelle une inductance mutuelle.
Considérons deux conducteurs, numérotés un et deux. Le conducteur un transporte le courant , produisant un flux magnétique variable à travers le conducteur deux, qui induit une tension .
De manière similaire à l’équation précédente pour l’inductance, ces quantités sont liées comme suit :
La tension induite dans le conducteur deux par le courant dans le conducteur un dépend de l’inductance mutuelle du conducteur un au conducteur deux .
En général, l’inductance mutuelle du conducteur un au conducteur deux n’est pas égale à l’inductance mutuelle du conducteur deux au conducteur un. C’est-à-dire
Néanmoins, il n’est pas rare de voir l’équation de la tension, inductance mutuelle et courant écrite sous la forme :
Même sous cette forme non spécifiée, nous considérons toujours une variation de courant dans un conducteur pour induire une tension dans l’autre par leur inductance mutuelle.
Exemple 3: Déterminer la différence de potentiel en utilisant l’inductance mutuelle
Un transformateur avec un noyau de fer a une bobine primaire à 75 spires et une bobine secondaire qui a aussi 75 spires. Les bobines ont une inductance mutuelle de 15 H. Le courant dans la bobine primaire augmente le courant dans la bobine secondaire à un taux de 1,25 A/s. Quelle est la différence de potentiel entre les bobines ? Donnez votre réponse arrondie à une décimale près.
Réponse
La variation du courant dans la bobine du transformateur secondaire est finalement due à une variation du courant dans la bobine primaire.
Rappelons que où est la tension induite par le taux de variation du courant dans le temps, .
Nous pouvons calculer cette tension en utilisant le taux de variation du courant donné (1,25 A/s) et l’inductance mutuelle entre les bobines (15 H). En substituant ces valeurs,
Le signe négatif dans cette équation reflète le fait que le courant induit génère un champ magnétique opposé au champ magnétique qui le provoque en premier lieu. En ce qui concerne la tension, ce signe indique un changement de polarité, mais pas d’intensité - nous pouvons ignorer le signe négatif en calculant la tension :
En arrondissant ce résultat à une décimale près, nous trouvons que la différence de potentiel entre les bobines est de 18,8 volts.
Exemple 4: Calcul du nombre de spires dans une bobine de transformateur
Un transformateur consiste en une bobine primaire et une bobine secondaire, chacune avec le même nombre de spires, enroulées autour d’un noyau de fer. Les bobines ont une inductance mutuelle de 32 mH. Un courant dans la bobine primaire augmente le flux magnétique à travers le noyau de 4,48 mWb. Le courant induit dans la bobine secondaire est de 1,4 A. Combien de spires la bobine a-t-elle ?
Réponse
La loi de Faraday relie la tension induite dans un conducteur à une variation du flux magnétique au cours du temps : où est la différence de potentiel induite, est le nombre de tours dans le conducteur, et est égale à la variation du flux magnétique subie par le conducteur au cours du temps.
Il y a une autre expression pour la tension induite, impliquant l’inductance mutuelle entre deux conducteurs tels que les bobines d’un transformateur :
Ces équations peuvent être combinées pour produire une troisième équation :
Notez que les signes négatifs et les fractions de apparaissent des deux côtés, et donc s’annulent :
En divisant les deux côtés par ,
Nous pouvons maintenant calculer le nombre de spires dans la bobine secondaire du transformateur en substituant les valeurs données d’inductance mutuelle (32 mH), de variation de courant (1,4 A), et de variation de flux magnétique (4,48 mWb).
D’abord, cependant, nous convertissons l’inductance mutuelle en une valeur en henrys et la variation du flux magnétique pour avoir comme unité des webers : et
Donc et
Par conséquent,
La bobine secondaire du transformateur a 10 tours.
Résumons maintenant ce que nous avons appris dans cette fiche explicative.
Points clés
- L’inductance propre d’un inducteur détermine le taux auquel le courant dans l’inductance peut varier.
- , où est la différence de potentiel entre les conducteurs, est la variation du courant au cours du temps, et est l’inductance du conducteur.
- Un courant variable dans un conducteur peut également induire un courant dans un deuxième conducteur, un phénomène connu sous le nom d’inductance mutuelle.
- , où est la différence de potentiel induite par un conducteur, est l’inductance mutuelle entre deux conducteurs, et est la variation du courant au cours du temps.
- Les deux équations d’inductance peuvent être combinées avec la loi de Faraday pour produire de nouvelles équations : et . Ici, et sont respectivement l’inductance et l’inductance mutuelle, est le nombre de spires dans un conducteur donné, et est la variation de l’intensité du champ magnétique divisée par la variation du courant.
